Math 版 (精华区)

发信人: atong (sut), 信区: Math
标  题: 集合論簡介 -集合論的歷史[zz]
发信站: 哈工大紫丁香 (Tue Apr 29 18:06:43 2003) , 转信

集合論的中心難題是無限集合的概念．這類集合自然地引起自古以來許多數學家和哲學家
們的注意，但是很多看起來矛盾的特性使得人們對它的了解一無進展．亞里斯多德承認有
無限集的存在，但卻否認無限集合可存在為一固定的實體．對他而言，集合至多是「潛在
的」無限，這種準無限大的觀念一直深深地影響著兩千年來數學的發展． 

整個中世記，哲學家對於是否有無限集合這個問題一直採取模稜兩可的態度．他們注意到
兩個同心圓可藉著同一半徑而一一對應，但其中之一的周長卻大於另一個．Galileo 亦曾
研究過無限集合而反對它的存在，因為它無法順應一般推理．他提到不同長度的兩線段 A
B 和 CD 上的點可構成一一對應，因而可認為包含同樣多的點．他又提到所有自然數可和�
淦椒揭灰粚�應，只要將其平方即可．他認為這是顯然矛盾的．數學王子 Gauss 也說道：
「我反對將無限做為一真實的量來運用，在數學上這是不允許的．無限只是一種說法上的
方便……」 Cauchy 也像他的前輩一樣否認無限集的存在．對他而言，部份可以和全部一
樣多似乎不可思議．大部份的數學家乾脆忽視這類他們無法解決的問題，他們都避免真正
提及或認定無限集，雖然他們一直在使用無限集合，比如實數集．然而，十九世紀面對分�
龈叨劝l展的需求時，他們已無法將無限集的問題擱置一旁了． 

第一個對集合論做確定探討的人是微積分的奠基人之一 Bernhard Bolzano．他在其「無限
集的詭辯」一書中，為無限集合的存在做辯護．他還定義了集合的對等(equivalence)，即
兩集合元素間有一一對應的關係．這種對等的觀念不論有限集或無限集均可運用．他認為�
跓o限集合中，部份集合可以和本身對等，他堅持這個觀念的重要和必須被接受．我們可以
給無限集合一個「數」的表示，於是他賦予不同的無限集一個不同的超限數(transfinite
 number)．但後來 Cantor 指 Bolzano 所賦予的超限數並不正確． 

集合論的創始人是 George Cantor(1854-1918)‧他是生於蘇俄的丹麥猶太後裔，後
隨父母移居德國．他父親希望他學工程，他懷著這個志願進入柏林大學，在那裡受到了 W
eierstrass 的影響而轉攻數學．二十九歲時第一次在數學學報上發表革命性的無限集合理
論．他全新的創意與才華吸引了大家的注意．直至 1897 年，他連續地發表了許多關於集
合論及超限基數和序數的研究報告． 

所謂集合，Cantor 認為是一些確定而相異事物的聚合，這個聚合我們能以心辨之並決定某
一事物是否屬於它．他認為只承認有「準無限集」的觀念是錯誤的，並反駁早期數學家和
哲學家對無限集的論調．對他而言，一個集合是無限的當且僅當它能與它的一部分一一對
應．他接著尋求區分無限集合大小的方法．和 Bolzano 一樣，他認為主要原則在一一對�
�的概念．兩集合若能構成一一對應便稱此兩集合對等或具有相同的「冪」(power)或「基
數」(cardinal number)．若兩集合 M, N, N 可和 M 的一部分一一對應，M 卻不能和 N 
的任一部份集合一一對應，則稱 M 的冪大於 N 的冪．說明了集合相同和不同的冪之後，
Cantor 繼續發展這種「冪」的觀念，並引入基數和序數的理論．其中以超限基數和超限�
驍凳亲罹�彩的一支．Cantor 從 1879 年發表在「數學年報」的一系列論文中逐漸發展這
套理論．在其中一篇論文中，Cantor 寫道：「關於集合理論的研究，我的描述已達到了一
個階段，它們能否繼續有賴於實數能否超越目前的極限而一般化．這種一般化顯然將採取�
环N前所未曾嘗試的方向．我深深地依賴這種一般化的數的概念，以致於若沒有它，我無法
在集合論中跨前任一小步．因此為了必要，請原諒我在論證中引入新奇的概念……然而，
在我進行這些步驟時，我已將自己投身於反對的聲浪之中……」 

Cantor 的理論解決了許多問題並革新了很多古老的觀念，然而這些理論在當時卻難以得到
大家立即的接受．對 Cantor 理論反對最強烈的是在當時的數學權威之一 Kronecker．整
整有十年的時間，Kronecker 一直在無情地打擊著 Cantor， Cantor 想進入柏林大學任教
的願望也受到 Kronecker 的阻撓而作罷．雖然在 1891 年 Kronecker 死了，但他的攻擊�
箶祵W家對 Cantor 的工作一直深懷戒心． Cantor 本入也因此受到強大的精神壓力而患�
司�神分裂症，於 1918 年病逝於哈雷精神病研究所． 

自希臘以來，被認為已呈間歇的數學領域中，Cantor 的集合論無疑是項大膽的嘗試．它�
栏竦匾�求純理性的論辯，並肯定高階無限集合的存在．一切已超越人類直覺所能掌握，�
@種遠較前入為激變的思想若未遭遇反對反倒是件奇事了．而從集合論中產生的一些反論，
亦使人們益發懷疑其理論的正確性．除了 Kronecker 的激烈反對外，其它數學家亦不表同
情．法國數學家 Poincare 苛刻地批評說：「它產生了許多我們遭遇到的詭辯，令季諾學
派深以為滿意的矛盾…… 我們不應介紹一些無法用有限詞句能完全定義的事物．」他並指
出集合論是個有趣的「病例」，並預測說「後世將認為這是一個我們曾經誤入的歧途」．
 Weyl 則認為 Cantor 的 aleph 層次是「霧中之霧」． 

然而，真理只接受實踐的檢驗，而不會屈服於權威之下．許多傑出的數學家仍然深深地感
受到集合論所提供的用途．在第一屆國際數學家年會中，Hurwitz 和 Hadamard 指明超限
數論在分析上的重要應用．其它方面的應用也很快地在測度論和拓樸學中發現．當代數學
大師，形式主義學派的領導人 David Hilbert 曾大力地宣揚 Cantor 的思想．他說：「�
]有人能將我們趕出 Cantor 所為我們創造的伊甸園．」他讚揚 Cantor 的理論：「最令人
驚異的數學思想成果，是人類純理智活動最美麗的表現．」邏輯主義學派的代表人物 Rus
sell 亦形容它：「可能是這個時代所能誇口最偉大的作品．」以今日眼光觀之，這個 Ca
ntor 為數學家所創造的樂園，不僅不是什麼疾病，而是現代數學的出發點． 





--

※ 来源:．哈工大紫丁香 http://bbs.hit.edu.cn [FROM: 218.104.69.70]