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发信人: atong (sut), 信区: Math
标  题: 集合論簡介 -百家爭鳴[zz]
发信站: 哈工大紫丁香 (Tue Apr 29 18:09:15 2003) , 转信

儘管一致性問題和選擇公理的身份未成定論，集合論的公設化至少使數學家們化解各種反
論，並且將對基礎的問題的興趣冷卻下來．但在此時，對數學基礎的看法各家紛起，它們
無疑是因為反論和一致性問題的催生而得以見世．這時候，最具代表性的學派有三個，互
相爭論．它們分別是由 Russell 和 Whitehead 創建的邏輯主義學派，由 Brower 及 Wey
l 為代表的直覺主義學派，以及由 Hilbert 為領導人的形式主義學派． 

Russell 和 Whitehead 的邏輯主義認為，數學來源於邏輯，並且是邏輯的延拓．由於邏�
嫷囊恢滦允菬o可置疑的，透過邏輯處理，數學就成了從邏輯原理出發的一系列推理．邏�
嫳旧碛幸恍┕�理，由邏輯導出數學就無需再為數學擺上公理．但這種純邏輯觀點的態度招
致了相當多的批評．若這種觀點是對的，則數學是一個純粹形式，完全邏輯演繹的科學．
它的定理是純思想定律的產物，怎能應符千變萬化的自然現象和物理定律? 這是難以解釋
的．但儘管有許多批評，還是有許多數學家接受了這套哲學．Russell 和 Whitehead 提供
了完全公設化的邏輯，並以純符號的形式表達出來，使數學邏輯獲益良多． 

現代直覺主義的創建人是 Brower．Brower 以為數學思想是一個構造的過程．數學的本質
是與經驗無關的，它是一種自由的設計，而只受到基本數學直覺的規範． Brower 認為在�
軜嬤^程中，若能仔細判斷那些論點能為直覺所接受，那些則不能，就必能具備數學所謹有
可能的基礎．所以直覺主義者著手分析那些邏輯的原理可為直覺所接受，並與直覺並行不
悖．Brower 批判使用排中律的間接論證法，他認為這個方法不適用於無限集合．排中律是
起源於有限集合子集上的推理，不應無根據地把它應用到無限集合上去．在論及無限集合
時，直覺主義者堅持有第三種可能的敘述．例如，若有人證明了在某一無限集合中並非所
有的元素都具有某一性質時，並不能就斷言至少有一元素不具有該性質．因此以間接方法
證明存在性亦不為直覺主義者接受． Weyl 批評這種方法是，它告訴大家有一個寶藏，但
沒有指出確切的地點．直覺主義還堅持數學對象必須是可構造的，也就是說，必須是能具
體給出，或能給出一個得到某一對象的計算方法．顯然地，直覺主義所認定的數學，和 1
900 年代以前數學家所接受的數學有相當大的差異． 

然而，直覺主義否定實無窮，禁用排中律，提倡可構造的結果，導致一大批古典數學的失
效，高等數學的大部份成果都被丟棄掉了． Hilbert 便嚴詞批評禁用排中律的態度：「禁
止數學家使用排中律，就好像禁止天文學家使用望遠鏡，或禁止拳擊手使用手套一樣．」�
B Weyl 也不得不承認：「Brower 曾使數學獲得了它最高的直觀明顯……但不能否認的，
在向著更高級理論邁進時，卻產生了幾乎無法容許的尷尬後果，數學家痛心地看到他所認
為用具體材料搭成的大廈竟會消失於眼前濃霧之中．」 

為了從直覺主義者手中挽救古典數學，並且避開集合論的反論而為數學提供基礎，建立算
術的一致性，自 1917 年起 Hilbert 用了二十多年的時間從事數學基礎的研究工作，奠立
了形式主義學派的根基(儘管他本人並不自命為形式主義者)．形式主義學派認為，邏輯和
數學必須同時處理，在數學中的每一領域都應借助邏輯和數學的概念而獲得一公理基礎．
 Hilbert 說：「數學思想的內涵就是符號．符號是主體，不必再把它附會為實體物之理想
化．形式雖蘊涵直覺的意義，但這種蘊涵並不屬於數學．」Hilbert 及其門生於 1920 至
 1930 年間，逐漸發展出一種所謂的元數學(Metamathematics)的理論，這是一種建立形式
系統一致性的方法．在元數學中，Hilbert 倡議使用一種特別的邏輯，這種邏輯是一切的
基礎，並能免於矛盾． 

為了絕對地證明古典數論的一致性，Hilbert 希望採用一種直接的方法，這種方法是由一
致性的意義直接得出來的．也就是說，在一個理論中不能由公理既導出命題 A，又導出其�
穸ㄊ椒� A．因此，我們必須證是關於該理論本身的命題，特別是該理論中各條定理的一切
可能的證明．於是，該數學理論本身就成了另一種數學研究的對象．被研究的理論稱為「
對象數學」，而研究對象數學的「另一種數學」，Hilbert 就稱之為「元數學」．元數學
是研究對象數學的基本工具，它應當是可靠的，並且只能使用有窮邏輯和不含實無窮的初
等數論．這套方法就構成了所謂的 Hilbert 方案：將古典數學表示為形式公理理論，並用
有窮方法證明這一理論的一致性． 

Hilbert 方案的中心概念是有窮方法．這是由直覺主義者首先提倡的．但兩者所持的觀點
截然不同．主要徵結在於對實無窮的態度．直覺主義者認為人類的思考是有限的，因而反
對任何實無窮概念的存在．形式主義者則認為古典數學的一致性問題是由實無窮引起的，
因此在論證古典數學沒有矛盾時，只能採取在直觀上明顯可靠的，在有限邏輯步驟上能證
明的，否則就會引起循環論證的問題．然而一旦用有窮方法證明了算術系統的一致性之後
，依靠算術所建立起來的實數理論及古典分析的合理性便無可置疑． Hilbert 在數學問�
}的演說中便強調：「一旦完成了一致性的證明，曾有對實數系存在性的懷疑將完全消失�
�」 

Hilbert 及其合作者按照 Hilbert 方案對數論及分析的一致性進行研究，並取得了部份的
成果．然而，Hilbert 在當時並不了解證明古典數學一致性在本質上的困難．直至 1930 
年，他還樂觀的認為，只要作出足夠的努力，並對已有的結果作較直接的擴充，就能達到
他所希望的目的． 





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