Math 版 (精华区)

发信人: zjliu (fly), 信区: Math
标  题: S.S.chern的微积分讲义（5）
发信站: 哈工大紫丁香 (Sun Jul  7 15:15:13 2002) , 转信

发信人: holy (勾股定理), 信区: Math
标  题:  S.S.chern的微积分讲义（5）
发信站: 珞珈山水 ( 2002年07月06日12:51:54 星期六), 站内信件


\begin{center} {\Large \bf\ziti{B} 第五讲\quad 曲面论(二)} \end{center}
\begin{center}{\Large \bf\ziti{B} —Gauss-Bonnet公式}\end{center}
\begin{center} 2001年11月23日\end{center}
{\ziti{B}(I) 曲面论发展的简介}
很高兴又与大家见面了. 我在医院里住了几天, 你们可以看出来我还没有完全好, 不过

我觉得我还是跟大家讲讲这些东西. 那么, 我今天要讲的是Gauss-Bonnet公式. 这个公

式有相当的意义, 也有相当的历史, 尤其跟我个人的工作也有关系, 所以我要提一提我

跟这个问题是怎么样的关系.
我们上次讲到曲面论, 曲面论是微分几何里头最重要的一部分. 因为许多微分几何的现

象在在3维空间里的2维曲面的情况已经产生了. 同时, 因为它是在3维空间里头, 这个几

何的情况是可以看见的, 不是完全用代数来表示.
曲面论有很长的历史, 最早的当然是Monge. Monge 是法国的大数学家, 他老先生对政治

有些活动, 所以他除了做大学教授之外, 他对法国的教育有很多影响. 他是拿破仑底下

的一个雇员, 帮助拿破仑做事, 他是拿破仑政府的海军部长, 甚至还跟着拿破仑去埃及

打仗. 因为他的影响, 法国的高工学校(Ploytechnique)就建立起来了. 很长一段时期,

 法国最好的学生都在高工学校. 我想高工学校也许象现在的清华, 有许多好的学生, 例

如说,  法国一个最大的数学家Poincare 就是Ploytechnique的学生.  Monge是第一个写

关于微分几何书的人, 他的书就叫做《微积分在几何上的应用》, 这也是我要讲的题目

. 因此, 法国的教育在微分几何有一个相当的传统.  除了Monge本人之外, 由于他在高

工的影响, 他有很多学生, 都是在微分几何有相当贡献的人.
然后在微分几何逐渐发展之中, 比较晚一些的是法国另外一个大数学家Darboux. Darbo

ux是法国科学院的秘书长, 所以在他的时期, 他是在科技界有很多影响的一个人. 他不

仅是秘书长, 也是巴黎大学理学院的院长. 他的最大的工作是四本《曲面论》. 我想,

这四大本是数学文献里头永远的一个文献. 现在可惜由于它是法文的, 很多人不看这个

书, 我想这些人对微分几何缺少一点了解, 他们应该看这个书. Darboux的书讲得非常好

, 包括了很多材料.
在1941 年, 我在西南联大教书, 教《微分几何》, 也讲到曲面论. 讲到曲面论时, 当然

就看Darboux的书, 就想到Darboux的书里头, 一个主要的方法是用活动标架, 也就是采

用活动标架法. 他用得非常彻底, 做得非常之漂亮.  Darboux稍微不用的一点是他不用

外微分, 我想, 我的课是讲微积分, 而微积分你要讲到多元, 多变数的时候, 这个外微

分不能避免. 这是因为在多变数的时候, 最有效的工具是外微分. 外微分可以加, 减,

可以乘, 可以微分, 所以有很多代数的运算可以用到外微分, 同时, 一个外微分也是一

个式子, 这个式子给予很多数学问题, 不管是它的几何, 还是它的分析, 都给你很多材

料, 因此是非常有用的.
Darboux的缺点是他没有用外微分. 他用活动标架法, 但是没有外微分. 因此, 有很多工


作, 不用外微分, 怎么办呢? 他也是还要用微积分的, 不用外微分, 他用偏微分. 用偏

微分比外微分差得多了. 因为你的曲面是2维的空间, 所以对于两个变数, 即曲面的参数

$u,v$,  你要对$u$求偏微分,  对$v$求偏微分, 这里头有很多偏微分, 而用外微分就简

单多了. 但是他不采用外微分, 这是很奇怪的事情. Darboux是发现一次外微分式的第一

人. 一个是Darboux, 一个是Frobenius, 他们两个人最早发现这个东西的, 但是等到应

用到曲面研究的时候, 不知道为什么, 他没有用. 也许是由于传统的关系, 他写了外微

分之后, 谁都不懂了, 所以他不用外微分了.
我刚才讲了, 在1941年, 我刚巧在昆明教这个课, 我很自然地想, 为什么不用外微分呢

?所以我就用外微分想法子做Darboux所做的工作, 或者说至少做曲面论和一些几何的讨

论. 我采用外微分, 因此我得到一个很好的了解.
{\ziti{B}(II) 曲面论基本内容的回顾}
什么叫外微分呢?就是你发现要研究曲面的话, 曲面是一个2维的流形, 它在普通空间里

头是2维的, 所以它上头任意一个点是两个变数, 通常就叫做参数. 但是现在呢, 我们就

叫它局部坐标$u,v$.  因此它的坐标是2个变数的函数, 所以是这个条件使它在每一点有

一个切平面. 这个切平面当然很要紧, 因为我们没有法子研究复杂的图形. 我们只能研

究最简单的如直线, 平面这些东西. 切平面跟曲面有最密切的关系. 那么, 单说密切的

关系不够, 一定要解析地能够解决比较更深刻的一些问题.
有一个切平面, 在这个切平面上是2 维的, 于是每一点就有许多矢量, 也就是切矢量.

切矢量就是跟这个曲面相切的矢量. 因为这个曲面是在Euclid 空间里头, 所以我可以讲

这个矢量的长度. 为简单起见, 我限于讨论长度等于1 的矢量, 即单位矢量, 所以有一

圈单位切矢量. 跟这些单位切矢量垂直的有另外一个矢量, 我们假定它是取成单位的,

那么这个矢量我们叫做单位法矢量. 要注意的是这里就有一个几何现象发生了, 因为假

使这个曲面弄平了的话, 单位法矢量可以向上走, 也可以向下走. 换句话说, 这个曲面

除了是一个2维的流形之外, 它还有一个定向: 在曲面上你是顺方向转, 还是跟逆方向转

, 这个转动是很不一样的. 所以, 你要定怎么样子转动是顺方向, 这就是要给曲面一个

定向. 定向有了之后, 它的单位法矢量就定了. 单位法矢量在这个方向可以向上走, 也

可以向下走. 定了一个之后, 这个曲面也就定向了. 这是很重要的一个观念. 虽然相差

的只是一个符号, 但是这是一个很重要的观念.
Mobius是德国伟大的几何学家.  因为你要定向, Mobius发现有些曲面不能定向, 这当然

是很有意思的一件事情. 你们大家都知道的这个图形: 就是拿一张纸, 你把它转一圈连

起来的话, 就得到所谓的Mobius 曲面, 它没法子定向. 这是几何上很有意思的一件事情

.
那么我们假定曲面已经确定了一个方向. 有了这样定向的曲面之后, 几何情况是怎么样

的呢?由单位法矢量$e_3$,  其中$e_3$ 是在3维空间,  你发现有一件事实, 就是说你单

独讨论曲面不够, 你一定要利用曲面上的单位切矢量, 我叫这个单位切矢量为$e_1$. 这

样我就有了一个标架, 它有了第一个单位矢量和第三个单位矢量. 如果空间是定向的,

第二个单位矢量$e_2=e_3\times e_1$也就完全确定了. 所以我就有个单位标架. 单位标

架就是三个单位矢量按照一定的次序, 是互相垂直的.
为什么单位标架在几何的研究之中是这么重要? 就是因为几何是根据运动群研究空间在

运动之下不变的几何性质, 而这运动群就是标架所成的空间. 因为是有一个并且只有一

个运动把一个标架变为其它的标架. 至于全体的单位标架跟这个运动群的元素成一一对

应, 不但是一一对应, 而且对应保持拓扑和一切的性质, 所以运动群很要紧. 因为空讲

的运动不知道在解析的情况之下如何可以处理, 而了标架之后, 就可以处理了. 标架就

是矢量了, 而矢量一般是有3个分量的矢量, 而每一个分量是函数, 就可以把它微分, 加

, 减什么的.  矢量有加, 减的运算, 也有微分的运算. 在某种意义下, 还可以有积分的

运算. 所以我现在就可以微分.
我研究曲面的时候, 不只一个标架, 那么在曲面的每点, 这样的标架有多少呢? 假使你

晓得$e_1$的话, 同时这个曲面是定向的, 这个标架就完全定了. $e_1$是什么呢? $e_1

$是这个曲面在这一点的单位切矢量, 那么这个曲面有多少单位切矢量呢? 每点有一圈在

切平面上头等于单位矢量, 而曲面是2维的, 所以它们所成的空间是3维流形. 这是因为

这个点是在曲面上移动, 是2维的, 现在在点定了之后, 单位切矢量可以绕着它转一圈,

 成一个圆周, 所以它是又加一维, 是3维. 这个3维空间非常要紧.
我想现在实际上, 你们要了解微积分或者了解跟微积分下去的数学或者在数学中的应用

, 这个情况是最简单的, 同时是最有用的. 所以我有一个3维空间, 由于每一点有个圆周

, 现在有个名字叫做圆丛, 或者圆周丛, 丛是bundle. 所以你要研究曲面的几何性质,

用这个解析的方法, 一定要讨论它的圆丛. 讨论圆丛了之后, 一切都简单了. 因为一切

都是矢量, 而是矢量的话, 它有分量, 就可以微分, 就可以用代数或者微分的运算.
我们是在讨论微积分, 我们假定碰到什么函数都可以微分. 我叫在这个曲面上的点为$x

$, 那么$dx$ 是一个矢量, 就是从原点连着这个点的矢量.  $x$ 是$u,v$ 的函数,  而

$u,v$是曲面上的局部坐标, 所以你可以写出$dx$: 假使$x$ 限制在曲面上, 那么$dx$一

定是$e_1$ 与$e_2$的线性组合, 所以在这个地方, 我就充分利用外微分的观念. 实际上

$dx$是一个矢量值的一次微分式, 所以它是$e_1$ 与$e_2$ 的线性组合, 它的组合系数

是一次微分式, 所以
$dx$可以写为
$$dx=\omega_1e_1+\omega_2e_2.\eqno (5.1)$$
$(dx,dx)$ 就是我们曲面的黎曼度量. 因为 $e_1,e_2$是互相垂直的单位矢量, 所以
$$\omega_1^2+\omega_2^2=ds^2\eqno (5.2)$$
就是黎曼度量. 如果这个清楚了, 这对于普通讲微分几何简单多了. 因为普通微分几何

, 黎曼度量要写成 $g_{ij}dx_idx_j$, 这是因为在切空间里所利用的坐标是任意的 Ca

rtesian坐标, 它不一定垂直, 也不一定是单位.
$dx$ 等于$\omega_1e_1+\omega_2e_2$, 但是我们外微分有个基本的性质, 就是再用一

次的话, 它等于0. 这就是普通说的偏微分可以是交换的条件, 一样的, 也就是得到的偏

微分与微分的次序无关. 所以你就把$d$用到$dx$上头, 一定等于0. 你把右边展开的话

, 就得到$d(\omega_1e_1)+d(\omega_2 e_2)$, 注意当外微分前面有一个一次因式的话

, 微分第二个因子要改号. 总而言之, 可以得到
$$d\omega_1=-\omega_2\wedge \omega_{12};d\omega_2=\omega_1\wedge \omega_{12}

.\eqno (5.3)$$
$$0=d\omega_3=\omega_1\wedge \omega_{13}+\omega_2\wedge \omega_{23}.\eqno (5

.4)$$
我会在下面给出$\omega_{12},\omega_{13},\omega_{23}$.
既然用微积分了, 所以可以把$(xe_1e_2,e_3)$的微分表为 $e_1,e_2,e_3$的线性组合.

 这个线性组合把$de_i$写成$\omega_{ij}e_j$. 现在我用微分几何普通的符号: 假使有

一个指数要重复的话, 就表示相加, $i,j,k$从1到3. 你把$de_i$ 写成$\omega_{ij}e_

j$,  $\omega_{ij}$的几何意义很明显: 你现在有一组标架, 这组标架跟一组参数有关

系, 而对于这一组标架, 就有一个邻近标架, 这个邻近标架跟原来标架的关系就是$\om

ega_{ij}$. 这关系是由一次微分式来表示的. 因此就有
$$de_i=\omega_{ij}e_j.\eqno (5.5)$$
这组方程式很要紧, 它就表示两个邻近标架互相的关系.
在这个情况之下, 微分几何跟力学不大一样, 力学往往变数是时间, 所以一个标架跟着

时间在移动, 因此你整个标架只有一个变数, 都是时间$t$的函数. 现在我们是一个曲面

, 每点有许多标架, 所以我这标架的参数是3. 这是因为有切面的局部坐标, 又有切矢量

在平面里头变换的坐标, 所以我现在这个自变数是3, 还因为$E$ 这空间是3维的. 自变

数高了, 所以这是有原因使得外微分有效.
我们已将$de_i$ 写成方程(5.5). $\omega_{ij}$对于$i,j$是反对称的, 这是因为我的

标架是单位标架, 即因为$(e_i,e_j)=\delta_{ij}$,  所以它是反对称的. 因此$\omeg

a_{ij}$实际上很简单: 你把 $(\omega_{ij})$写出来, 它是一个方阵. 这个方阵是反对

称的, 所以在对角线的$\omega$等于0, 其余的对着对角线是反对称的, 因此实际上只有

3个一次微分式:
$\omega_{12},\omega_{13},\omega_{23}$.
我想我上次证明了 $\omega_{12}$由$d\omega_1,d\omega_2$的方程(5.3)完全确定, 这

是一个重要的定理, 这是使得Levi-Civita出名的重要定理.
我现在把方程(5.5)求外微分. 因为$d(de_i)=0$,  所以右边的话, 我就得求$d\omega_

{ij}$,  结果得到的是
$$d\omega_{ij}=\omega_{ik}\wedge \omega_{kj}.\eqno (5.6)$$
因此这些$\omega$之间有很简单的关系, 简单得不得了. 因为什么呢?因为对于$d\omeg

a_{ij}=\omega_{ik}\wedge \omega_{kj}$, $i,j$是不相等的. 如果相等了的话, $\om

ega_{ii}$ 是0, 这是因为$\omega$是反对称的, 所以你取$i\ne j$. 如果$k$等于$i$,

 则$\omega_{ii}=0$; $k$要等于$j$, $\omega_{jj}=0$. 所以$k$ 不等于$i$, 不等于

$j$.  因为我们是在3维空间, $k$只有一个可能性. 因此这个看着很神奇的方程式, 它

的右边只有一项, 我上次把它写下来了, 就是
$$d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge \omega_{32}.\eqno (5.7)$$
$$d\omega_{13}=\omega_{12}\wedge \omega_{23}.\eqno (5.8)$$
$$d\omega_{23}=\omega_{21}\wedge \omega_{13}.\eqno (5.9)$$
尤其是得到$d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge \omega_{32}$这个公式. 但是$\omega$

是反对称的, 所以就得到
$$d\omega_{12}=-\omega_{13}\wedge \omega_{23}.\eqno (5.10)$$
而 $\omega_{13},\omega_{23}$都是$\omega_1,\omega_2$的线性组合:
$$\omega_{13}=a\omega_1+b\omega_2,\;\omega_{23}=b\omega_1+c\omega_2.\eqno (5

.11)$$
这刚巧就得到下面这个公式:
$$d\omega_{12}=-\omega_{13}\wedge \omega_{23}=-K\omega_1\wedge\omega_2.\eqno


--

※ 来源:．珞珈山水 http://bbs.whu.edu.cn  ◆ FROM: 202.100.249.207




--

※ 来源:．哈工大紫丁香 http://bbs.hit.edu.cn [FROM: 202.118.229.86]