发信人: micheal (平凡的世界), 信区: Math
标 题: 不动点理论简介 (转载)
发信站: 哈工大紫丁香 (Fri Apr 7 13:20:43 2000), 转信
【 原文由 space 所发表 】
Some Basic Concepts:
1. 度量空间: 设集合X上定义了元素间的距离d(x,y), 则称该集合为一个度量
空间,记为(X,d). d也称为度量,满足下述条件:
a) d是有限非负实数;
b) 当且仅当元素x=y时,d(x,y)=0;
c) d(x,y)=d(y,x);
d) d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y);
上述四条件是从一般欧几立德空间两点距离定义推广而来.
以下是几个例子:
a) 实数R, 定义d(x,y)=|x-y|.
b) 欧氏平面 R^2, 设x=(s1,s2), y=(t1,t2), 定义
d(x,y)=Sqrt[(s1-t1)^2+(s2-t2)^2].注意d的定义可以不同,此例还可定义
d(x,y)=|s1-t1|+|s2-t2|. 同一集合上不同的度量定义导致不同度量空间.
c) 函数空间C_{J}: 代表定义在域J上的所有实函数f(t). 度量可取为:
d(f(t),g(t))=max|f(t)-g(t)|.当然还有别的度量定义. 在那篇文章中,
D_{J}是一函数空间,但每一函数均为密度函数,所以D_{J}是c_{J}的一个
子空间.
2. 序列的收敛性: 度量空间(X,d)中的一个序列{x_{n}}是收敛的, 指存在
x, 使Limit[d(x_{n},x), n->infinity]=0.此时x称为该序列的极限.
若不存在该极限,则该序列称为发散的.
3. 定义(科希序列,完备性): 度量空间(X,d)中序列{x_{n}}, 若对任给e>0,
存在N, 使得当m,n>N时,d(x_{m},x_{n})<e, 则称{x_{i}}为科西序列
或基本列. 若(X,d)中每个科西序列均收敛,则称(X,d)是完备的.
4. 赋范空间,巴拿赫空间
4-1.矢量空间: 所谓域K上的矢量空间X指非空集合X,其元素定义了两种代数
运算,即矢量的加法和矢量于预K上标量的乘法.矢量空间就是线性
空间,此处不多说了.
4-2.赋范空间:就是以矢量范数为度量的矢量空间.设x是X中一矢量, 其范数定义为:
||x||, 具有下述性质:
a) ||x||>=0
b) ||x||=0<=>x=0
c) ||a*x||=a*||x||
d) ||x+y||<=||x||+||y||
范数定义实际是从矢量长度推广而来. 所以赋范空间的定义为矢量空间X及度量
d(x,y)=||x-y||.
4-3.巴拿赫空间: 就是完备的赋范空间.殴氏空间就是一个完备的赋范空间,是
一个巴拿赫空间.
5. 不动点理论:
5-1: 巴拿赫不动点定理.
a) 定义(不动点): T是集合X到X的一个映射,若Ty=y,则称y是T的一个不动点.
b) 定义(迭代): x_{n+1}=Tx_{n},称为以x_{0}为初值的T的一个迭代序列.
c) 定义(压缩映射):度量空间(X,d)上的映射T:X->X,称为是压缩的,若存在
正实数a<1,使对所有x,y(属于X)都有:
d(Tx,Ty)<=a*d(x,y)
几何上表示两点距离被映射缩小了.
Theorem(巴拿赫压缩定理):若T是(X,d)上的压缩映射, 则T恰好有一个不动点.
Proof:
a) 思路:构造一个序列{x_{n}},证明它是科西序列,从而在完备的度量空间中
是收敛的,最后证明极限x便是不动点.
b) 过程: 任选X中x_{0},得迭代序列{x_{n}}为x_{n+1}=Tx_{n},n=1,2,...
由于T是压缩映射, 有:
d(x_{m+1},x_{m})=d(Tx_{m},Tx_{m-1})
<=a*d(x_{m},x_{m-1})
=d(Tx_{m-1},Tx_{m-2})
<=a^2*d(x_{m-1},x_{m-2})
.....
<=a^m*d(x_{0},x_{1}).
在利用度量的三角不等式,对n>m, 有:
d(x_{m},x_{n})<=d(x_{m},x_{m+1})+d({x_{m+1},x_{m+2})+..+d(x_{n-1},x_{n}).
<=(a^m+a^(m-1)+..+a^(n-1))d(x_{0},x_{1}).
=(几何级数求和)a^m*(1-a^(n-m))/(1-a)* d(x_{0},x_{1}).
0<a<1=>1-a^(n-m)<1,故
d(x_{m},x_{n})<=a^m/(1-a)*d(x_{0},x_{1}), (n>m).
只要m充分大,则d(x_{m},x_{n})可任意小.这就证明乐该序列是科西序列.由于
(X,d)是完备的,所以该科西序列是收敛的,设其极限点为x.以下证明x正是
T的不动点.
由三角不等式,有(注意x_{m}=Tx_{m-1},及Tx=x):
d(x,Tx)<=d(x,x_{m})+d(x_{m},Tx)
<=d(x,x_{m})+a*d(x_{m-1},x)
因为Limit[x_{m},m->infinity}=x, 所以,
Limit[d(x,x_{m})+a*d(x_{m-1},x),m->infinity]=0,
所以d(x,Tx)=0.根据度量的性质,d(x,Tx)=0=>x=Tx, 所以x是T的不动点.
以下证明唯一性:设出x外还有x'是T的不动点,则:
d(x,x')=d(Tx,Tx')<=a*d(x,x').由于a!=0,所以d(x,x')=0=>x=x'.
Theorem: 对完备的度量空间(X,d), T是X->X的映射.若存在N使T^(N)(代表映
射TTT..T(N个))是压缩映射,则T在X上必有唯一不动点.
Proof:T^(N)是压缩映射,则T^(N)有唯一不动点,设为x.以下证明x也是T的不动点.
T^(N)x=x=>TT^(N)=Tx=>T^(N)Tx=Tx=>Tx是T^(N)的不动点.
但压缩映射T^(N)只有唯一不动点,故Tx=x,所以x也是T的不动点.
又设x是T的不动点,Tx=x=>TTx=Tx=x=>T^(N)x=x, 即x也必是T^(N)
的不动点.压缩映射T^(N)仅有一个不动点,这就证明了T仅有一个
不动点.
Comment: 压缩映射的不动点是唯一的,并且是稳定的. 刚才这定理中T不一定是
压缩的,因此其不动点不一定是稳定的.这在动力学中是重要的.
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