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作  家: oli (西西 ) on board 'Math'
题  目: 伽罗华与群论uuuu(V     伽罗华的鉴定）
来  源: 哈尔滨紫丁香站
日  期: Sat Aug 16 19:35:03 1997
出  处: bbs@s1000e.whnet.edu.cn

发信人: smoke (好好的小烟), 信区: Mathematics
标  题: 伽罗华与群论————（V       伽罗华的鉴定）
发信站: 武汉白云黄鹤站 (Tue May 13 08:02:25 1997)

     《伽罗华与群论》   L.R.Lieber著    樊识译

                V。伽罗华的鉴定

伽罗华证明了下面的事实：一个方程在一个含有他的系数的数域中的
群若是可解群，则此方程式是可能用根式解的，而且仅在这条件之下
方程式始能用根式解。

在第七章中我们将证明这事实。现在我们且先讨论几个方程式在一个
含有其系数的数域中的群，而应用伽罗华的鉴定来看看他们是否可以
用根式解。

首先取一般的二次方程式
                    2
                a x  +  bx + c = 0
来看，他的两个根是x1,x2,这方程式在一个含有他的系数的数域中的群
之元素是1和(12).这群的唯一的极大不变真约群是1，所以此群的组合因
数是
                2/1=2
是一个质数，因此，根据伽罗华的鉴定，凡二次方程式可用根式解的。
这事实在伽罗华之前早已为人所共知，可是用伽罗华的理论得出这个结
果是何等简单而美妙啊！

其次，取一般的三次方程式
                    3        2
                a x   + bx + cx + d =0
来看，因为他有三个根x1,x2,x3,所以在一个含有他的系数的数域中，他
的群含有
        1,(12),(13),(23),(123),(132)
六个置换，此群的唯一极大不变真约群H含有1,(123),(132)三个置换，而
H的唯一极大不变真约群是1，所以组合因数是
                6/3=2,与3/1=3
两个都是质数，所以凡三次方程式者是可用根式解的。

我们再看一般的四次方程式
                    4      3      2
                a x + b x + cx +dx +e =0
他在一个含有其系数的数域中的群的元数是4!=24,这个群的组合因数是
                2,3,2,2,(可能过程比较复杂，文中有参考文献）
这些都是质数，所以四次方程式也都可以用根式解。

对于一般的五次方程式，G含有5!个置换，G的极大不变真约群H含有5!/2
个置换，而H的唯一极大不变真约群是1，所以组合因数是
                2与5!/2
5!/2当然不是质数，所以一般的五次方程式是不能用根式解的。

其实，对于一般的n次方程式，n若是大于4，组合因数便是
                2与n!/2
而后者当然不是质数。

如此，应用群的理论，我们得到一个美妙而有力的方法来决定一个
方程式之能否用根式解。

不但如此，在下一章中我们还要应用群论来解方程式的方法以及这
法子与三等分任意一角诸作圆周问题的关系。

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      * 流水带走光阴的故事，我轻轻地悠唱 *                      

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