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作  家: oli (西西 ) on board 'Math'
题  目: 伽罗华与群论————（II 群是什么）
来  源: 哈尔滨紫丁香站
日  期: Sat Aug 16 19:30:27 1997
出  处: bbs@s1000e.whnet.edu.cn

发信人: smoke (好好的小烟), 信区: Mathematics
标  题: 伽罗华与群论————（II 群是什么）
发信站: 武汉白云黄鹤站 (Tue May 13 01:32:33 1997)

    《伽罗华与群论》   L.R.Lieber著    樊识译

                II  群是什么

数学中的系统(Systom)可以是一部教学的机器(A Mathematical
Machine),他的主要成分是
(1)元素(Element);
(2)一种运算(Operation);
例如：
(a)  (1) 元素是一切整数(正或负或0)
      (2)运算是加法。

(b)  (1)元素是一切有理数(0除外)
      (2)运算是乘法。

(c)  (1)元素是某几个文字(如x1,x2,x3)的置换(Substitution)
      (2)运算是将一个转换跟着另一个置换(这个待以后再解释)

(d)  (1) 元素是下图的旋转，转的度数是60度或是60度的倍数；
        (该图样子是将一个圆用三条直径分成相同六块)
      (2)运算是如(c)中一般，将一个旋转跟着另一个旋转。
从这么一个简单的出发点着手，看去似乎弄不出什么东西来，
然而这样讨论下去所得的结果会令人诧异的！

这种系统若能满足下列四条性质，就称为群(Group):
1.假使两个元素用那规定的运算结合时，所得的结果还是系统
中的一个元素。
例如：
在(a)中，一个整数加到另一个整数上去的结果还是一个整数。
在(b)中，两个有理数相乘的结果还是一个有理数。
在(c)中，设有一个转换将x1代作x2,x2代作x3,x3代作x1,即是将
                x1      x2      x3
换作
                x2      x3      x1
若在这置换之后跟着另一个置换，假设这另一个置换是将x2代作
x3,x3代作x1,x1代作x2的，那末，这两个置换结合的结果是一个
将
                x1      x2      x3
换作
                x3      x1      x2
的置换。

在(d)中，设在一个60度的旋转（逆时针方向）之后跟着一个120度
的旋转(逆时针方向)，其结果是一个180度的旋转(逆时针方向).

2       系统中必须含有主元素(Identity Element)，所谓主元素是
这样的性质的元素：他与系统中任意另一个元素结合的结果仍是那
另一个元素。
例如，
在(a)中，主元素是0，因为0与任何整数相加的结果还是那个整数。
在(b)中，主元素是1，因为任意一个有理数用1乘了之后的积还是那
个有理数。
在(c)中，主元素是那个将x1代作x1，x2代作x2，x3代作x3的置换，
因为任意一个置换和这个置换结合的结果还是那个转换。
在(d)中，主元素是那个360度的旋转，因为系统中任意一个旋转和
这个旋转结合的结果还是那个旋转。

3。     每个元素必须有一个逆元素(Inverse Element).所谓一个元素
的逆元素是这样规定的：一个元素和他的逆元素用系统中的运算结合
的结果是主元素。
例如，
在(a)中，3的逆元素是—3，因为3加上—3的和是0。
在(b)中，a/b的逆元素是b/a,因为a/b和b/a相乘的积是1。
在(c)中，将x代作1x2,x2代作x3,x3代作x1的置换的逆元素是那个将x2
代作x1,x3代作x2，x1代作x3的置换，因为x2这两个置换结合的结果是
那个将x2代作x2,x3代作x3,x1代作x1的置换。
在(d)中，那个60度的旋转（逆时针方向）的逆元素是一个—60度的旋转
（一个顺时针方向的60度的旋转）。因为这两个旋转结合的结果和那个
360度的旋转一样。

4.结合律(Associative Law)必须成立。
因为一个群必须具备上述的四条性质，所以在(a)中若把0去掉，那系�
就不成为群了，因为那样一来，系统里没有主元素。

一切整数用乘法作系统中的运算不成一群。比如拿3来说，他的逆元素1/3
不在系统中。
所以一个系统之是否成群，不但要看他的元素，还要看他的运算才能决定。
读者所当注意的是：
(1)元素不必一定是数，可以是一种运动［如在(d)中］，也可以是一种动作
［如在(c)中］，或者其他的东西，我们不限定数学的对象是数，这样我们
把数学的领域开拓出去了。
(2)运算不必一定要是加法或乘法，或寻常算术，代数中所称为的运算，尽
可以是旁的方法［如在(c),(d)两例中］
但在习惯上，我们不管那是什么样的运算，都愿意叫他做乘法；例如在(c)
中，一个置换群跟着另一个置换也可以说是一个置换乘另一个置换。当然
这个乘法切不可与普通算术或代数中乘法相混，这个广义的乘法的性质可
以和普通乘法的性质大异。
例如，在普通的乘法中，
                2*3=3*2
我们说：普通的乘法是适合交换律(Commutative Law)的，这就是说，普通
乘法中因子的次序可以交换，其结果相同。可是，若说(c)中的“乘法”，
交换律就不成立了，比如我们拿一个将x1代作x3，x3代作x1，x2代作x2的
置换和一个将x1代作x2，x2代作x3，x3代作x1的置换来看，若先施行第一
个置换而后第二个置换于式子
                x1x2+x3
那末，这式子先变成
                x3x2+x1
再变成
                x1x3+x2
若将施行置换的次序交换一下，那末，原来的式子先变成
                x2x3+x1
再变成
                x2x1+x3
这个结果显见得和以前那个不一样了。
所以这种“乘法”是不适合交换律的，因此，相乘时元素的次序
很重要；两个元素用运算结合时当照一定的次序结合。

在下一章中，我们讲一些关于置换群(Substitution Group)的有趣
的性质，因为伽罗华用来解方程式的就是这种群。

但在事前先要讲一个简单的记法。
比如一个将x1代作x2,x2代作x3,x3代作x1的置换，这个置换我们
可以用简单记号来表示他：这些x可以省去，只要用1,2,3来代表
x1,x2,x3好了；于是这个置换可以记作
                (1 2 3)
这记号的意思是说：
1变作2，
2变作3，
3变作1。
换句话说，就是
x1变作x2，
x2变作x3，
x3变作x1。
同样，一个将x2代作x3,x3代作x1,x1代作x2的置换可以记作
                (2 3 1)
总之，在这种记号中，每个数变作他后一个数，而最后的一
数则变成最先的一数，如此完成一个循环，同样
                (1 3 2)
表示一个将x1代作x3,x3代作x2,x2代作x1的置换，又如
                (13)(2)或(13)
表示一个将x1代作x3,x3代作x1,x2代作x2的置换，所以前面
讲乘法交换律时所说两个置换相乘的例子，若照第一种次序是
                (13)(123)=(23)
若照第二种次序是
                (123)(13)=(12)
由这两个式子我们知道这种乘法是不适合交换律的，将一个元
素右乘或左乘另一个元素，他的结果是完全不同的！

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      * 流水带走光阴的故事，我轻轻地悠唱 *

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