Math 版 (精华区)

发信人: micheal (平凡的世界), 信区: Math
标  题: The beginnings of set theory(转载）
发信站: 哈工大紫丁香 (Fri Apr  7 13:32:21 2000), 转信

                        The beginnings of set theory


The history of set theory is rather different from the history of most other
areas of mathematics. For most areas a long process can usually be traced in
which ideas evolve until an ultimate flash of inspiration, often by a number
of mathematicians almost simultaneously, produces a discovery of major
importance.

Set theory however is rather different. It is the creation of one person,
Georg Cantor. Before we take up the main story of Cantor's development of
the theory, we first examine some early contributions.

The idea of infinity had been the subject of deep thought from the time of
the Greeks. Zeno of Elea, in around 450 BC, with his problems on the
infinite, made an early major contribution. By the Middle Ages discussion of
the infinite had led to comparison of infinite sets. For example Albert of
Saxony, in Questiones subtilissime in libros de celo et mundi, proves that a
beam of infinite length has the same volume as 3-space. He proves this by
sawing the beam into imaginary pieces which he then assembles into
successive concentric shells which fill space.

Bolzano was a philosopher and mathematician of great depth of thought. In
1847 he considered sets with the following definition

     an embodiment of the idea or concept which we conceive when we
     regard the arrangement of its parts as a matter of indifference.

Bolzano defended the concept of an infinite set. At this time many believed
that infinite sets could not exist. Bolzano gave examples to show that,
unlike for finite sets, the elements of an infinite set could be put in 1-1
correspondence with elements of one of its proper subsets. This idea
eventually came to be used in the definition of a finite set.

It was with Cantor's work however that set theory came to be put on a proper
mathematical basis. Cantor's early work was in number theory and he
published a number of articles on this topic between 1867 and 1871. These,
although of high quality, give no indication that they were written by a man
about to change the whole course of mathematics.

An event of major importance occurred in 1872 when Cantor made a trip to
Switzerland. There Cantor met Richard Dedekind and a friendship grew up that
was to last for many years. Numerous letters between the two in the years
1873-1879 are preserved and although these discuss relatively little
mathematics it is clear that Dedekind's deep abstract logical way of
thinking was a major influence on Cantor as his ideas developed.

Cantor moved from number theory to papers on trigonometric series. These
papers contain Cantor's first ideas on set theory and also important results
on irrational numbers. Dedekind was working independently on irrational
numbers and Dedekind published Continuity and irrational numbers.

In 1874 Cantor published an article in Crelle's Journal which marks the
birth of set theory. A follow-up paper was submitted by Cantor to Crelle's
Journal in 1878 but already set theory was becoming the centre of
controversy. Kronecker, who was on the editorial staff of Crelle's Journal,
was unhappy about the revolutionary new ideas contained in Cantor's paper.
Cantor was tempted to withdraw the paper but Dedekind persuaded Cantor not
to withdraw it and Weierstrass supported publication. The paper was
published but Cantor never submitted any further work to Crelle's Journal.

In his 1874 paper Cantor considers at least two different kinds of infinity.
Before this orders of infinity did not exist but all infinite collections
were considered 'the same size'. However Cantor examines the set of
algebraic real numbers, that is the set of all real roots of equations of
the form

    a(n)*x^n + a(n-1)*x^(n-1) + a(n-2)*x^(n-2) + ... + a(1)*x + a(0) = 0,

where a[i] is an integer. Cantor proves that the algebraic real numbers are
in 1-1 correspondence with the natural numbers in the following way.

For an equation of the above form define its index to be

     |a(n)| + |a(n-1)| + |a(n-2)| + ... + |a(1)| + |a(0)| + n.

There is only one equation of index 2, namely x = 0. There are 3 equations
of index 3, namely

     2x = 0, x + 1 = 0, x - 1 = 0 and x^2 = 0.

These give roots 0, 1, -1. For each index there are only finitely many
equations and so only finitely many roots. Putting them in 1-1
correspondence with the natural numbers is now clear but ordering them in
order of index and increasing magnitude within each index.

In the same paper Cantor shows that the real numbers cannot be put into 1-1
correspondence with the natural numbers using an argument with nested
intervals which is more complex than that used today (which is in fact due
to Cantor in a later paper of 1891). Cantor now remarks that this proves a
theorem due to Liouville, namely that there are infinitely many
transcendental (i.e. not algebraic) numbers in each interval.

In his next paper, the one that Cantor had problems publishing in Crelle's
Journal, Cantor introduces the idea of equivalence of sets and says two sets
are equivalent or have the same power if they can be put in 1-1
correspondence. The word 'power' Cantor took from Steiner. He proves that
the rational numbers have the smallest infinite power and also shows that R
[^n] has the same power as R. He shows further that countably many copies of
R still has the same power as R. At this stage Cantor does not use the word
countable, but he was to introduce the word in a paper of 1883.

Cantor published a six part treatise on set theory from the years 1879 to
1884. This work appears in Mathematische Annalen and it was a brave move by
the editor to publish the work despite a growing opposition to Cantor's
ideas. The leading figure in the opposition was Kronecker who was an
extremely influential figure in the world of mathematics.

Kronecker's criticism was built on the fact that he believed only in
constructive mathematics. He only accepted mathematical objects that could
be constructed finitely from the intuitively given set of natural numbers.
When Lindemann proved that [pi] is transcendental in 1882 Kronecker said

     Of what use is your beautiful investigation of [pi]. Why study
     such problems when irrational numbers do not exist.

Certainly Cantor's array of different infinities were impossible under this
way of thinking.

Cantor however continued with his work. His fifth work in the six part
treatise was published in 1883 and discusses well-ordered sets. Ordinal
numbers are introduced as the order types of well-ordered sets.
Multiplication and addition of transfinite numbers are also defined in this
work although Cantor was to give a fuller account of transfinite arithmetic
in later work. Cantor takes quite a portion of this article justifying his
work. Cantor claimed that mathematics is quite free and any concepts may be
introduced subject only to the condition that they are free of contradiction
and defined in terms of previously accepted concepts. He also cites many
previous authors who had given opinions on the concept of infinity including
Aristotle, Descartes, Berkeley, Leibniz and Bolzano.

The year 1884 was one of crisis for Cantor. He was unhappy with his position
at Halle and would have liked to move to Berlin. However this move was
blocked by Schwarz and Kronecker. In 1884 Cantor wrote 52 letters to
Mittag-Leffler each one of which attacked Kronecker. In this year of mental
crisis Cantor seemed to lose confidence in his own work and applied to
lecture on philosophy rather than on mathematics. The crisis did not last
too long and by early 1885 Cantor was recovered and his faith in his own
work had returned. However, despite a wealth of important work in the years
after 1884, there is some indication that he never quite reached the heights
of genius that his remarkable papers showed over the 10 year period from
1874 to 1884.

Although not of major importance in the development of set theory it is
worth noting that Peano introduced the symbol [belongs] for 'is an element
of' in 1889. It comes from the first letter if the Greek word meaning 'is'.

In 1885 Cantor continued to extend his theory of cardinal numbers and of
order types. He extended his theory of order types so that now his
previously defined ordinal numbers became a special case. In 1895 and 1897
Cantor published his final double treatise on sets theory. It contains an
introduction that looks like a modern book on set theory, defining set,
subset, etc. Cantor proves that if A and B are sets with A equivalent to a
subset of B and B equivalent to a subset of A then A and B are equivalent.
This theorem was also proved by Felix Bernstein and independently by E
Schr?der.

The dates 1895 and 1897 are important for set theory in another way. In 1897
the first published paradox appeared, published by Cesare Burali-Forti. Some
of the impact of this paradox was lost since Burali-Forti got the definition
of a well-ordered set wrong! However, even if the definition was corrected,
the paradox remained. It basically revolves round the set of all ordinal
numbers. The ordinal number of the set of all ordinals must be an ordinal
and this leads to a contradiction. It is believed that Cantor discovered
this paradox himself in 1885 and wrote to Hilbert about it in 1886. This is
slightly surprising since Cantor was highly critical of the Burali-Forti
paper when it appeared. The year 1897 was important for Cantor in another
way, for in that year the first International Congress of Mathematicians was
held in Zurich and at that conference Cantor's work was held in the highest
esteem being praised by many including Hurwitz and Hadamard.

In 1899 Cantor discovered another paradox which arises from the set of all
sets. What is the cardinal number of the set of all sets? Clearly it must be
the greatest possible cardinal yet the cardinal of the set of all subsets of
a set always has a greater cardinal than the set itself. It began to look as
if the criticism of Kronecker might be at least partially right since
extension of the set concept too far seemed to be producing the paradoxes.
The 'ultimate' paradox was found by Russell in 1902 (and found independently
by Zermelo). It simplify defined a set

     A = { X | X is not a member of X }.

Russell then asked :- Is A an element of A? Both the assumption that A is a
member of A and A is not a member of A lead to a contradiction. The set
construction itself appears to give a paradox.

Russell wrote to Frege telling him about the paradox. Frege had been near
completion of his major treatise on the foundations of arithmetic. Frege
added an acknowledgement to his treatise.

     A scientist can hardly meet with anything more undesirable than to
     have the foundation give way just as the work is finished. In this
     position I was put by a letter from Mr Bertrand Russell as the
     work was nearly through the press.

By this stage, however, set theory was beginning to have a major impact on
other areas of mathematics. Lebesgue defined 'measure' in 1901 and in 1902
defined the Lebesgue integral using set theoretic concepts. Analysis needed
the set theory of Cantor, it couldn't afford to limit itself to intuitionist
style mathematics in the spirit of Kronecker. Rather than dismiss set theory
because of the paradoxes, ways were sought to keep the main features of set
theory yet eliminate the paradoxes.

Did the paradoxes come from the 'Axiom of choice'? Cantor had used the
'Axiom of choice' without feeling that it was necessary to single it out for
any special treatment. The first person to explicitly note that he was using
such an axiom seems to have been Peano in 1890 in dealing with an existence
proof for solutions to a system of differential equations. Again in 1902 it
was mentioned by Beppo Levi but the first to formally introduce the axiom
was Zermelo when he proved, in 1904, that every set can be well-ordered.
This theorem had been conjectured by Cantor. ?mile Borel pointed out that
the Axiom of Choice is in fact equivalent to Zermelo's Theorem.

G?del showed, in 1940, that the Axiom of Choice cannot be disproved using
the other axioms of set theory. It was not until 1963 that Paul Cohen proved
that the Axiom of Choice is independent of the other axioms of set theory.

Russell's paradox had undermined the whole of mathematics in Frege's words.
Russell, trying to repair the damage, made an attempt to put mathematics
back onto an logical basis in his major work Principia Mathematica written
with Whitehead. This work attempts to reduce the foundations of mathematics
to logic and was extremely influential. However the method of avoiding the
paradoxes by introducing a 'theory of types' made it impossible to say that
a class was or was not a member of itself. It did not seem a very
satisfactory way around the problems and others sought different ways.

Zermelo in 1908 was the first to attempt an axiomatisation of set theory.
Many other mathematicians attempted to axiomatise set theory. Fraenkel, von
Neumann, Bernays and G?del are all important figures in this development.
G?del showed the limitations of any axiomatic theory and the aims of many
mathematicians such as Frege and Hilbert could never be achieved.



The URL of this page is:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Beginnings_of_set_theory.html




                 References for The beginnings of set theory

  1. Z Adamowicz, Waclaw Sierpinski's contribution to general set theory
     (Polish), Wiadom. Mat. 26 (1) (1984), 9-18.
  2. I H Anellis, Russell's earliest interpretation of Cantorian set theory,
     1896-1900, Philos. Math. (2) 2 (1) (1987), 1-31.
  3. I H Anellis, Russell's earliest reactions to Cantorian set theory,
     1896-1900, in Axiomatic set theory (Providence, R.I., 1984), 1-11.
  4. I Angelelli, "Class as one" and "class as many" before modern set
     theory, Historia Mathematica 6 (3) (1979), 305-309.
  5. I Copi, The Burali-Forti paradox, Philosophy of Science 25 (1958),
     281-286.
  6. J W Dauben, Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the
     Infinite (Cambridge, MA., 1979).
  7. J W Dauben, Georg Cantor's creation of transfinite set theory :
     personality and psychology in the history of mathematics, Papers in
     mathematics (New York, 1979), 27-44.
  8. A F?hrich, Der Meinungsstreit zwischen Georg Cantor und Leopold
     Kronecker um Grundlagen der Mathematik in der Zeit der Begr?ndung der
     Mengenlehre (Potsdam, 1983).
  9. A Garciadiego, Bertrand Russell and the Origins of the Set Theory
     Paradoxes (Basel, 1992).
10. A R Garciadiego, Bertrand Russell and the origin of paradoxes in set
     theory (Spanish), Mathesis 4 (1) (1988), 113-130.
11. H Gispert, La th?orie des ensembles en France avant la crise de 1905 :
     Baire, Borel, Lebesgue ... et tous les autres, Rev. Histoire Math. 1
     (1) (1995), 39-81.
12. I Grattan-Guinness (ed.), Selected essays on the history of set theory
     and logics (1906-1918) by Philip E B Jourdain (Bologna, 1991).
13. G Heinzmann (ed.), Poincar?, Russell, Zermelo et Peano : textes de la
     discussion (1906-1912) sur les fondements des math?matiques : des
     antinomies a la predicativite (Paris, 1986).
14. P E Johnson, A History of Set Theory (Boston, 1972).
15. A Kanamori, The mathematical development of set theory from Cantor to
     Cohen, Bull. Symbolic Logic 2 (1) (1996), 1-71.
16. A Kert?sz, Georg Cantor (1845-1918) : Sch?pfer der Mengenlehre (Halle,
     1983).
17. A Levy, Alfred Tarski's work in set theory, J. Symbolic Logic 53 (1)
     (1988), 2-6.
18. F A Medwedew, Cantorsche Mengenlehre und Theologie, Mitt. Math. Ges.
     DDR 4 (1985), 9-22.
19. G H Moore, The Origins of Zermelo's axiomatisation of set theory,
     Journal of Philosophical Logic 7 (1978), 307-329.
20. G H Moore, Ernst Zermelo, A E Harward, and the axiomatization of set
     theory, Historia Mathematica 3 (2) (1976), 206-209.
21. W Purkert, Cantor and the Burali-Forti paradox, The Monist 67 (1984),
     92-106.
22. W Purkert, Georg Cantor und die Antinomien der Mengenlehre, Bull. Soc.
     Math. Belg. S?r. A 38 (1986), 313-327.
23. M Tiles, The philosophy of set theory : an historical introduction to
     Cantor's paradise (Oxford, 1989).
24. G Heinzmann (ed.), Poincar?, Russell, Zermelo et Peano : textes de la
     discussion (1906-1912) sur les fondements des math?matiques : des
     antinomies a la predicativite (Paris, 1986).
25. S Pollard, Philosophical Introduction to Set Theory (Notre Dame Press,
     1990).

--
m;31m※ 来源:·交大兵马俑BBS站 bbs.xjtu.edu.cn·[FROM: 137.138.196.164]m

--

--
☆ 来源:．哈工大紫丁香 bbs.hit.edu.cn．[FROM: sillystone.bbs@smth.]