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作 家: oli (西西 ) on board 'Math'
题 目: 伽罗华与群论————（I 群的重要）
来 源: 哈尔滨紫丁香站
日 期: Sat Aug 16 19:29:10 1997
出 处: bbs@s1000e.whnet.edu.cn
发信人: smoke (好好的小烟), 信区: Mathematics
标 题: 伽罗华与群论————（I 群的重要）
发信站: 武汉白云黄鹤站 (Tue May 13 01:04:08 1997)
《伽罗华与群论》 L.R.Lieber著 樊识译
I 群的重要
在讲群论之先，先把群论之所以重要的几个原因之一说一下。
我们都知道数学中一椿要紧的事情是解方程式。代数方程式
可以依他的次数来分类。一次方程式
ax+b=0
只要是学过初等代数的小孩子都会解。他的解答是
x=-b/a
二次方程式
2
ax + bx +c =0
的解法在初等代数中也有，他的解答是
x=[-b±(b^2-4ac)^1/2]/2a
在纪元前数世纪，巴比伦人(Babylonians)已能解这种形式的方
程式了。
三次方程式
3 2
ax + bx +cx +d =0
和四次方程式
4 3 2
ax + bx +cx +dx +e =0
的解法已比解一次，二次的方程式难得多了。直到十六世纪才有
了解法。这法子在每本方程式论的书中都可以找到。
当方程式的次数增大时，解法的困难增加得很快。向来数学家虽
都不会解一般高于四次的方程式，可是都相信一定是可能的。直
到十九世纪，利用群论的道理，才证明了这是不可能的事。
此处读者应该要懂得透澈的是刚才所说的“不可能”三个字。
一个问题之能否解决是要看我们对于解答所加的限制条件而定的，
比如
x+5=3
是能解的，假使我们允许x可以是负数的话，设若我们限定x不能
是负数，那末这方程式就不能解了。
同样，假使x表示银圆数，方程式
2x+3=10
是可解的。如果x表示人数，这方程式就不能解了，因为x=3.5没
有意义。
要三等分任意一角，若只准用直尺与圆规，这是不可能的，但是
若许用别的仪器，就可能了。
一个代数式之为可约的(reducible,就是说可以分解因数)或不可约
的(irreducible)，要看我们在什么数域(Field)中分解因数而定。比
如：
2
x + 1
在实数域(Field of Real Numbers)中是不可约的，可是在复数域
(Field of Complex Numbers)中却是可约的，因为
2
x + 1 =(x+i)(x-i)
----
此处的i=√-1.简单的说：我们若单说一个代数式是可约的或是不
可约的，而不说出在什么数域内，这话是全然没有意义的。
数学家知道特别说明范围(Environmont)的重要。我们说：一个命
辞在什么范围中是对的，在什么范围中是错的，甚而至于在什么
范围中是绝对没有意义的。
那末，刚才所说的一般高于四次的方程式不能解究竟是什么意思
呢？这个问题的答案是：一般高于四次的方程式不能用根式解的�
所谓“不能用根式解”是说方程式的根不能用有限次的有理运算
（加，减，乘，除）和开方表作方程式的系数之函数。
为要说明这一点，拿一次方程式
ax+b=0
来看，这方程式的根是
x=-b/a;
所以x的值可以用a除 b而得，这是一个有理运算!二次方程式
2
ax + bx +c =0
的两根是
x=[-b±(b^2-4ac)^1/2]/2a
这也可以由有限次的有理运算和开方而得。
同样，一般的三次，四次方程式的根也可用有限次的有理运算
和开方表作系数的函数，换句话说：他们可以用根式解(Solvable
by Radicals)
可是，若论到高于四次的方程式时，这就不再成立了。当然，
这是指一般高于四次的方程式而言，有些特殊的高次方程式
还是可以用根式解的。
以后我们将看到怎样用群论的原理来证明一般高于四次的方
程式还是可以用根式解的。
我们还可以看到：用群论的道理来证明以直尺，圆规三等分
任意角之不可能是何等简单而绮丽，正如应用群论于其他名
题一样。
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* 流水带走光阴的故事，我轻轻地悠唱 *
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