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发信人: atong (sut), 信区: Math
标  题: 集合論簡介 -集合論的反論[zz]
发信站: 哈工大紫丁香 (Tue Apr 29 18:07:59 2003) , 转信

二十世紀的數學家們最具深度的活動是基礎方面的研究．數學家們以往一廂情願的假設現
在轉而成為衝擊他們的問題．這些活動在本世紀初因一些矛盾的發現而揭開序幕．這些矛
盾被稱為一種較溫和的字眼「反論」(paradox)．另一方面，數學的一致性(consistence)
亦是在這個世紀初期，逐漸被意識出來而公開的一個問題．從集合論裡反論的出現看來，�
�合論特別需要建立其一致性．「反論」一詞是含混的，因為它應該是與一個已知的矛盾相
比較，但數學家所遭遇的是無可置疑的矛盾． 

Cantor 在寫給 Dedekind 的信中問道，是否所有基數的集合亦成一集合，如果是，則應�
幸换鶖荡箪端�有的基數．後來他藉著區分一致集和非一致集(consistent sets & incons
istent sets)否定了那種集合．而 Burali-Forti 指出所有序數形成的序列，因為具有良�
蛐裕�故應有一最大的序數做為此序列的序數，而此序數將大於所有的其它的序數．這就是
 Burali 反論． 

另一著名的反論是 Russell 反論．Russell 以通俗的方式敘述其反論--理髮師反論(barb
er paradox)：一個鄉村的理髮師吹噓他沒有對手，他宣稱將為那些不為自己理髮的人理�
專瑏K且不為那些替自己理髮的人理髮．於是，有人問他，那你是否應為自己理髮呢? 若他
為自己理髮，由他自己的宣稱，他就不該為他自己理髮，但若他不為自己理髮，按自己所
言他又該為自己理髮．於是這個理髮師陷入了邏輯的困境之中． 

Cantor 在 1899 年寫給 Dedekind 的信中指出，若有人討論所有集合的集合，他將無法避
免於矛盾．這在本質上就是 Russell 的反論．所有人的類聚(class)並非一個人，但所有
觀念的類聚仍是一個觀念，藏書的類聚仍是藏書．因此有些類聚並非自身的元素，但有些
則是．若我們把可為自身元素的類聚叫 M，另一類叫 N，則 N 本身是一個類聚．它是屬�
� M 還是 N ? 若 N 屬於 N，則按 M 的定義 N 該屬於 M，但若 N 屬於 M，因為 M, N 是
互斥的，N 必不屬於 N，這樣一來 N 既非自身的元素，則 N 應屬於 N． 

由 Jules Richard 所提出的 Richard 反論又不同於前述的邏輯反論，而是一種所謂的語
義反論．為了通俗起見，我們用中文來描述這個反論．中文的單詞是有限的．用詞句，語
法組合起來的中文句子也只有可數多個．這些句子中，有些能定義一個一元數論函數．例�
邕@句話「在任意給定的自然數上，其值為這個數的平方」定義了一個數論函數 

f(n) = n2
現在，把所有可以定義一元數論函數的語句拿出來，按照字典順序進行枚舉： 
E0 , E1 , E2 ,...
它們分別定義函數 
fE0 , fE1 , fE2 ,...
現考慮下面的語句：「一個函數，它在任意給定的自然數上，其值為上面序列中對應於此�
匀粩档暮瘮翟诖俗匀粩瞪系闹导右弧梗�也就是說，這個中文語句就定義了一函數 f，它在
任一數 n 上的值為 fEn(n)+1．這個函數顯然和上面序列中的任意函數都不相同．但我們
已假設上面的序列能列舉所有能用中文語句定義的一元函數，這就構成 Richard 反論． 


Richard 反論還有一更通俗的形式．我們還是用中文敘述這個反論：「用少於十九個中文
字不能定義的最小整數」．這句話定義了一個整數，按定義是不能用少於十九個中文字來�
�義的，但這句話只有十八個字! 這是 Richard 反論的一個變形．值得注意的是，Richar
d 反論和 Cantor 所創立的對角線法非常類似，因此就引起人們更大的興趣． 

這些反論的出現強烈震撼了數學的基礎．當數學家們正企圖用集合論調理許多古典數學理
論時，反論的出現每每動搖他們的信心．數學家們開始懷念反論尚未出現的良辰美景． 





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