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发信人: atong (sut), 信区: Math
标  题: 集合論簡介 -集合論的公設化[zz]
发信站: 哈工大紫丁香 (Tue Apr 29 18:08:42 2003) , 转信

數學家為數學基礎開出的第一張藥方是把 Cantor 的即興之作公設化．其實這樣的處方並
不新鮮，將幾何及數系公設化曾經解決它們的邏輯問題．因此公設化方法至少應能使集合�
撗e的困難明朗化． 

公設化運動由德國數學家 Ernst Zermelo 著手進行．他以為反論之所以出現，是因為 Ca
ntor 沒有把集合的觀念加以限制． Cantor 對集合的定義是含混的．Zermelo 希望清晰而
明顯的公設能使集合的定義及所應具有的性質更為顯然． Cantor 曾經區分了一致集和非
一致集．Zermelo 自信能把他的集合侷限於 Cantor 的一致集合，這些集合必能滿足數學
之所需．他的公設體系包含一些基本觀念及公設本身所定義的基本關係，而不是公設所述
明的觀念即未曾動用． Zermelo 的計劃是只把不會引起反論的類聚置於集合論裡．例如空
的類聚，有限類聚和自然數類聚等看起來都是安全的．由一些已知的安全類聚所衍生出來�
念惥郏�如部份類聚，安全類聚的聯集，一個安全類聚的所有部份類聚的類聚也是安全的．
但他排除了補集的安全性． 

Zermelo 的計劃由 Abraham A. Fraenkel 和 J. Neumann 加以改進．這套系統我們今天�
Q為 Zermelo-Fraenkel 公理系統，簡稱 ZF．在 ZF 裡面區分了類聚(class)和集合(set)
．類聚是大到不能含於其它集合或類聚的集合，集合是較多限制的類聚．根據 Neumann 的
說法，集合不容許引起矛盾，但可以當做其它類聚的元素． 

ZF 的公理系統已能把集合論拓展到符合古典分析的應用，也能防止反論的出現，至少迄今
無人在這套理論中發現反論．但這套公設化集合論的一致性並未完全被證明過．關於此點
，Poincare 有一段貼切的比喻：「我們已用圍牆把一群羊圍住，以防止野狼的入侵．但�
覀儾恢�這圍牆內是否早已有野狼的存在．」 

所謂一致性，也可稱為相容性，協調性或非矛盾性，即指一公理體系內的各個公設之間在
有限的邏輯推理下不會導致矛盾．很顯然的，如果一個系統內的公設是相互矛盾的，那麼
這個公理系統將無任何價值可言．當數學被視為是自然的真理時，互相矛盾的定理是不可
能發生的．因此一致性也就成了無稽之談．但自從非歐幾何興起後，它與實體感覺格格不
入，而引起一致性的問題．至 1800 年代，人們逐漸意識到算術和歐氏幾何並非真理，這
使得研究它們的一致性變成十分重要的事．Hilbert 曾在假設算術公設是一致的情況下，
成功地建立了幾何的一致性．這是所謂的相對性證明．他在 1900 年的巴黎演說中提出著
名的二十三個數學問題，其中集合論的連續統假設和算術的一致性分列第一，二個． Hil
bert 強調這是數學基礎中十分重要的問題．他還樂觀地認為，必能在有限的邏輯步驟下，
證明算術系統的絕對一致性． Pringsheim 也說過：「數學所探尋的真理就是一致性．」
 

除了一致性的問題之外，為了證明良序原理，Zermelo 在集合論中引入了選擇公理(axiom
 of choice, AC)．許多數學家認為這個公理是有瑕疪的．選擇公理的大意是說在一由任意
多集合所組成的集合族中，必可從其每一集合中挑選一元素組成一集合．如果這集合族是
有限的，那麼這樣的挑選是顯然的．但在一無限大的集合族中進行這樣挑選的可行性就倍
受質疑．這個公理的必要性和獨立性在一段相當長的時間裡懸而未解．直到 1940 年和 1
963 年才分別由德國數學家 Godel 及美國數學家 Cohen 證明了選擇公理對 ZF 公理系統
的一致性及獨立性． 





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