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题  目: 伽罗华与群论—————（III 群的重要性质）
来  源: 哈尔滨紫丁香站
日  期: Sat Aug 16 19:31:29 1997
出  处: bbs@s1000e.whnet.edu.cn

发信人: smoke (好好的小烟), 信区: Mathematics
标  题: 伽罗华与群论————（III 群的重要性质）
发信站: 武汉白云黄鹤站 (Tue May 13 06:20:21 1997)

      《伽罗华与群论》   L.R.Lieber著    樊识译

                III  群的重要性质

有时一个群的一部分元素自己形成一体，这种群称为约群(Subgroup).
例如，前章的(a)例中，一切整数对于加法而言，固然成为一群，若单
拿一切偶数来看，对于加法而言，他们也成一群；因为群的四个性质
都能适合：
1。两个偶数的和还是偶数。
2。零是主元素。
3。一个正偶数的逆元素是一个负偶数，而一个负偶数的逆元素是正
偶数。
4。结合律当然成立。
所以单是偶数全体对于加法而言作成一个群，这群是那个由一切整数
对于加法而言作成的群的约群。
仿此，一个置换群（即是以置换作元素的群）也可以有约群。例如，
拿
        1,(12),(123),(132),(13),(23)
六个置换来看，此处1表示那个不动置换(Identity Substitution,即是将
x1代作x1,x2代作x2,x3代作x3的置换)。这六个置换形成一群，因为群
的四条性质都成立：
1。这六个中每两个的积还是这六个中的一个置换，
比如
                (12)(123)=(13)
                (123)(132)=1,
                (13)(23)=(123)
                (123)(123)=(132)
等等。
2。主元素是1。
3。每个元素的逆元素都在这六个元素之中，比如(123)的逆元素是(132)
(12)的逆元素是(12)等等。
4。结合律成立
现在从这六个置换中取出1和(12)两个来，这两个也做成一个群，这是原来
那个群的约群。
我们很容易证明：约群的元数(Order，即是元素的个数)是原来的群的元数
的约数。

一种最重要的约群是不变约群(Invarient Subgroup)。为要解释这个名词，先
得说明变形(Transform)的意义。
设有一个元素(12),我们用另一个元素(123)去右乘他，再用(123)的逆元素(132)
去左乘他，如此所得的结果是
                (132)(12)(123)=(23)
这个结果 (23)就称为(12)应用(123)的变形。

同样，群中一个元素若以另一个元素右乘，再用这另一个元素的逆元素左乘，
所得结果称为元素应用另一个元素的变形。

一个约群中任何元素应用原来的群中任何元素的变形，若仍是约群中的元素，
这约群就称为原来那个群的不变约群。

不变约群是很重要的，尤其重要的是一种极大不变真约群(Maximal Invarient
Proper Subgroup)。设H是G的不变约群，假如G中没有包含H而较H大的不变
真约群存在时，H就称为G的一个极大不变真约群。

假设G是一个群，H是G的一个极大不变真约群，K是H的一个极大不变真约群
。。。。。。若将G的元数用H的元数去除，H的元数用K的元数去除，。。。
如此所得诸数，称为群G的组合因数(Composition Factors).假使这些组合因数
都是质数，我们就说G是一个可解群(Solvable Group).这里“可解”两个字的意
义，容后再说。

在有些群中，群中的一切元素都是某一个元素(不是主元素)的乘幂，比如在群
                1,(123),(132)
中，
                     2
                (123)  =(123)(123)=(132)
                     3
                (123)  =(123)(123)(123)=1
这群中的元素都是(123)的乘幂，像这种群，称为循环群(Cyclic Group).

在一个置换群中，如果每个文字都有一个而且只有一个置换将文字换成其他某
一个文字(这个文字也可以和原来那个文字相同)，那末，这个群就称为正置换
群(Regular Substitution Group)。例如方才所说的群
                1,(123),(132)
在1中x1变成x1,在(123)中x1变成x2,在(132)中x1变成，。。。。。。所以这是
一个循环正置换群(Regular Cyclic Group), 这种群在方程式的应用上很重要，
在以后的各章中可以见到。
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      * 流水带走光阴的故事，我轻轻地悠唱 *

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