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发信人: atong (sut), 信区: Math
标  题: 集合論簡介 -前言[zz]
发信站: 哈工大紫丁香 (Tue Apr 29 18:05:41 2003) , 转信


數學研究的對象，從那些實際存在的事物中高度抽象出來的一類客體(object)，以這些客
體為基分析它構成客體的各個組合成分．我們將某客體的部分客體稱之為集合(set)．我�
兛梢哉f，通常的數學系統都是用一些集合來描述，而且也用集合來構造．同時按學科本身
的特有規律給集合以一些新的運算限制，形成該學科所要研究的一種數學模型． 

集合理論是完全就集合本身的一般規律建立起來的理論系統，它在近代數學的各個分支中
都是不可少的工具．近來有關集合論的研究日漸深入，普遍使用到各個方面，所以，集合
論是近代數學的基礎之一．從研究集合論的方法來說，較多是由非形式觀點趨向形式體系
，而與數學邏輯發生關係，使集合論占了數理邏輯的四大分支之一．這四個分支是：1.模
型理論 2.集合理論 3.遞歸理論 4.證明理論． 

集合論研究的基礎是由人們熟知的一些關於有限集合的性質，從這些顯而易見的性質尋求�
剿鳠o限集合的途徑，和研究無限集合的具體方法．就有限集合來說，集合的性質是十分�
@然的．然而，研究集合論的主要目的是解決有關無窮集合的問題．關於有限推理的方法能
否直接引用到無窮集合? 普通推理分析的方法存怎樣的條件下才能使用於無窮集合? 這是
我們研究集合論的重點．今天的集合論已經解決了很大一部分問題，但仍有很多待澄清的
問題，需要進一步深入研究． 

自從德國數學家 Cantor 證明了所有實數不能和自然數有一一對應的關係後，就開始了抽
象集合理論的研究．另一位德國數學家 Zermelo 於 1908 年發表了集合論的第一套公理系
統，後由 Fraenkel 於 1922 年加以改進補充，而構成了所謂的 ZF 公理系統．這是今天
我們論述集合論的基礎．然而，集合論在建立之初，還來不及研究本身的一致性，就在建�
⑦^程中發生了不少邏輯的矛盾．這些矛盾的嚴重性，不但引起了數學乃至哲學的爭論，甚
至引發數學界的分裂． 

儘管如此，如果能仔細排除這些反論，集合論的公理體系仍帶給了數學論證上很大的嚴密�
裕�「數學家從事於更正他們的錯誤已達二千五百年之久，同時也體察他們的科學是豐腴而
非貧瘠的．這使得他們有權在展望未來時持著歡欣的態度．」這是在法國一群以 Nicolas
 Bourbaki 為筆名的數學家所提出令人鼓舞的言詞． 





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