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发信人: koala (考拉), 信区: Math
标  题: 再谈微积分的物理意义
发信站: 紫丁香 (Mon Mar 20 18:12:59 2000), 转信

导数dydx ，是无限制地靠近00 ，还是等于00 ?是瞬时速度,还是即时速度？
               -----谈微积分的物理意义
                            阎振志
    传统的极限理论所定义的导数dydx 只是无限制地靠近00 ，而不是等于00 ，因而将
其挝理意义说明为“即时速度”，� 物体在某一时刻的速度，是很牵强的。即使硬性定
义，也无法说明“即时速度”到底是什么意思。所以只好把dydx 说成是“瞬时速度”，
其本质仍然是平均速度。
    本文引进“参照运动”这一新概念，以函数Y=x3 +c为例，说明dydx 是严格的数学
意义义上的dydx = 00 ，而其物理意义则是严格的“即时速度”，并以此为基础，说明
微分积分的物理意义�
    一.我们是如何说明时间的──参照运动
    通常，我们总是借助钟表指针的匀速转动来说明时间的，比如秒针转过π30 弧度所
历适奔，我们定义为1秒;分针转过π30 弧度所经历时间我们定义为1分钟。事实上任何
匀速直线运动都可用来说明时间。比如，某质点做匀速直线运动，我们可以定义：当其
路程值为1米时，所历时间为1
秒;当其路程值为t米时，所历时间为t秒。为说明问题方便，本文现给出：
定义1：以其路程值表示标准时间的匀速直线运动为参照运动。
    我们常用的参照运动，事实上就是速度为1米/秒的匀速直线运动。
    二.我们是如何说明物体运动快慢的──平均速度
    “速度”是描述物体运动快慢的物理量。它是怎样产生的?也就是说，我们是如何考
察�
体运动快慢的?如果我们跟随物体进入真空，那很快就会发现，考察其运动快慢是不
可能的�
“快慢”是相对的，即只有在有两个以上物体存在时，才有谁快谁慢可言，孤
立的任何物体
无所谓快慢。
    “有比较才能鉴别”。象判定物体是否运动需要有参照物一样，判定物体运动快慢
需要
一个参照运动。事实� ，我们总是从比较所论物体与做参照运动的物体在同一时间内所
通�
的路程值来说明所论物体运动快慢的。
    如图.设质点Y 沿y轴做变速直线运动，质点X 沿x轴做参照运动，Y 的路程值y，与
X的�
程值x有函数关系：Y=x3 +c.式中c为任意常数。
   注意到定义1，可知：
   结论1：运动方程Y=x3 +c中的自变量x(以下称参照变量)即是做参照运动的质点X的路
程�
，又是质点Y运动时所历时间值。
   令X运动至x点,相应地Y运动至Y=x3 +c点,可得方程Y=x3 +c图像上的点P(x y).同样,
令X�
动至x1 点,x1 =x,Y 将相应运动至y1 =x31 +c点,y1 = y,由此又得Y=x3 +c 图像上
另一点P1
(x1  y1 ).过点P(x y) P1 (x1  y1 )可得割线T1 。
我们做路程增量 Δx= x1 –x 和Δy= y1 –y.显然，Δx= x1 -x≠0说明X运动至异于x
点而
鄕点Δx远的x1 点; Δy=x31 -x3 ≠0说明Y运动至异于y点而距y点Δy 远的y1 点，且：

   令Vx1 x= x21 +x1 x+x2
    因为Δx,Δy分别为在同一时间Δx内，质点X、Y通过的路程，所以：
    结论2：函数Y=x3 +c的平均变化率的物理意义为，路程增量之比ΔyΔx = Vx1 x是
描述
实鉟运动状态，即运动快慢的物理量，它说明在时间Δx= x1 –x内，质点Y运动的快慢
是质
鉞所做参照运动快慢的Vx1 x倍。
    就数学意义而言：
结论3：Y=x3 +c的差值之比，即平均变化率ΔyΔx = Vx1 x是描述函数变化状态，即变
化快
的数学量。它说明在区间[x, x1 ]内，函数y变化的快慢平均是参照变量x变化快慢的&
#175
Vx1 x倍。
如果测定某架飞机的Vx1 x =300，则说明，在时间[x, x1 ]内，飞机运动的快慢是参照
运动
慢的300倍。由于参照运动的快慢是规定的`已知的，所以飞机运动的快慢也可以认为是
已�
的了。
    三.导数.即时速度
    然而，仅仅有ΔyΔx = Vx1 x是远远不够的，应对其做进一步的分析。
    令X的路程值x1 接近并等于x，此时Δx= x1 –x,相应的Y的路程值y1 将接近并等于
y,�
时Δy= y1 –y。伴随这一过程，Vx1 x =ΔyΔx = x21 +x1 x+x2  将转化为00 =3
x2 。令
x=00 =3x2  有:
    结论4：Δx= x1 –x即是质点X运动至x点的结果，又从数量角度说明质点X运动至x
点。
    定义2：为了说明Δx =0是由上述运动产生的,我们用dx代表它，即dx=Δx =x1 –x
=0�
并称之为函数Y=x3 +c中参照变量x的微分。
    结论5：Δy= y1 –y即是质点Y运动至y点的结果，又从数量角度说明质点Y运动至y
点。
    定义3：为了说明Δy =0是由函数Y=x3 +c伴随dx所代表的过程与结果而产生的，我
们用
y代表它，即dy=Δy= y1 –y并称之为函数y的微分。
    由定义2.3的规定，00 =3x2   应记为：dydx =3x2  。
伴随dx.dy所指出的过程，x21 +x1 x+x2  转化为3x2  .这一过程我们记为：
定义4：我们称lim (x21 +x1 x+x2 )为x21 +x1 x+x2  当x1 趋近并等于x时的极限值。

    定义5：我们称dydx =3x2 为函数Y=x3 +c的导数。
    注意到结论2、4、5，定义2、3，可得：
    结论6：dydx =3x2 仍然是描述质点Y 运动快慢的物理量，它说明在dx所表示的时刻
x，
当质点Y运动至dy所表示的y点时，质点Y运动的快慢是质点X所做参照运动快慢的3x2 倍
。
    伴随上述过程，割线T1 将运动至T的位置。它说明做变速直线运动的质点Y在任意时
刻x
动的快慢，与一个匀速� 线运动在该点运动的快慢相同。例如设dydx =300,则其说明做
变�
直线运动的质点运动的快慢与速度为300的匀速直线运动相同。
    显然，如果dydx 仅仅是靠近00 ，而不是dydx =00 ,那么平均速度Vx1 x就将永远靠
近�
时速度Vx，而永远不会转化为即时速度Vx。为了得到即时速度Vx，就必须令dydx =
00 。
    设3x2 =f`(x)，可有：
    结论7：Y=f`(x)=x3 +c的导数dydx =f`(x)的数学意义为，在dx.dy所确定的点P(x,
y)，
齳的变化的快慢是参照变量快慢的f`(x)倍。
       对于确定的函数y=f(x)，按照dx,dy的定义，求出f`(x)是微分学的基本任务。
    四.函数Y= x3 +c的微分运算
    在讨论函数Y= x3 +c时曾得到：00 =3x2 。如将该式两端同乘以0，即去分母，将得
：0
0.而它是毫无意义的。因此在00 =3x2  中不允许去分母，即00 中的两个0不能分开。但
对d
dx =3x2 则不然，它可通过去分母转化为dy=3x2 dx。
    dydx =3x2 的物理意义为：在P(x,y)点，质点Y运动的快慢是参照运动快慢的倍3x2
。
    dy=3x2 dx的物理意义为：做参照运动的质点X运动至x点时，运动快慢是其3x 倍的
质点
将运动至y点。
显然，dydx =3x2 和dy=3x2 dx是从不同角度说明同一问题：质点y的运动状态。因而：

结论8：dydx =3x2 和dy=3x2 dx是等价的。
    五.关于积分
   若质点Y沿y轴运动，质点X沿x轴做参照运动，其运动方程为dydx =3x2 或dy=3x2 dx
。
   现在的问题是，质点Y,X运动时所处空间位置，y.x的数值有什么关系？也就是说，我
们�
不能找到一个函数y=f(x)，使得它能够按照dx.dy定义所指出的过程，产生3x2 ?
    若以dy=3x2 dx表示质点Y运动时所处空间位置的值，那么，由前面的讨论，显然：

    结论9： 3x2 dx=x3 +c
    定义6： 3x2 dx称为f(x)=3x2 的不定积分。
    若以 ab 3x2 dx表示当质点X从x轴上的a点运动至b点时，质点Y所取得的路程增量，
可�
：
    结论10：ab 3x2 dx=b3 -a3  。
    定义7：ab 3x2 dx称为函数f(x)=3x2  从a到b的不定积分。
    找到函数f(x)，使其能够按照dx、by的定义产生f(x)是积分学的基本任务。
   由于无法发表文中的数学符号和图形，所以愿意与各位对本文感兴趣的朋友以其他的
方�
交流和探讨。
                   作者单位：中国.黑龙江.齐齐哈尔
                   铁路教师进修学校
                   电话：0452-2529534
                   邮编：161002


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