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标  题: 逻辑与数学基础中的一场革命 (转载) 
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逻辑和数学基础中的一场革命？



□陈波

　　1996年，英国剑桥大学出版社出版了亨迪卡的新著《数学原理的
重新考察》，此书是以罗素的《数学原理》（1903）为蓝本的，试图
完成类似的事情，起类似的作用。它包括一个序言、11章正文以及他
的学生桑朵写的一个技术性附录。此书主要阐述亨迪卡和桑朵近年来
新创的IF逻辑及其可能产生的影响。（IF逻辑是Independence－
friendly　first－orderlogic的缩写）这是一本异乎寻常、雄心勃勃
的书，亨迪卡在此书中所发表的见解之新颖、言论之大胆，几乎达到
惊世骇俗的地步。他挑战了逻辑和数学基础研究领域内许多公认的观
念和结果。例如，下面这些几乎成为定论的“教条”他认为都应加以
拒斥：（1）真正的基本逻辑是普通的一阶逻辑；（2）适于给定语言
的真定义只能在一个更强的元语言内才能得到表述；（3）足道的一阶
数学理论必定是（描述）不完全的；（4）一阶逻辑不能处理数学中许
多特有的概念和思维模式；（5）公理集合论是数学理论的适当框架；
（6）否定是一个简单的概念，其作用仅仅是调换真值，即由真变假，
由假变真；（7）弗雷格的组合性原则，等等。亨迪卡自称，他要把他
的数学哲学家同行从其怀疑论梦魇中惊醒过来，向他们指出用新的构
造主义方法重建数学基础的可能性；他的IF逻辑为数学基础提供了新
的范式，将导致逻辑和数学基础研究中的一场革命。下面对这本书部
分章节的内容作一大致介绍与评论。（阿拉伯数字为该书的章节）

　　1．逻辑的功能和真定义问题

　　什么是逻辑在数学中的作用？作者讨论了希尔伯特关于欧氏几何
的公理化：“所有实质性的假设都体现在公理中，而所有那些定理则
是从公理凭借纯粹的逻辑手段演绎出来的。”“与对于确定性的追求
相比，理智把握的任务是比公理化方法更重要得多的动机。”作者区
分了逻辑的演绎功能与描述（或表达）功能，他所强调的是后一功能，
因此重视模型论，重视真定义，认为它们在哲学上是重要的。他把语
义学不可表述性的信念称为“塔斯基咒语”。他声称，把集合论视为
数学的通用构架存在许多问题。

　　2．逻辑游戏

　　作者建立了普通一阶逻辑的游戏论语义学（GTS），强调了GTS的
自然性，以及把它向自然语言的各种构造延伸的前景。GTS的一个有意
思的推广就是“无穷深度语言”，作者认为关于满足真的递归定义不
适用于此种语言。用GTS可以很好地形式化表述为量化命题寻求和发现
例证的“语言游戏”。“无论你选择什么样的X，我都能找到某个y使
得……”这类说法，已为GTS作了准备，它早在考西——魏尔斯特拉斯
连续统定义等的非正式解读中为人熟知。作者把“真”解释为对于作
为“证实者”的玩游戏者来说存在一获胜策略，把“假”解释为对于
作为“证伪者”的玩游戏者来说存在一获胜策略；把否定符号处理为：
在玩关于未被否定公式的游戏时，两个玩游戏者调换了他们各自作为
证实者和证伪者的角色。

　　3．被挫败的弗雷格谬误：友好独立的逻辑

　　弗雷格认为逻辑是具有完善信息的游戏，这就是本章标题所称的
谬误。作者强调了相互依赖的量词概念，以及相关的信息依赖的游戏
概念。友好独立的一阶逻辑允许“分枝的”或偏序的量词前缀，在选
择量化变元的值时，只知道关于同一枝杈上前面的量词所已作出的选
择。因此这些选择独立于关于不同枝杈上量词所已作出的选择，作者
仍然线性排列这些量词，但引入了一个斜杠记法，即（Q1／Q2），表
示量词Q1独立于Q2。对普通的一阶语言作如此扩充是允许的，所有普
通的一阶语句仍在这个扩充了的语言中。IF一阶语言允许形成更多类
型的句子，IF一阶逻辑因此成为普通一阶逻辑的保守扩充。

　　作者引入了否定范式的概念，其中否定只直接出现在原子公式之
前。他区分了主要辖域（priority　scope）和约束辖域（binding　
scope）两个概念，而在普通的一阶逻辑中对这两个概念则不加区分。


　　作者然后述及了IF逻辑的元逻辑结果：它是紧致的；它具有向下
的洛文海姆－斯柯伦性质（限制性的），分离定理《亦称内插定理）
在其中成立；贝思的可定义性定理成立；每一个IF一阶语句有一个二
阶翻译且每一个语句在IF一阶逻辑中有一个逻辑等价式。IF语言不为
人知的重要逻辑特性有：IF一阶语言不允许塔斯基型的真定义，并且
它可明确表述它自己的真定义，而不需要递归定义；排中律不成立；
IF逻辑真理不可递归公理化，但IF逻辑假是递归可枚举的，这意味着
否定记号的作用是异乎寻常的。“一般来说，在相应的IF一阶语言没
有（一语句）C的矛盾否定，即没有任何公式仅仅因为C不真，它本身
就是真的。”

　　4．独立的欢歌：IF逻辑的某些用处

　　作者强调信息独立现象的无处不在。他举例说明了IF一阶逻辑可
以精确表达一区间内函数的均质可区分性（uniform　
differentiability）概念，以及如何把握兰姆塞理论中某些组合定理
的逻辑形式。他还指出：（1）IF逻辑有助于消除量子理论中不确定现
象的神秘性；（2）IF一阶逻辑是并行程序的逻辑；（3）从IF一阶逻
辑来说，选择公理是可接受的，并且纯粹是一逻辑原则。他还简要考
察了IF逻辑对分析认知逻辑中wh——结构的用处。

　　5．完全性的复杂性

　　作者认为，把完全与不完全看作是逻辑和数学之间的分界是不恰
当的。他本人区分了完全性的四种不同涵义：描述的，语义的，演绎
的和希尔伯特型的。描述完全性亦称范畴性：一理论是描述完全的，
当且仅当只存在唯一一个T的意想模型，所有其他模型都与此同构；语
义完全性是说逻辑真理可以被递归枚举；演绎完全性（亦称理论完全
性）是指对于每一语句C，T是否包含C或者－C；希尔伯特完全性涉及
对于有关的公理系统而言某些模型是否是“极大的”，但书中对此讨
论不多。作者还提出某些论证以降低演绎完全性作为数学中主导理念
的重要性，他的结论是“IF一阶逻辑比受限制更多的一阶逻辑的传统
版本要强得多”。

　　7．落空的说谎者悖论：IF逻辑中的否定

　　作者论证说，排中律对于IF逻辑不成立，尽管它含有自身的真定
义，但IF语言并没有成为说谎者悖论的牺牲品。他探讨了矛盾否定概
念，并用它去扩充IF语言。他利用自然语言中的例子论证说：在任何
足够丰富的语言内，将会有两个不同的否定概念显现出来，一是弱的
矛盾否定，一是强的由他的游戏论语义学刻画的对偶否定。

　　9．IF逻辑作为数学理论化的框架

　　作者指出，在普通的一阶逻辑中，不能处理各种数学概念，如数
学归纳法、有穷、无穷、个可数无穷、良序、基数和幂集等，但这些
概念却可以在IF一阶逻辑中得到处理，只要假定：在某些情况下，我
们通过增加一个表示矛盾否定的记号来扩充该逻辑。IF逻辑极大地提
高了概念化的能力，我们被迫“根本修正我们关于逻辑和数学之间分
界的看法”。对在二阶逻辑中处理这些数学概念时所涉及的高阶实体，
人们应该保持疑虑，实际上并无必要超出一阶水平，因为“……实际
上在扩充了的IF一阶逻辑中，原则上可以做所有数学。”“对范畴论
来说，数学真在某种意义上等同于IF一阶逻辑的逻辑真。……哥德巴
赫猜想的真……等值于IF一阶公式的真。”“从本性上说，数学是组
合的而不是集合论的。”

　　10．重构的构造主义

　　作者指出，把游戏策略局限于递归函项产生了构造主义的GTS。他
在论证这一点时，更多地着眼于构造主义数学的真正本质。与达米特
传统相反，他认为“构造主义概念的作用与数学陈述的意义毫不相干，
它涉及到语句—模型关系，最终涉及到真定义，并不是一个有关命题
之间演绎关系的问题。”

　　11．数学对象的认识论

　　作者讨论了认知逻辑和知道一个函数是什么意思，后者与知道一
个数学命题是真的相反。他从不同角度揭示了现存的各种构造主义和
直觉主义的弊端或缺陷。

　　此书最后一部分是由他的学生桑朵撰写的一个附录，试图提供某
些必要的技术性细节以便厘清书中的那些新概念如IF逻辑小公式的合
式性，并支持书中主体部分的那些解释性言论。最重要的是对真的形
式定义及其适当性的证明。

　　据笔者所知，目前关于这本书在国际性期刊上已发表了6－7篇评
论，肯定者居多，也有评论对它的许多基本观念提出了不同意见，并
指出了其中的某些技术性疏漏，甚至包括为数不少的印刷错误。

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※ 修改:．micheal 于 Apr  7 15:15:37 修改本文．[FROM: hitsat.hit.edu.c]