Math 版 (精华区)

发信人: micheal (平凡的世界), 信区: Math
标  题: The fundamental theorem of algebra(转载）
发信站: 哈工大紫丁香 (Fri Apr  7 13:31:49 2000), 转信

                     The fundamental theorem of algebra

The Fundamental Theorem of Algebra (FTA) states

     Every polynomial equation of degree n with complex coefficients
     has n roots in the complex numbers.

In fact there are many equivalent formulations: for example that every real
polynomial can be expressed as the product of real linear and real quadratic
factors.

Early studies of equations by al'Khwarizmi (c 800) only allowed positive
real roots and the FTA was not relevant. Cardan was the first to realise
that one could work with quantities more general than the real numbers. This
discovery was made in the course of studying a formula which gave the roots
of a cubic equation. The formula when applied to the equation x[^3] = 15x +
4 gave an answer involving [sqrt]-121 yet Cardan knew that the equation had
x = 4 as a solution. He was able to manipulate with his 'complex numbers' to
obtain the right answer yet he in no way understood his own mathematics.

Bombelli, in his Algebra, published in 1572, was to produce a proper set of
rules for manipulating these 'complex numbers'. Descartes in 1637 says that
one can 'imagine' for every equation of degree n, n roots but these imagined
roots do not correspond to any real quantity.

Viète gave equations of degree n with n roots but the first claim that
there are always n solutions was made by a Flemish mathematician Albert
Girard in 1629 in L'invention en algèbre . However he does not assert that
solutions are of the form a + bi, a, b real, so allows the possibility that
solutions come from a larger number field than C. In fact this was to become
the whole problem of the FTA for many years since mathematicians accepted
Albert Girard's assertion as self-evident. They believed that a polynomial
equation of degree n must have n roots, the problem was, they believed, to
show that these roots were of the form
a + bi, a, b real.

Now Harriot knew that a polynomial which vanishes at t has a root x - t but
this did not become well known until stated by Descartes in 1637 in La géom
étrie, so Albert Girard did not have much of the background to understand
the problem properly.

A 'proof' that the FTA was false was given by Leibniz in 1702 when he
asserted that x[^4] + t[^4] could never be written as a product of two real
quadratic factors. His mistake came in not realising that [sqrt]i could be
written in the form a + bi, a, b real.

Euler, in a 1742 correspondence with Nicolaus(II) Bernoulli and Goldbach,
showed that the Leibniz counterexample was false.

D'Alembert in 1746 made the first a serious attempt at a proof of the FTA.
For a polynomial f he takes a real b, c so that f(b) = c. Now he shows that
there are complex numbers z[1] and w[1] so that

     |z[1]| < |c|, |w[1]| < |c|.

He then iterates the process to converge on a zero of f. His proof has
several weaknesses. Firstly, he uses a lemma without proof which was proved
in 1851 by Puiseau, but whose proof uses the FTA! Secondly, he did not have
the necessary knowledge to use a compactness argument to give the final
convergence. Despite this, the ideas in this proof are important.

Euler was soon able to prove that every real polynomial of degree n, n
[ lte ] 6 had exactly n complex roots. In 1749 he attempted a proof of the
general case, so he tried to proof the FTA for Real Polynomials:

     Every polynomial of the nth degree with real coefficients has
     precisely n zeros in C.

His proof in Recherches sur les racines imaginaires des équations is based
on decomposing a monic polynomial of degree 2[^n] into the product of two
monic polynomials of degree m = 2[^(n-1)]. Then since an
arbitrary polynomial can be converted to a monic polynomial by multiplying
by ax[^k] for some k the theorem would follow by iterating the
decomposition. Now Euler knew a fact which went back to Cardan in Ars Magna,
or earlier, that a transformation could be applied to remove the second
largest degree term of a polynomial. Hence he assumed that

     x[^2][^m] + Ax[^2][^(m-2)] + Bx[^2][^(m-3)] +...
     = (x[^m] + tx[^(m-1)] + gx[^(m-2)] +...)(x[^m]
     - tx[^(m-1)] + hx[^(m-2)] + ...)

and then multiplied up and compared coefficients. This Euler claimed led to
g, h, ... being rational functions of A, B, ..., t. All this was carried out
in detail for n = 4, but the general case is only a sketch.

In 1772 Lagrange raised objections to Euler's proof. He objected that
Euler's rational functions could lead to 0/0. Lagrange used his knowledge of
permutations of roots to fill all the gaps in Euler's proof except that he
was still assuming that the polynomial equation of degree n must have n
roots of some kind so he could work with them and deduce properties, like
eventually that they had the form a + bi, a, b real.

Laplace, in 1795, tried to prove the FTA using a completely different
approach using the discriminant of a polynomial. His proof was very elegant
and its only 'problem' was that again the existence of roots was assumed.

Gauss is usually credited with the first proof of the FTA. In his doctoral
thesis of 1799 he presented his first proof and also his objections to the
other proofs. He is undoubtedly the first to spot the fundamental flaw in
the earlier proofs, to which we have referred many times above, namely the
fact that they were assuming the existence of roots and then trying to
deduce properties of them. Of Euler's proof Gauss says

     ... if one carries out operations with these impossible roots, as
     though they really existed, and says for example, the sum of all
     roots of the equation x[^m]+ax[^(m-1)]+bx[^(m-2)]+...= 0
     is equal to -a even though some of them may
     be impossible (which really means: even if some are non-existent
     and therefore missing), then I can only say that I thoroughly
     disapprove of this type of argument.

Gauss himself does not claim to give the first proper proof. He merely calls
his proof new but says, for example of d'Alembert's proof, that despite his
objections

     a rigorous proof could be constructed on the same basis.

Gauss's proof of 1799 is topological in nature and has some rather serious
gaps. It does not meet our present day standards required for a rigorous
proof.

In 1814 the Swiss accountant Jean Robert Argand published a proof of the FTA
which may be the simplest of all the proofs. His proof is based on
d'Alembert's 1746 idea. Argand had already sketched the idea in a paper
published two years earlier Essai sur une manière de représenter les
quantitiés imaginaires dans les constructions géometriques. In this paper
he interpreted i as a rotation of the plane through 90[degrees] so giving
rise to the Argand plane or Argand diagram as a geometrical representation
of complex numbers. Now in the later paper Réflexions sur la nouvelle thé
orie d'analyse Argand simplifies d'Alembert's idea using a general theorem
on the existence of a minimum of a continuous function.

In 1820 Cauchy was to devote a whole chapter ofCours d'analyse to Argand's
proof (although it will come as no surprise to anyone who has studied
Cauchy's work to learn that he fails to mention Argand !) This proof only
fails to be rigorous because the general concept of a lower bound had not
been developed at that time. The Argand proof was to attain fame when it was
given by Chrystal in his Algebra textbook in 1886. Chrystal's book was very
influential.

Two years after Argand's proof appeared Gauss published in 1816 a second
proof of the FTA. Gauss uses Euler's approach but instead of operating with
roots which may not exist, Gauss operates with indeterminates. This proof is
complete and correct.

A third proof by Gauss also in 1816 is, like the first, topological in
nature. Gauss introduced in 1831 the term 'complex number'. The term
'conjugate' had been introduced by Cauchy in 1821.

Gauss's criticisms of the Lagrange-Laplace pr

--
m;33m※ 来源:·交大兵马俑BBS站 bbs.xjtu.edu.cn·[FROM: 137.138.196.164]m

--

--
☆ 来源:．哈工大紫丁香 bbs.hit.edu.cn．[FROM: sillystone.bbs@smth.]