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标  题: 集合論簡介 -最近的發展[zz]
发信站: 哈工大紫丁香 (Tue Apr 29 18:09:59 2003) , 转信

正當形式主義學派信心滿滿地致力於 Hilbert 方案的實施時，德國數學家 Kurt F. Gode
l 給了他們一記沉重的打擊．這就是 1931 年，Godel 所發表的著名論文「論數學原理和
有關系統的形式不可判定命題與論完全性和一致性」，其主要結論即所謂的 Godel 不完全
性定理：如果一個形式系統是無矛盾的，而且足夠豐富可以包含算術公理，那麼它是不完
全的．也就是說，存在一形式公式 S 使得 S 及非 S 都不是系統的定理．因此在數論中存
在不能證明的真敘述．這是 Godel 的第一定理，適用於 Russell 和 Whitehead 的「類型
論(theory of types)」， ZF 公理系統及 Hilbert 的數論公設化． 

不僅如此，Godel 第二定理更表明了，如果這個形式系統是沒有矛盾的，那麼其一致性的
形式證明是不存在的．這一結果，直接破滅了 Hilbert 的理想，絕對地證明數論的一致性
．Hilbert 得知此結果後十分震驚，他隨即決定把證明一致性的有窮方法加以擴充，允許
使用超限歸納法．1936 年，Gentzen 用超限歸納法證明了形式數論系統的一致性．然而，
這已經不是嚴格意義下的有窮方法了． 

Godel 所構造的不可判定命題帶有過多人為雕鑿的痕跡．然而，1982 年，美國數學家 Pa
ris, Harrington 及 Friedmann 相繼在有限組合理論中，找到了既不能肯定不又能否定的
命題．由此看來，Godel 定理似乎已越出邏輯學，數學基礎和哲學的範圍，而對當代日常
數學發生影響． 

除了不完全性定理之外，Godel 於 1940 年又證明了如果 ZF 系統在去掉選擇公理後是一�
碌模�那麼加上這個公理後仍是一致的．同樣的，連續統假設(continumm hypothesis)與 
ZF 系統也是一致的． Godel 引入了可構成公理，證明如果 ZF 有模型，那麼 ZF+AC，ZF
C+CH 仍是有模型的．因而肯定了選擇公理與連續統假設和 ZF 系統的相對一致性． 

更進一步，1963 年 Stanford 大學教授 Paul J. Cohen 證明選擇公理與連續統假設是獨
立於 ZF 系統的． Cohen 提出了力迫方法與脫殊集合的概念，建立了 ZF 系統的一個模型
，在其中 AC 不成立．因而說明了選擇公理獨立於 ZF 系統．進一步，還可以為 ZFC 構造
一模型，使得 CH 不成立．也就是說，ZF 公理系統再加上選擇公理也不能證明連續統假�
O． 

參考書目
集合論  凡異出版社 
哥德爾不完全性定理  九章出版社 
連續統假設  九章出版社 
數學史  九章出版社 





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