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作 家: oli (西西 ) on board 'Math'
题 目: 伽罗华与群论————（IV 一个方程式的群）
来 源: 哈尔滨紫丁香站
日 期: Sat Aug 16 19:33:15 1997
出 处: bbs@s1000e.whnet.edu.cn
发信人: smoke (好好的小烟), 信区: Mathematics
标 题: 伽罗华与群论————（IV 一个方程式的群）
发信站: 武汉白云黄鹤站 (Tue May 13 07:30:20 1997)
《伽罗华与群论》 L.R.Lieber著 樊识译
IV. 一个方程式的群
对于一个一定的数域，每个方程式都有一个群。
比如我们有一个三次方程式
3 2
ax + bx + cx +d =0
而且假定他的三个根x1,x2,x3是相异的，我们随便取一个这三个根的函数，如
x1x2+x3
来看，在这函数中，我们若将这些x互相替换，那末，一共有多少种置换呢？
我们可以作(12) 一类的置换，这种置换是将x 中的两个互相对换的(12)将
x1x2+x3
变成
x2x1+x3
又如(13)将
x1x2+x3
变成
x3x2+x1
等等
其次是像(123)一类的置换，这个置换把原来的函数变成
x2x3+x1
除了以上两类置换，还有一种就是那个不动置换了。所以一共是六个置换：
1,(12),(13),(23),(123),(132)
换句话说，对于这三个x，一共有3!种可能的替换。
同理，对于四个x有4！种可能的置换，一般的情形，对于n个x就有n!可能
的替换。
读者当注意：于一个函数施行一个置换的时候，函数的值可以因此而变，也
可以仍旧不变，例如若将(12)这个置换施行于函数
x1+x2
这函数的值不变，可是，若将(12)施行于函数
x1-x2
函数的值就由x1-x2一变而为x2-x1了。
现在假定有一个n次的方程式，他有n个不同的根：
x1,x2,x3,.......xn.
我们可以证明：在函数
V1=m1x1+m2x2+m3x3+......+mnxn
[这个函数也称作伽罗华函数(Galois Function)] 中，一定可以如此
选择这些m,使x的每种置换都变更这函数的值，如此，当x作各种
可能的置换时，这函数就有n!个不同的值。我们用
V1,V2,V3,......Vn!
表示这些不同的值。于是再作出式子
P(y)=(y-V1)(y-V2)......(y-Vn!),
此处y是一个变数。
将P(y)的各因子乘出来，就得到一个y的各项式，这个多项式也许是可约的，也
许是不可约的，那就要看在什么数域分解因数而定了。
假设P(y)在某一个一定的数域中分解因数，包含V1而在这数域中为不可约的部分
设是
(y-V1)(y-V2) 或 y^2 - (V1+V2)y + V1V2
在这部分中所含的V仅有V1与V2，那个不动置换和那种将V1，V2互相交换的x的
置换作成一群，这是可以证明的事，这个群就称为方程式在这数域中的群(The
Group of the given Equation fort the given Field).
将这个群中的置换施行于函数y^2 - (V1+V2)y + V1V2 时，函数之值显然不变。因
为V1和V2交换后函数的值不变，至于那个不个不动置换当然不会变更函数的值。仿
此，假使P(y)中包含V1的不可约部分也含有V2和V3，那么，方程式在这数域中的群
就是那些使这些不可约部分不变的置换做成的。
一般地说，一个方程式在一个一定的数域的群是由P(y)中包含V1的不可约部分而决定
的。假使这个不可约部分记作G(y),那末，G(y)=0就称为伽罗华分解式(Galois Resolvent).
在一个数域中将一个式子分解因数，到了不能再分解时，若将数域扩大，往往又可以
继续分解因数，所以扩大数域可以将方程式的群变小，这一点重要的事实，我们以后
还要回过来说的。
对于一般的n次方程式，在一个包含他的系数的数域中，P(y)可能是完全不可约的。这
样，方程式在这个数域中的群就含有一切可能的n！ 个置换了。
我们可以证明下列的事实：假使方程式的根的任意一个函数的值在一个数域中，那
么，方程式在这个数域中的群的一切置换都不变更这函数的值。而且，假使
一个函数的值不在数域中，那末，群中至少有一个置换，他能变更这函数的
值。
应用这一点重要性质，我们不必很麻烦地去找伽罗华分解式，就可以求方程
式在一个数域中群。
例如二次方程式
2
x + 3x +1=0,
他有两个根x1,x2,因为他只有两个根，所以可能的置换只有1和(12)两种，所
以这方程式的群或者含有这两个置换或者只有1一个，这就要凭在什么数域中
而决定了�
现在取函数
x1-x2
来看，从初等代数中我们知道：二次方程式
2
x + bx + c = 0
的两个根之差是
x1-x2= (b^2-4c)^1/
在此例中，b=3,c=1,所以
x1- x2 = 5^1/2
如果所讨论的数域是有理数域，那么，这个函数的值不在数域中，所以
群中必有一个置换，他能变更这函数的值。而1和(12)两个置换中只有(12)
变更函数x1-x2的值。所以群中必含有(12), 因此，这方程式在有理数域中
的群是由
1,(12)
两个转换作成的。
如果所讨论的数域是实数域，那么，5^1/2在这数域中，所以群中一切置换
都不改变函数x1-x2的值。所以(12)不能在群中，这方程式在实数域中的群
是由1一个置换作成的。
我们再取方程式
x^3-3x+1=0
作例，他有三个根x1,x2,x3.所以至多有六种可能的置换。
即是
1,(12),(13),(23),(123),(132)
现在要求这方程式在有理数域中的群，我们应用
(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)
这个函数，三次方程式
x^3+cx+d=0
的根的函数
(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)
之值是±(-4c^3 - 27d^2)^1/2.现在c = -3, d = 1, 所以
(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)=±9
±9是有理数，在有理数域中，所以群中一切置换都不能变更函
函数的值。但在上列六个置换中，只有1，(123),(132)不变更这�
数的值，所以这个三次方程式在有理数域中的群的元素或者就是
这三个置换，或者只是1一个，所以单利用函数
(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)
还不能决定这个方程式在有理数域中的群。我们再应用另外一个
函数
x1
如果群中只有1一个元素，那么，1不会变更函数x1的值，所以x1
必在有理数域中，换句话说，这个三次方程式的根x1必须是有理
数，同样的道理，x2,x3 也须是有理数，但是，这个三次方程式
没有一个根是有理数，所以，他在有理数域中的群不能单含1一个
元素，这群必定是由1,(123),(132)三个元素作成的。
如此，我们利用(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)和x1两个函数而决定了这个
方程式在有理数域中的群。
刚才讨论的这个三次方程式是有特别的用处的。在讨论以直尺圆规
三等分任意角的可能与否时，便用到这个方程式，我们将在第六章
中讲他。
读者可以去试一番：证明方程式
x^3 - 2 = 0
在有理数域中的群含有六个置换。这个方程式显然表示立方倍积(The
Duplication of the Cube)的老问题。在第六章中我们将看到单用直尺
与圆规这问题是不可能的�
至此，我们已经知道什么叫做一个方程式在一个数域中的群，而且知
道如何去求他，下面要看他有什么用处。
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* 流水带走光阴的故事，我轻轻地悠唱 *
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