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标  题: S.S.chern的微积分讲义（4）
发信站: 哈工大紫丁香 (Sun Jul  7 15:14:39 2002) , 转信

发信人: holy (勾股定理), 信区: Math
标  题: S.S.chern的微积分讲义（4）
发信站: 珞珈山水 ( 2002年07月06日12:48:56 星期六), 站内信件


\begin{center} {\Large \bf\ziti{B} 第四讲\quad 曲面论(一)}\end{center}
\begin{center} 2001年11月2日\end{center}
{\ziti{B}(I)曲面的标架}
今天我们讲一点曲面论.  微积分在曲面上应用的研究在整个数学里头是很要紧的.  这

是因为在曲面论中, 曲面的这些性质往往扩充到其他更广的情形, 而这些更广的情形变

化到曲面的时候也有很多性质, 在曲面的情形已经发生了.  那么, 曲面有个优点, 就是

我们假定它是在3维空间里头, 所以你看得见, 你可以画图, 可以在看得见它上头的曲线

里的性质及其他什么的.  一到高维以后, 就看不见了.  我的讲法跟书不一样, 所以我

想大家把这几页材料复印一下.  这个材料大概应该在普通微分几何书上找不到的, 它有

个优点, 就是快得很而且方法来得简单.
那么什么是曲面呢?  曲面就是图上一个扭曲的东西, 我把它的点的坐标表为两个变数的

函数, 这两个变数我叫做$u,v$. $u,v$一般叫做参数(parameter), 假使$u,v$变化的时

候, 这些点的轨迹就成了一个2维的曲面${\bf x}(u,v)=(x^1(u,v),x^2(u,v),x^3(u,v)

)$.  于是因为有$u,v$,  所以你可以使得一个参数的值是常数, 然后使得另一个参数变

化.  设$v$ 是常数, 令$u$ 变化, 所以就有一条曲线, 它的参数是$u$.  同样, 你可以

使得$u$不变, 而$v$变化.  因此在曲面里头, 有两组曲线, 它的参数一组是$v$ 等于常

数, 一组$u$是等于常数.
对于这两组曲线, 每一条曲线在每一点都有一条切线.  所以在一个点$x$, 我们就有两

条直线.  我假定这两条直线不重合, 换句话说, 解析地讲, $x_u,x_v$ 不是同一个方向

, 不平直(线性)相关, 其中$x_u,x_v$就是$x$ 的矢量分别对$u,v$求偏微分.  或者我说

, 它的矢量积$x_u\times x_v\ne 0$.  假使这两个方向不重合, 所以它们就张成一个平

面, 这个平面我叫做曲面在这一点的切面.
这个切面在$x$这一点有个垂直的方向, 这个方向的直线一般叫做法线.  沿着法线的方

向有一个单位矢量, 因此也叫做法矢量.  这个法矢量有两个选择, 它可以向上走, 也可

以向下走, 有两个方向刚好相反的选择.  我选择它使得$x_u,x_v$ 跟法矢量是一个右手

的坐标标架, 是一个右手系.  换句话说, 我叫这个法矢量$e_3$, 并假设 $e_3$是个单

位矢量, 于是$e_3$就满足条件
$$(e_3,e_3)=1\; ({\rm \mbox{单位矢量}}),\;e_3=\frac{x_u\times x_v}{|x_u\time

s x_v|^2}.\eqno (4.1)$$
那么在这样的选择之下,  $(x_u,x_v,e_3)$就是右手系.  这时, 行列式$\det(x_u,x_v

,e_3)$是正的, 即$\det (x_u,x_v,e_3)>0$, 所以是右手系.
现在, 我的这个方法跟一般的方法是不同的.  一般的书上往往用$u,v$ 参数发展整个的

曲面的微分几何, 因此就比较长了.  他们这里有一个缺点: 因为$x_u$ 跟$x_v$ 不一定

垂直, 那么我们的兴趣是在于Euclid 几何有一个度量, 所以他们用的是非垂直的坐标系

, 而几何是一样的, 但是分析方面的公式就比较复杂了.  而我取 $e_1,e_2$是单位矢量

, 它们是互相垂直的.  所以现在 $e_1,e_2,e_3$三个矢量都是单位矢量, 而且互相垂直

, 并且因为要它是一个右手系, 所以它的行列式应该是正的.  但是因为这三个矢量都是

互相垂直的单位矢量, 所以行列式等于$\pm 1$, 它的平方等于1.  所以我现在是叫这个

行列式等于1 的, 因此这是一个正交的坐标系, 它的行列式等于1, 于是
$$e_1,e_2,e_3\; ({\rm \mbox{右正交标架}}):\;(e_i,e_j)=\delta_{ij},\;(e_1,e_2

,e_3)=1,\;1\leq i,j,k\leq 3.\eqno (4.2)$$
{\ziti{B}(II)曲面的微分式及其几何}
那么微分几何怎么样呢? 这时就不只是有一个坐标系, 而是有一族(family)坐标系, 还

有几个变数(变的参数).  那么最要紧的一个现象就是一个坐标系跟它临近的坐标系是怎

么一个关系.  要了解这个关系是微分几何最主要的问题.  所以我现在有一族坐标系,

比方说是有两个变数$u,v$, 甚至可以有多个变数, 那么要找这个临近坐标系跟它的关系

, 我就把它微分了.  现在我这个${\bf x}$是矢量, $e_i$也都是矢量, 所以我就求求看

$dx$,  看$d$跟$de_i$.  这是一个矢量的微分.  但是因为$e_1,e_2,e_3$ 是一个标架

, 是线性无关的, 而我们是在3维空间中讨论的, 所以任何一个矢量必然是$e_1,e_2,e_

3$ 的线性组合.  所以我可以把$de_i$写成
$$de_i=\omega_{ij}e_j.\eqno (4.3)$$
这里我用的是Einstein的符号: 如果有一个指数重复的话就相加.   因为我们的空间是

3 维的, $i,j,k$都是从1到3,  那么 $\omega_{ij}e_j$ 就是对$j$ 相加.  所以这是3

项, 即$j=1,2,3$, 有3项.  这是Einstein 在微分几何引进的符号.   Einstein还做了

一件事情: 比方说, 从前你要有个数目, 它要有个指数, 即$x_i$,  $i$这个指数都写成

下标.   Einstein说不写下标, 他就写了上标, 因此后来的微分几何的书里头, 上标非

常多.  坐标的这个指标都写成上标, 其实, 上下没有关系.  所以, 我用下标写成公式

(4.3).
公式(4.3)是基本的公式, 它表示两个临近坐标的关系, 一个 $de_i$ 跟原来的坐标 $e

_i$ 的关系.   $\omega_{ij}$是什么呢?  它是一次微分式.  因为 $de_i$ 是一次微分

式,  它的值是矢量的一次微分式, 所以你如果写成它的分量的话, 就有3个分量, 而且

每一个都是$de_i$的分量,  那么$\omega_{ij}$是一次微分式.  因为$i,j$都是从1 到

3,  所以一共有9个.   但是这些$\omega_{ij}$ 不是任意的, 这是几何上, 力学上最基

本的一个公式.  因为我们一切都是正交的系统, 所以 $\omega_{ij}$对于下标$i,j$是

反对称的,  即
$$\omega_{ij}+\omega_{ji}=0.\eqno (4.4)$$
为什么呢? 因为$e_i,e_j$ 满足 $(e_i ,e_j)=\delta_{ij}$,  你把它微分, 又因为$\

delta_{ij}$ 是常数, 所以微分它之后是0，于是就能得到下面公式:
$$(de_i,e_j)+(e_i,de_j)=0.\eqno (4.5)$$
由于$de_i=\omega_{ik}e_k$,  并且$e_i,e_k$是互相正交的, 所以由上式就得到$\ome

ga_{ij}+\omega_{ji}=0$,  即公式(4.4).   对于所有的$i,j$从1 到3,  $\omega_{ij

}$是反对称的, 因此$(\omega_{ij})$ 看成一个$3\times 3$的方阵.  那么这个方阵是

反对称的, 它不是有9个元素, 实际上, 只有3个, 并且因为反对称, 所以主(对角)线上

的元素都是0, 其他的对于主线是反对称的.  也就是有
$$(\omega_{ij})=\left(\matrix{ 0 & \omega_{12} &\omega_{13}\cr -\omega_{12}

& 0 &\omega_{23}\cr -\omega_{13} &-\omega_{23} &0\cr}\right).\eqno (4.6)$$
因此只剩下3个元素, 即只有 $\omega_{12},\omega_{13},\omega_{23}$, 这3个都是一

次微分式.  而这3个一次微分式对曲面几何性质是非常要紧的, 即它们都可以由微分式

来表示.
普通研究函数论, 搞分析的时候, 都是讲函数, 讨论函数或者是把函数微分了, 把它的

微商作为系数, 大家传统不习惯于一次微分式.  其实, 一次微分式是把这个问题弄得简

单了.  我开头的时候曾经跟你们介绍过法国的大数学家 Darboux的书,  它有四大本叫

做《曲面论》. 这种书很值得看, 不过可惜是法文的.  他不用微分式, 他用的是偏微分

, 所以有许多公式写起来长一些.  用微分式的话, 一次微分式写起来就简单多了.  所

以我这里用了一次微分式, 用正交标架, 使曲面论非常简单.  这些你们在普通微分几何

书中很少能找到.  但是这种方法很有效, 因为一切东西都简单了.
我假定曲面是定向的, 即在转的时候有一个反时钟方向.  因为定了向之后, 在一个点,

 它有两个切矢量的话, 它的法矢量就完全确定了.  因此, 曲面定向之后, 每一点一定

有一个固定的单位法矢量, 不是它的负的矢量.  那么, 曲面上有一个很要紧的几何结构

, 就是一个点加一个单位切矢量, 即$x$跟$e_1$,  这是现代所谓纤维丛的最简单的情况

, 也是最要紧的情况.  那么对于$x+e_1$,  它多了一个维数, 因为固定了$x$之后, $e

_1$这个单位切矢量还可以转圈, 所以 $x$的轨迹是2维的. 那么每一个$x$的切矢量还得

加1维. 这是因为它可以是一个圆, 转一个圆周, 它是单位的. 所以这个空间是3维的,

而这个3维空间我叫做$E$:
$$E=\{ xe_1|x\in M\}({\rm \mbox{圆丛}});\;\dim E=3.\eqno (4.7)$$
有一个3维的空间或者说造出一个3维空间, 这个观念要紧极了.  现在许多数学, 物理都

需要这个观念.  一旦你用原来的流形来描写几何不够, 往往需要上面有一个圆圈, 这个

我们叫做纤维丛. 这时圆周是一个纤维, 因此这个纤维丛叫做圆丛. 因为纤维是圆, 所

以$E$是由流形$M$(曲面我叫它为$M$, 是一个流形)造出来的一个圆丛. 那么在一点要有

$e_1$,  就有$e_2$了. 这是因为$e_2$ 是跟它垂直的一个单位切矢量, 同时可以由原来

的定向确定下来. 因此$e_1,e_2$就定下来了, $e_3$是法矢量当然也定了.  所以 $xe_

1$这个单位切矢量跟标架是一回事.  有了单位切矢量也可以构造一个标架, 当然有了标

架, 你就可以取第一个切矢量为$e_1$. 所以这3维空间就是我们的曲面所有这些标架$e

_1,e_2,e_3$ 所成的空间.  于是我们就有上面的公式(4.7).  我说$E$是3维的, $E$有

一个映射, 映到原来的曲面$M$: 因为你有这个切矢量, 它有一个原点$x$,  由$xe_1$把

它映为$x$, 这是一个从$E$ 到$M$的映射.
要研究曲面的微分几何, 单从曲面不够, 一定要用$E$. $E$跟原来的曲面有密切的关系

, 刚才我讲了这种几何的关系.  用 $E$的好处在于, $E$ 的空间是3维的空间, 它上头

有一次微分式, 这些微分式在$E$上头都是确定的. 那么除了我讲的$e_1,e_2,e_3$这几

个单位矢量, 当然曲面的点$x$也是一个矢量, 它的位置矢量也是一个矢量. $x$ 是$u,

v$的函数,  $dx$ 当然是$u,v$ 的一个一次微分式, 它也可以表为$e_1,e_2,e_3$ 的一

个线性组合.   但是实际上,  它一定是$e_1,e_2$ 的组合, 这是因为$e_3$ 是法矢量,

 所以它一定是在切面上头, 而$e_1,e_2$都是切矢量, 所以$dx$一定是$e_1,e_2$的线性

组合, 它的系数我叫做$\omega_1,\omega_2$, 即得到我们第一个公式:
$$dx=\omega_1e_1+\omega_2e_2.\eqno (4.8)$$
所以我现在有5个一次微分式: $\omega_1,\omega_2,
\omega_{13},\omega_{23},\omega_{12}$. 这组微分式非常要紧, 它们都有简单的几何

意义.  这个就说明微分式讨论几何性质使得问题简单而且容易.   现在我们就有公式(

4.8).  我们将公式(4.3),(4.4)作为我们的第二个公式.
我在前面讲过, 微分式有个最大的优点, 就是微分两次后是0, 即对于$dx$, $d(dx)=0$

.  对于任何函数的外微分两次一定等于0, 这就相当于在空间任意取一个区域, 再取它

的边界, 而边界不再有边界. 取边界取两次一定是等于0.  因为这个性质, 这种数学结

构就有所谓的同调(homology)性质.  现在你要搞什么东西, 都是同调性质, 非常要紧.

 不过我们现在把公式(4.8)左边$dx$ 再 $d$一下子就等于0, 而把右边的展开就得$d(\

omega_1e_1)
+d(\omega_2e_2)$, 即
$$d(\omega_1e_1)+d(\omega_2e_2)=0,\eqno (4.9)$$
注意当外微分前面有一个一次的话, 微分第二个因子要改号. 总而言之, 你就把它们微

分了.  微分之后, 就发现所得到的式子是$e_1,e_2,e_3$的线性组合, 那么它的系数是

二次微分式.  而对于这个系数是二次微分式的矢量要等于0的话, 所有的系数都要等于

0. 于是你如果令$e_1,e_2$的系数为0 的话, 就得到我下面的第三个公式:
$$d\omega_1=-\omega_2\wedge \omega_{12};d\omega_2=\omega_1\wedge \omega_{12}

.\eqno (4.10)$$
我不详细把它做了, 这个证明很简单, 可立即可得. 这是要紧极了的一个公式. 这些公

式你们也许觉得新, 因为在普通书上看不见, 这是由于普通不喜欢用微分式, 许多人也

不会用微分式, 其实这很简单.  所以我就得到公式(4.10).
然后令$e_3$的系数为0, 就得到第四个公式:
$$0=d\omega_3=\omega_1\wedge \omega_{13}+\omega_2\wedge \omega_{23}.\eqno (4

.11)$$
这是非常非常要紧的公式.
由这些就得到所谓的Levi-Civita平行性.  现在, 这个也叫联络(connection).  对于联

络, 普通找一本书, 可以讲上很久很久, 其实很简单.  我说在这个情形之下,  Levi-C

ivita联络就是$\omega_{12}$这个一次微分式. 注意$\omega_{12}$ 是$E$里头的一个一

次微分式, 它就定几何的性质, 使得我可以把这个矢量沿着一条曲线平行的移动. 这是

什么意思呢? 就是 $\omega_{12}$这个一次微分式由方程(4.10)完全确定. 因为如果有

一个$\omega'_{12}$ ,  使得适合同样的方程式, 即
$$d\omega_1=-\omega_2\wedge \omega'_{12};\;\;\;d\omega_2=\omega_1\wedge \ome

ga'_{12}.\eqno (4.12)$$
我需要证明$\omega_{12}=\omega'_{12}$, 即只有一个可能性, 只有一个$\omega_{12}

$ 适合方程(4.10).  也就是说, 假使有另外一个$\omega'_{12}$适合方程(4.10), 那么

我们把两个方程相减, 就得到
$$\omega_1\wedge (\omega'_{12}-\omega_{12})=0;\;\;\omega_2\wedge (\omega'_{1

2}-\omega_{12})=0.\eqno (4.13)$$
而两个一次微分式如果相乘等于0的话, 而且如果其中一个不是0, 那么其它那个必然是

它的倍数, 这是外代数最简单的东西. 你们算一算就出来了. $\omega_1,\omega_2$是不

为0 的, 而且不但不等于0, 并且线性无关.  因此, $\omega'_{12}-\omega_{12}$既等

于$\omega_1$的倍数, 又等于$\omega_2$的倍数. 但是$\omega_1,\omega_2$ 线性无关

, 所以它要等于0. 因此如果再有一个$\omega'_{12}$适合同样的方程, 它一定等于$\o

mega_{12}$.  这是完全确定的.
那么我用这个引进所谓的Levi-Civita平行性.   我们现在有$de_1=\omega_{12}e_2+\o

mega_{13}e_3$.   我们把$e_3$这一项取消, 取消是什么意思呢? 假使有一个矢量, 你

把它的$e_3$取消之后, 就是沿着$e_3$的方向取这个正交投影, 所以你把它取消了的意

思就是取它的正交投影. 你把它取消的话, 我现在不再是普通的微分了, 是新的微分了

. 我用$D$表示这个新的微分, 于是就得到这组公式:
$$De_1=\omega_{12}e_2,\;De_2=-\omega_{12}e_1.\eqno (4.14)$$
这是照我刚才证明的是由几何完全确定的, 这是因为$\omega_{12}$是完全确定的. 假使

$De_1=0$的话, 我就说这个矢量是Levi-Civita意义下平行, 即我说在这种情形下它就是

平行的.  它是平行的, 这是有新的意义. 在Euclid 几何的时候, 这就是普通平行, 现

在是普通平行的推广, 也就是$De_1=0$时是Levi-Civita平行. 所以在曲面上, 你用一次

微分式, 尽管这个平行比较难懂. 令$De_1=0$的话, 对于矢量是个微分方程. 这个微分

方程不一定有解, 但是假使你有一条曲线, 你就可以沿着这条曲线求解. 对于曲线来说

, 所有的这些函数都是$t$的函数. 沿着这条曲线求解, 可以求到解.  至于这个条件,

我说这个矢量就是Levi-Civita 平行. 所以从这个定义可以了解这个平行性跟曲线的选

择有关. 假使有一个点, 另外还有一点, 那么你联这两点有两条不同的曲线, 你把同一

个矢量沿头一条曲线平行, 并沿第二条曲线平行, 看到的一般不是同一个矢量.  至于这

个平行性与曲线的选择有关系, 是普通的平行性的推广. 普通的时候, 平行性在Euclid

平面里上是绝对的和定了的, 现在这个时候是跟曲线的选择有关系, 这就是联络.
我刚才把 $x$ 这个矢量 $d$两次等于0. 而同样的, 我可以对 $e_i$这个矢量也$d$ 两

次, 即$d(de_i)=0$. 因此算出来$d(de_i)=0$, 就有:
$$d\omega_{ij}=\omega_{ik}\wedge \omega_{kj}.\eqno (4.15)$$
实际上, 很简单地, 我对$de_i=\omega_{ij}e_j$ 求微分. 然后因为$\omega_{ij}$是一

次微分式, 所以应该有个负号, 即负的$\omega_{ij}\wedge de_j$, 于是有
$$d(de_i)=d\omega_{ij}e_j-\omega_{ij}\wedge de_j=0.\eqno (4.16)$$
但是$de_j=\omega_{jk}e_k$,  所以头一个$d\omega_{ij}e_j$改为$d\omega_{ik}e_k$

 没有关系, 这是因为你对于$j,k$是求和, 可写成$j$, 也可写成$k$, 都是从1到3, 无

所谓的.  因此就得到公式(4.15).
这是一个基本的公式, 看着麻烦, 其实很简单.  尤其是在3维的情形, 很简单.  实际上

, 右边讲起来是3项之和, 但是这3项是对于$j$ 求和. 因为$\omega$ 是反对称的, 所以

我们来看$\omega_{ik},i\ne k$, 或者就来看看$\omega_{13}$. 在下面那个公式看$d\

omega_{13}$ 应该是$\omega_{1j}\omega_{j3}$, 但是实际上, $j$只能等于2, 这是因

为 $j=1$时$\omega_{11}=0$, $j=3$ 时$\omega_{33}=0$. 所以右边看着是这么样之和

, 其实就只有一项, 所以你就得到
$$d\omega_{13}=\omega_{12}\wedge \omega_{23}.\eqno (4.17)$$
同样可以得到
$$d\omega_{23}=-\omega_{12}\wedge \omega_{13}.\eqno (4.18)$$
这些一般就是所谓的 Weingarten公式, 非常简单.
所以这些公式都是从简单的外微分立即得到的. Weingarten公式很有意思, 你要它跟原

来的 $\omega_{1},\omega_2$的公式比较的话, 完全是一个形状, 即注意到这些公式与

公式(4.10) 相似.  这个形状是有几何意义的, 现在它用来定所谓的 Betti Transform

ation, 这个我不细讲了.  Weingarten公式跟原来$d\omega_i$的公式的相似性是有深刻

的几何意义的.
{\ziti{B}(III)曲面的基本不变式}
上面我讨论了$De_1$的Levi-Civita 平行性. 如果取这个矢量在$e_3$这个方向的话, 我

就得到$\omega_1\wedge \omega_{13}+\omega_2\wedge \omega_{23}=0$,  即公式(4.1

1).
因此,  $\omega_{13},\omega_{23}$都是$\omega_1,\omega_2$ 的线性组合, 我可以写

成
$$\omega_{13}=a\omega_1+b\omega_2,\;\omega_{23}=b\omega_1+c\omega_2.\eqno (4

.19)$$
由这个我得到这个曲面的要紧的不变式. 一个曲面与另一个曲面有什么分别? 这个分别

在于曲率.  曲率是曲面上的函数.  比方说, 一般的话, 我们用第一基本式跟第二基本

式来表示:
$${\rm \mbox{第一基本式}}\;\;{\rm I}=ds^2=(dx,dx)=\omega_1^2+\omega_2^2;\eqn

o (4.20)$$
$${\rm \mbox{第二基本式}}\;\;{\rm II}=(-dx,de_3)=a\omega^2+2b\omega_1\omega_

2+c\omega_2^2.\eqno (4.21)$$
对于第一基本式, 我叫它(I).它就是曲面的$ds^2=(dx,dx)$.  由于$dx=\omega_1e_1+\

omega_2e_2$,  但是$e_1,e_2$是互相垂直的单位矢量, 所以就得到$\omega_1^2+\omeg

a_2^2$. 因此$\omega$这5个一次微分式都有重要的几何意义.   $\omega_1,\omega_2$

的平方和就是曲面的度量.  在3维空间里头, 曲面当然有一个度量, 那么它的度量是什

么呢? 就是它的Riemann 度量, 是一个2次的微分式.  这个2次微分式简单极了, 就是$

\omega_1^2+\omega_2^2$.
那么, 我也可以对$e_3$这个矢量取$-(de_3,dx)$. 照我刚才所写的, 它就等于$a\omeg

a^2+2b\omega_1\omega_2+c\omega_2^2$, 这也是一个2次微分式. 这个一般叫做第二基

本式.
那么有一个第一基本式, 还有个第二基本式, 你就取它的特征值.  特征值的和就是$a+

c$,  特征值的积就是$ac-b^2$. 一般地, $H=\frac{a+c}{2}$叫做曲面的中曲率, $K=a

c-b^2$ 叫做曲面的Gauss曲率.  这里要紧极了, Gauss曲率有许多有趣的性质.  因此这

是怎么样从5个一次微分式由它们的线性组合的关系就得到曲面的不变式.
中曲率跟Gauss曲率这两个不变式描写曲面的几何性质. 比方说, 可以证明Gauss 曲率是

正的话, 曲面是鼓的,  Gauss曲率是负的话, 曲面就有鞍点, 就象马鞍点.  许多几何性

质都可以用这两个曲率来描写, 所以是曲面里头两个最主要的不变式.  这个不变式是函

数.  以往我们得到的是一次微分式, 而一次微分式不大容易想象究竟是什么意思, 但由

它的运算可以得出函数来. 这函数当然是了解得比较清楚, 便得到中曲率跟Gauss 曲率

.
中曲率等于0, 一般叫做极小曲面. 所谓的极小曲面, 举例就是你把一条封闭的曲线放在

肥皂水里头所成的曲面就是面积最小的曲面, 它的中曲率为0.  所以这有简单的几何意

义, 最近, 甚至现在都有很多关于极小曲面的研究.
Gauss曲率更要紧, Gauss曲率是等于$\omega_{13}\wedge \omega_{23}$. 在曲面上也一

样有Gauss映射.  曲面每点有一个单位法矢量, 把这个单位法矢量看为一个半径为1 的

球面的点, 就把曲面映射到球面上去了.  每个点有一个单位法矢量, 你在$0$点画一个

单位法矢量跟它平行, 它的端点就在单位球面上. 那么对于所有的点都做这个构造的话

, 就在单位球面上得到一个区域.  在这个映射下, 两个面积元素的比, 即它的像(imag

e)的面积元素跟原来面积元素的比就是Gauss 曲率.  这样一下子就看出来了.  所以这

个Gauss曲率有很简单的几何意义.  这时, 曲面的讨论是一个推广. 曲面的时候有曲线

, 曲线也有一个Gauss映射. 那个Gauss映射是取单位切矢量, 其实也可以取单位法矢量

. 那么曲线的时候, Gauss映射把切线映射到单位圆上头, 把单位圆的度量被原来这个度

量除就是曲率.  现在就把这个观念推广到高维, 推广到2维, 即推广到曲面, 所以我由

这个曲面Gauss映射到一个单位球面上头, 这两个面积的比就是Gauss曲率.  所以这是一

个非常自然的几何度量.
现在有个很要紧的关系.  上头有$d\omega_{ik}=\omega_{ij}\wedge\omega_{jk}$, 现

在我把这个公式
用到$\omega_{12},i,k=1,2$, 于是$d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge\omega_{32}$.

 但是$\omega$是反对称的,
所以$\omega_{32}=-\omega_{23}$. 这里$\omega_{13}\wedge\omega_{23}$ 就是$ac-b

^2$,  也就是Gauss曲率.  所以我就得到公式
$$d\omega_{12}=-K\omega_1\wedge\omega_2,\eqno (4.22)$$
其中, $K$是Gauss曲率.  这是一个令Gauss 非常惊讶的公式.  所以 Gauss把这个定理

叫做Theorem Egregious,  Egregious是拉丁字母, 意思指这是一个了不得的定理.  为

什么呢? 它证明了Gauss曲率只跟曲面的Riemann 度量有关, 跟这个曲面在空间的位置无

关.  因为在这个公式里头,  $\omega_{12}$已经证明了只跟曲面的Riemann度量有关.

 然后$\omega_1\wedge\omega_2$就是在这个度量下的面积元素, 当然只跟$ds^2$有关,

 即只跟 Riemann度量有关.  所以虽然Gauss曲率是一个曲面在空间里头的一个不变式,

 但是它只跟曲面的Riemann度量有关.  换句话说, 你把曲面变换(deform)一下子, 使得

Riemann度量不变,  Gauss曲率就不变.  所以 Gauss曲率有这么重要的性质. 我想 Gau

ss做了许多要紧的和漂亮的结果, 这个定理显然是他特别欣赏的一个结果, 是很特别的

一个结果. 实际上, 我们就把这些方程用外微分微分一下子, 得到基本公式, 然后就得

到这些公式.
下次, 我要讲由这个公式证明Gauss-Bonnet公式.  Gauss-Bonnet公式是推广三角形三角

之和等于$180^o$, 将这个公式推广到曲面的情形. Gauss-Bonnet公式的应用非常之广.

  证明的时候, 我始终利用圆丛.  这圆丛稍微用得复杂一些: 假定这个丛是一个复的线

丛(complex line). 那么这个复线丛的纤维是条复线, 在复线里头, 绝对值等于1的复数

是一个圆周, 就是圆丛. 这个观念在物理上是基本的.  现在大家搞得很多的是辛几何(

symplectic geometry).  单有辛结构(symplectic structure)不太有用, 你要把辛几何

用到量子力学的话, 需要加上一个复线丛, 就是我们现在所讲的东西的一个推广.  我们

现在讲2维, 一到物理的话, 空间与时间加在一起是4维, 所以你基本的空间是4维, 在4

维空间当中有一个复线丛.  因此就得到这个Gauss 曲率.  现在这个曲率是2次微分式,

 它$d$一下子等于0, 就得到Maxwell方程.  所以微积分在几何上应用是许多物理的基础

.  最近我在《科学》杂志上写了一篇文章, 叫做《Gauss-Bonnet公式与Maxwell方程》

, 你们如果能找到, 可以去看一看.  我想把这篇文章拿来给大家, 但是现在乱得很, 没

找到.
下次我想讲Gauss-Bonnet公式的一个证明, 这个跟我们的工作有非常密切的关系.  在5

0年前, 在昆明西南联大, 我教微分几何, 就得到Gauss-Bonnet公式的这个证明.  普通

书上复杂多了.  Gauss-Bonnet公式主要意思是说, 你有任何一个曲面, 曲面上头有一个

多边形, 把这个多边形的Euler特征数表示种种曲率的组合, 这是Gauss-Bonnet公式.

我得到这个证明.  我想这是Gauss-Bonnet公式最简单和最自然的一个证明, 就是把 $d

\omega_{12}$一微分就得到Gauss-Bonnet公式积分的式子.  然后我在一九四几年的时候

, 到了Princeton 做高维的, 当然自然而然地, 我想法子把这个推广到高维, 这个是可

以做到的.  以后, 我还做了些别的工作. 所以可以说我这个Gauss-Bonnet公式的证明在


我所做的工作中是我最喜欢的一个.  我想现在可以结束了.


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