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作  家: oli (西西 ) on board 'Math'
题  目: 伽罗华与群论————（VI   用直尺与圆规的作图）
来  源: 哈尔滨紫丁香站
日  期: Sat Aug 16 19:36:46 1997
出  处: bbs@s1000e.whnet.edu.cn

发信人: smoke (好好的小烟), 信区: Mathematics
标  题: 伽罗华与群论————（VI   用直尺与圆规的作图）
发信站: 武汉白云黄鹤站 (Tue May 13 09:14:59 1997)

       《伽罗华与群论》   L.R.Lieber著    樊识译

                VI.用直尺与圆规的作图

伽罗华发明了判别方程式能否用根式解的鉴定以后，他还创了如何
求一个能用根式解的方程式的根的方法，这方法是利用一组辅肋方
程式(Auxiliary Equation), 这些辅肋方程式的次数恰是原来那个方程
式的群的组合因数。

现在将这方法的大意说在下面：先把第一个辅肋方程式的根加入数域
F中，读者当能回忆我们以前说过：将数域扩大了可以增加P(y) 分解
因数的可能性，即是能将P(y)的不可约部分减少，因此能将方程式的
群变小，当然，要数域扩大了之后的确能继续分解P(y)的因数，这效果
才会发生。

现在假设数域经第一个辅肋方程式的根之加入而扩大了，而且使分解因
数的工作因之可以再继续下去，结果使方程式在这扩大了的数域F1中的
群是H。

再将第二个辅肋方程式的根加入F1中，使方程式的群变为K，如此做去，
直到后来，方程式在那个最后扩大成的数域Fm中的群是1。函数x1显然
不能被群1中的置换变更他的值，所以x1必在数域Fm中。仿此，其余的
根也都在Fm中。

这样先决定了方程式的群和此群的组合因数，才知道辅肋方程式的次数。
由此我们可以知道什么样的数应该加入原来的数域里去，而把方程式的
群变为1。于是可以决定方程式的根存在于怎样一个数域中。

现在取方程式
                 3
                x  - 3x +1 = 0
作例来帮助我们了解上面的话，这方程式在有理数域中的群是由1,(123),
(132)三个置换作成的，此群的唯一极大不变真约群是1，因之组合因数是3
所以有一个辅肋方程式，他的次数是3，而这个辅肋方程式的根含有一个
立方根，所以这个立方根必须加入数域中，才能使方程式的群变为1，而这
原来的方程式的根可以从有理数域中的数及这个立方根单用有理数运算得出。

我们再看以上的讨论和那个以直尺，圆规三等分任意角的可能性有什么关系。

首先我们要问：单用直尺与圆规能作些什么？当然，我们只能作直线和圆。
这两样的代数表示就是一次和二次方程式。所以要求他们的交点，我们至多
只要解一个二次方程式就可以把交点的坐标用有理运算和平方根表作系数的
函数。所以凡是能用直尺与圆规作出的数量都可以有限次的加，减，乘，除
和平方根表出，而且我们从初等几何学中知道这事的反面也对：假使给了两
线段a,b和单位长度，我们可以用直尺与圆规作出他们的和a+b,差a-b,积ab,
商a/b,以及这些量的平方根如(ab)^1/2,b^1/2之类，这种运算当然可以重复应
用于一切已经作出的线段。

我们讨论一个作圆单用直尺，圆规是否可能时，必须作出一个表示这作圆的
代数方程式：假使这方程式在数域中可以分解成单是一次和二次的代数式，
那么，一切实数根当然都能用直尺与圆规作出。但是，即使方程式不能分解
成上述的样子，只要方程式的实数根能用有限次的有理运算与平方根作已知
的几何量的函数，那末，这作图单用直尺，圆规还是可能的，否则这作图
就不可能了。

现在我们要找一个表示三等分角的方程式，我们只要证明了一个特别的角不
能用直尺与圆规三等分，那末，这三等分任意角的作图当然是不可能了。

我们取120度这角来看，且假定这角位于一个半径是单位长的圆之中心。假使
我们能作出cos40度来，那末，只要取OA=cos40,于是a就是一只40度的角，
而三等分120度的作图就完成了。（因为示图不好作，虫虫们不好理解的话
跳过这节就是）。

应用三角恒等式
                        3
        2cos3α = 8 cosα - 6 cos α
而且令x=2cosα,则有

        2cos 3α = x^3 - 3x
因为3α = 120 度，cos3α = -1/2;所以上面的方程式可以写作
        x^3 - 3x +1 =0
这正是我们以前讨论过的方程式。

现在假说所给的只有单位长，我们可以作出一个半径是单位长的圆，
而且可以作OB=1/2，于是角AOC=120度。因为所给 的只有单位长，
所以我们的数域当限定是有理数域。

所以要解这个方程式，必须将一个立方根加入于有理数域中，然而
一个立方根是不能用直尺与圆规作出的，这样，我们可以知道：用
直尺与圆规三等分任意角是不可能的。

以相似的方法，不难证明用直尺，圆规解决立方倍积问题也是不可能
的，对于这个问题，方程式是
                x^3=2
数域是有理数域，这方程式在这个数域中的群含有六个置换。读者
当证明须加入一个平方根和一个立方根于有理数域中，方程式的群
才会变成1。又因一个立方根是不能用直尺，圆规作出的，所以我们
这个立方倍积问题是不可能的。

仿此，我们可以应用群论去探讨正多边形作图的问题。

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      * 流水带走光阴的故事，我轻轻地悠唱 *                      

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