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标  题: S.S.chern的微积分讲义（6）
发信站: 哈工大紫丁香 (Sun Jul  7 15:15:55 2002) , 转信

发信人: holy (勾股定理), 信区: Math
标  题: S.S。chern的微积分讲义（6）
发信站: 珞珈山水 ( 2002年07月06日12:53:38 星期六), 站内信件



\begin{center} {\Large \bf\ziti{B} 第六讲\quad 曲面论(三)} \end{center}
\begin{center}{\Large \bf\ziti{B} —Gauss-Bonnet公式(续)}\end{center}
\begin{center} 2001年11月30日\end{center}
{\ziti{B}(I) 微积分在复变函数论中应用简介}
我还应该再讲两次. 这两次我有个计划: 预备讲一点复变函数论, 因为在数学中, 很要

紧的一件事实, 同时在数学史上也是非常要紧的一件事情, 就是有复数. 这个复数使得

数学简单, 复函数有许多漂亮, 有意思的性质, 因此, 这使得这些函数在应用上特别有

用处. 所以, 我预备讲一讲, 比如说, 复变函数有一个很重要的性质: 任意的代数方程

在复变函数之中一定有解. 这是一个不得了的事情, 因为不管你怎么样写一个方程, 你

要是允许解是复数的话, 它一定有解. 例如, $x^2+1=0$, 那么它有个解就是$\sqrt{-1

}$,  所以$\sqrt{-1}$就这么样子有用处. 不但如此,  复数跟实数一样, 可以加减, 有

同样的性质, 所以, 它可以运算. 同时它包含了许多材料是实数不能包含的.
我想我的课在过程中一定会有个空挡, 在空挡的时候, 我想找两次讲复变函数. 我预备

讲: 一个是我刚才讲的代数的基本定理, 就是说任意的代数的方程在复数域中一定有解

. 这个是很难证明的, 需要数学上新的观念. 比方说, 伟大数学家如Euler,  他想法子

证明, 但没有能成功. 我想Gauss 是我们近代最伟大的数学家, 他很年轻的时候就有一

个证明, 也就是复数需要一些几何的性质, 不完全是代数的问题. 我预备下次讲复数的

时候证明这个定理;同时, 复变函数最主要的一个定理是Picard定理, 就是说, 假使对于

一个复变函数, 取它的函数值在复平面里头所取的位置, 它把整个复平面都盖住了, 其

中也许可以去掉一点, 两点. 这是不得了的, 就是说, 函数如果是一个全纯函数的话,

它分布得非常之均匀, 可以说差不多把平面都盖住了. 有意思的一件事情是这个定理是

复变函数高峰的定理, 可以利用我们现在要讲的Gauss-Bonnet公式来证明. 这说明看起

来没有关系的一些方法跟观念, 结果是有关系的. 这是数学上非常要紧, 有意思的问题

.
{\ziti{B}(II) 关于学习的自动性}
这个课快结束了, 你们在这个课写个报告, 最好是自动. 你能够自己找到一个问题, 这

是更要紧的. 我想你们都是大学生, 大学生受高等教育最后的一段, 以后到社会上去,

即使在学校, 在学术单位里头, 最要紧的一定要自动. 不要是等老师叫你做什么, 你再

做什么, 这个最坏. 要自动, 要自己能找问题, 要自己能够答复自己找的问题. 那么,

当然你找的问题不一定合适, 你暂时也不一定能够得到答案. 不过, 你中间经过一些弯

路, 经过一些错误, 可以使得你的学问真正进步, 而使得你真正进步的就是要经过这样

的手续, 所以我鼓励大家要自动.
多一点地讲起来, 你们甚至要能够组织一个团体, 互相报告找问题, 或者请校内校外老

师, 同学来做报告, 这是很有好处的, 自己要把数学想一想, 或者对任意的学问, 你自

己有个思想, 觉得有个什么样的活动, 对于你, 对于这个学问的知识可以增加, 同时你

对学问的能力也可以增加. 所以这是很值得注意的一件事情, 希望你们考虑一下这个可

能性.
{\bf\ziti{B}(III) Gauss-Bonnet公式的证明}
上次, Gauss-Bonnet公式我没有证明全, 所以我先把证明说全了. 我上次讲的Gauss-Bo

nnet公式就是: 假使在空间里头有一个曲面, 它是一个整个的曲面, 并且假使这个曲面

是定向的, 即它的法线有一定的方向, 于是这样子, Gauss曲率$K$就是曲面上的一个函

数, 我可以把这个函数对于曲面上的面积度量求积分, 这个积分是一个2重积分, 求它积

分之后, 结果这个积分等于一个常数($2\pi$)乘以曲面的Euler 示性数. 即
$$\int\int KdA=2\pi\chi (M)\eqno (6.1)$$
Euler示性数就是把曲面切成小块之后, 适于一点自然的条件, 把它切完之后, 其顶点个

数$-$边的个数$+$面的个数, 这样3个数的正负的和就叫做这个曲面的Euler示性数. 当

曲面是球面的话, 它的Euler示性数$=2$, 如果它是个环面, 它的Euler 示性数是0. 你

们可以试一试, 就能得到这个.
如果曲面是个定向曲面, 这是它的唯一的拓扑不变式. 一般讲起来, 假使球上加几个环

, 环的个数就跟Euler示性数有个关系: 这环的个数普通叫曲面的亏格(genus), 这是曲

面最重要的拓扑不变式. 有意思的是, 这曲面的性质, 曲面上头函数的性质跟亏格有密

切的关系, 所以亏格是拓扑不变式, 它影响到曲面的几何性质和解析性质, 有非常之重

要的影响. 所以整个这些关系是很深奥的, 相当深奥的. 因此, 也是非常要紧, 非常有

意思的.
我上次证明Gauss-Bonnet公式, 最要紧的公式就是
$$d\omega_{12}=-\omega_{13}\wedge \omega_{23}=-K\omega_1\wedge\omega_2.\eqno

 (6.2)$$
我现在重复一遍. 要研究曲面论的话, 一定要研究曲面上的标架. 假使取这个标架, 使

标架的3个单位矢量互相垂直, 并且我们假定它是个右手系, 即在两个之间选择一个右手

或者左手, 我们假使是右手系. 那么, 对于这样子标架, 假使你知道第一个矢量之后,

其它两个矢量就确定了. 因为我们假定第三个是曲面的单位法矢量, 那么第一个, 第三

个定了的话, 第二个也就定了. 事实上, 我这是一个单位标架, 同时是右手系(右手标架

), 这就完全定了. 所以对于在一个点的所有这种样子的标架, 一共这种标架有单参数系

(one parameter family), 是根据了一个变数. 曲面是2维的, 再加上这点的标架有一个

参数, 所以曲面所有标架是一个3维的空间. 3维空间有$x$这个顶点, 定它在曲面的位置

, 它去掉两个维, 然后再取一个切线方向, 又有一个维, 因为切线在切面里头可以转,

所以又多了一维. 这样子就得到所有标架系所成空间的3维的性质.
有了标架系, 有什么好处呢? 因为有了矢量, 你可以用公式来表示出来. 矢量有分量,

这分量就有数. 我们搞数学最要紧的要有数. 你要有数的话, 描写是准确的, 并且应用

的时候你可以观察到的都是数. 在某种意义下为什么微积分要紧?  我想数学主要的目的

是研究函数, 研究两个系统的关系. 现在这关系呢, 函数不好搞了, 所以微积分是把这

个关系线性化, 因此可以用代数. 矢量可以加, 拿个数目来乘, 所以微积分主要的成就

是把空间的理论, 把函数的理论线性化, 代数化. 有了代数以后, 你就可以算, 所以就

有用, 因此也重要.
那么有了标架所得到的解析的事实是什么呢? 我把这个标架叫做$ xe_1e_2e_3$,
$$E=\{xe_1e_2e_3|M {\rm \mbox{定向}}\;\;e_3{\rm \mbox{是法矢量}},\;e_1{\rm \

mbox{是切矢量}}\}\eqno (6.3)$$
$e_3$是单位的法矢量. $x,e_1,e_2,e_3$ 都是矢量, 所以它们的微分也是一个矢量. 微

分之后是一次微分式矢量值. 因此, 它们可以表为 $e_1,e_2,e_3$的一个线性组合.
我把$dx$表为线性组合, 得到的系数我叫做$\omega_1,\omega_2$,
$$dx=\omega_1e_1+\omega_2e_2.\eqno (6.4)$$
$\omega_1\wedge\omega_2$就是曲面的面积度量, 是一个2次微分式, 它当然可以用来做

个重积分的积分函数(integral), 所以把它积分的话, 就得到这个曲面的面积.
我讲的关于曲面的理论的这些结果, 你在微分几何书上找不到. 如果你不能完全接受,

不能完全懂的话, 没有关系. 因为这些内容大概是普通微分几何可以讲一个月, 我讲一

两次就把它讲完了. 这也证明这个方法的优点. 它的优点主要是我在研究3维空间的Euc

lid 几何.  Euclid几何最好是用正交标架, 因为正交性在Euclid几何不变, 是有意义的

, 所以最好用正交标架. 那么, 一般的微分几何的书等用到曲面论的时候, 它不用正交

标架, 你要想别的法子. 比如说, 平面解析几何, 你不用正交标架, 你的两个坐标不垂

直, 甚至于它走的方向不是单位的方向, 你去试试看就知道难多了, 麻烦多了. 不是不

可能做, 可以做到, 就是麻烦多了. 有意思的一件事情, 当然我们都知道, 坐标系统是

法国的哲学家, 数学家笛卡尔发现的. 他头一次用坐标的时候不是正交标架, 都是任意

的标架. 他用任意的标架拿来处理这种几何的问题. 不知道是哪位先生放了个正交标架

, 以后你在书上看到的都是正交标架.
所以, 我的标架是$xe_1e_2e_3$, 这4个都是矢量. 它们的微分也得到矢量值的一次微分

, 所以每一个可以表为$e_1,e_2,e_3$的线性组合. 由于我们是在一个3维的空间, 那么

这就是上面写的这个公式(6.4)和下面的公式:
$$de_i=\omega_{ij}e_j.\eqno (6.5)$$
这时候, 因为是一次微分式, 所以这种线性组合是$e_1,e_2,e_3$的线性组合, 它的系数

是一次微分式, 不再是函数了. 以前如果是函数的话, 它线性组合的系数是函数, 现在

, 系数是一次微分式, 这些一次微分式重要得很. 因为它描写一个标架跟它临近标架的

关系: 它临近标架动一点点, 跟原来相差多少? 相差是一个微分, 就是我们的$\omega_

i$跟$\omega_{ij}$.
这几个微分式有简单的关系, 最要紧的是$\omega_{ij}$, 你看它很麻烦,  $i,j$从1到

3,  但是因为标架是正交的单位矢量, 所以$\omega_{ij}$对于$i,j$是反对称的. 因此

, 你把$\omega_{ij}$写成一个$3\times 3$ 的方阵的话, 这个方阵是反对称的, 它的对

角线的元素都是0, 并且对于对角线它是反对称的, 所以只有3个真正要处理的一次微分

式.
你要用标架来研究几何的这种情况, 在力学很自然. 力学讲一个物体在那儿移动, 那么

它的位置就是时间的函数, 因此, 这标架是时间的函数. 这种函数在力学上是一个变数

的函数. 因为在力学上, 在动力学上, 真正的变数是时间, 只有一个. 但是要研究几何

的话, 情况来得复杂, 可能这个标架是跟多于一个变数有关系, 可以是多变数的函数.

因此这之间就有些关系, 这关系就是你求$d(de_i)$. 我讲过, 你用上$d$的话, $d$用两

次是0. 所以你把这个关系写出来的话, 就得到$d\omega_{ij}$ 是一个式子, 可以用其

他的$\omega$来表示, 这式子是
$$d\omega_{ij}=\omega_{ik}\wedge \omega_{kj}.\eqno (6.6)$$
你得到这样子一组方程, 这是有意义的. 因为$\omega_{ij}$是一次微分式, 你把它微分

的话是2次微分式, 而在右边是两个一次微分式相乘, 所以也是2次微分式, 因此这组方

程不荒谬. 这组方程非常要紧, 它们代表运动群整个的性质. 这组方程看着复杂, 其实

非常简单, 因为这些$\omega_{ij}$ 是反对称的, 所以如果$i\ne j$ 的话, 例如, 如果

$i=1,j=2$, 那么$k=3$. 这是因为$k$ 要是等于1,  于是有$\omega_{11}=0$, 而要是$

k$等于2, 那么有$\omega_{22}=0$. 所以这组方程式看着复杂, 右边只有一项.
很简单地, 你还可以得到一个特别情形, 就得到
$$d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge \omega_{32}=-\omega_{13}\wedge \omega_{23}.

\eqno (6.7)$$
这个公式要紧极了. 我们在这个情形就碰到一个新的情况: 同样你们念微积分的时候,

一般只有一个空间, 大概一般不是平面就是3维 空间, 可是我们现在有两个空间, 一个

是标架常数成的空间, 是3维的;另一个是我们2维的曲面, 所以我有一个2维曲面还有一

个3维的空间, 这3维空间是个标架. 因此如果一个标架, 你取它原点的话, 我们说它就

投影到曲面上去了, 这样子就有个投影.
现在它有个名词叫做纤维丛. 现在是圆周丛了, 纤维是圆周, 有一把圆周, 而整个的圆

周所成的空间就是我原来的曲面, 我们叫原来的曲面为底空间. 拿同一个原点的所有单

位切矢量就成纤维, 于是构成纤维丛. 它就象我们衣服似的, 有一条一条的线. 最简单

的纤维丛是它的纤维是直线, 那么它是直线丛. 我试着把它比方成一把筷子, 你有好多

筷子, 每一根筷子是条直线, 那么有好多筷子, 整个筷子成一个空间, 这就是我们的纤

维丛, 这是直线的情况.
我们现在做的情况是圆周丛. 这个观念是微积分里头一个新的观念, 就是说, 你不是讨

论一个空间, 而是你在讨论两个空间, 并且这两个空间之间有密切的关系. 一个是圆周

所成的空间, 一个是我们的底空间, 也就是原来的曲面. 这两个空间之间有我所说的这

个关系, 这个关系有意思极了, 重要极了, 因为有下面的关系
$$d\omega_{12}=-K\omega_1\wedge \omega_2. \eqno (6.8)$$
右边是曲面上的式子, 这是因为$K$是Gauss曲率,  $\omega_1\wedge\omega_2$是面积度

量, 所以右边是曲面上的性质. 左边是一个东西的微分. $\omega_{12}$是在纤维丛$E$

里头的一次微分式, 这个一次微分式的外微分等于右边的式子. 这个证明说明Gauss 曲

率只跟Riemann 度量有关, 因为要是有了Riemann度量就有$\omega_{12}$.  那么我们右

边的式子只跟Riemann度量有关, 这是Gauss 当年很得意的一个结果, 连Guass都觉得很

不得了有这么样子一个关系.
Gauss-Bonnet公式就是我们要求右边这个式子的积分. 我们现在有一个封闭的曲面, 它

是定向的, 要求右边的积分, 求出它的值来. 那么当时我也有一种错误, 因为右边这个

式子既然是$d$ 一个东西的话, 在一个封闭曲面上的积分应该是0. 事实上, 它应该等于

$\omega_{12}$沿着这个曲面的边界的积分, 而如果曲面是封闭的, 它没有边界, 所以应

该是0. 这显然是错的. 为什么它不等于0? 我们虽然有$d\omega_{12}=-K\omega_1\wed

ge \omega_2$,  但这个关系不是在一个2维空间上, 它是在$E$这个3 维空间上. 所以我

们只能够在3维空间利用Stokes 定理. 而在3维空间的话, 这个曲面在3维空间里头就有

边界了. 你要把这个曲面升到3维空间去, 怎么升呢? 就是每点要给一个拿这点做原点的

切矢量. 换句话说, 这就是所谓的矢量场. 所以这个曲面需要有个矢量场, 每点有个切

矢量, 而这个切矢量是$E$里头的一个点, 就把这个曲面升到$E$里头去.
假使有一个曲面, 是不是一定有个矢量场? 这不简单了. 在局部的时候, 当然很简单.

你写下坐标, 随便写些矢量, 就有了. 是不是能够在整个曲面给一个矢量场, 这是几何

里头所谓整体的问题, 普通拓扑就搞这个问题. 也就是说, 局部显然可以写矢量的, 你

有局部坐标, 你把坐标分量写下来, 当然就有个矢量场, 但是这个是局部的, 能不能扩

充到整个的曲面, 不一定可能. 那么, 我上次已经讲过, 要这样的话, 必须允许这个矢

量场有异点(singularity). 比方说, 在下面几个图里头有几个矢量场的例子: ( 图见透

明片)
最左边的例子, 它的异点就在原点, 经过这个原点, 向所有方向画矢量. 除了原点之外

, 就定了一个矢量场, 但是原点是一个异点, 它是所有水流出来的出发点, 所以它是个

异点. 第二个, 所有矢量都向原点走, 原点还是一个异点, 原点就变成一个沉下去的一

个点, 英文叫sink. 而左边的叫source. 当然也有象最右边的例子.
从这些例子可以看出矢量场在异点有不同性质. 如何描写它的不同的性质, 就有一个叫

做矢量场的指标(index). 你在这一点, 假使有个孤立的异点, 那么围着这个异点做个小

圆圈, 因为是孤立的异点, 所以在小圆圈上的点的矢量是完全确定的. 那么现在, 在小

圆圈的点绕着异点转多少圈呢? 如果转一圈, 并且是在正的方向转一圈, 它的指标是1.

 如果向负的方向就是$-1$. 那么, 在我的上面例子中, 无论sink 还是source, 指标都

是 1 . 双曲线的现象指标为$-1$. 异点很复杂, 因此指标可以取任何值.
假使我把曲面升到纤维丛里头, 升到圆周丛里头, 并且允许有异点, 那么这个上去的曲

面就有边界, 这个边界就相当于这些异点. 所以根据公式$d\omega_{12}=-K\omega_1\w

edge \omega_2$, 我们关于 Gauss曲率的积分就等于异点的指标和. 所以我们证明一个

重要性质: 不论你取任何一个矢量场, 假使它只有有限个异点, 我们这个积分是指标和

, 即是把每个异点的指标加起来就等于指标和.
这里很要紧, 因为这个积分是跟矢量场选择无关的. 所以这证明了一个曲面假使有一个

有有限个异点的矢量场, 在异点的指标和矢量场的选择无关. 它等于那个积分, 而那个

积分里是没有矢量场, 所以就得到这样一个结果. 我再说一遍, 现在有一个封闭的曲面

, 取一个矢量场, 有有限个异点, 它的指标和是与矢量场的选择无关的, 这是因为它等

于右边的积分, 而右边积分根本没有矢量场, 所以与矢量场的选择无关.
为什么这个数目等于Euler 示性数呢?  现在既然它跟矢量场选择无关, 你就任取一个矢

量场, 比方说, 假使有个曲面, 你把曲面分割了, 分割成小块, 每个小块是三角形. 对

于这三角形, 每个边取它的中点, 三角形取它的重心, 你就可以定一个矢量场, 就象我

所画的. 从顶点出去, 然后到三角形的重心就进去. 对于这样子定的矢量场很容易看出

来, 刚巧在边上的这种点的指标等于$-1$. 于是它在顶点的指标是1, 在三角形重心的指

标都是1, 但是在边上每个点指标为$-1$. 所以把这指标加起来的话, 就等于顶点的个数

$+$面的个数$-$边的个数, 因此就是Euler 示性数. 这样子证明了Gauss-Bonnet 公式.


{\bf\ziti{B}(IV) Gauss-Bonnet公式的推广及应用}
Gauss
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