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作  家: oli (西西 ) on board 'Math'
题  目: 伽罗华与群论——（VII  伽罗华的鉴定为什么是对的）
来  源: 哈尔滨紫丁香站
日  期: Sat Aug 16 19:39:17 1997
出  处: bbs@s1000e.whnet.edu.cn

发信人: smoke (好好的小烟), 信区: Mathematics
标  题: 伽罗华与群论——（VII  伽罗华的鉴定为什么是对的）
发信站: 武汉白云黄鹤站 (Tue May 13 14:08:03 1997)

            《伽罗华与群论》   L.R.Lieber著    樊识译

                VII    伽罗华的鉴定为什么是对的

现在我们要证明一个方程式若有一个可解群，这方程式就可用根式解。

每个人在他少年的时候也许都有过这个经验：想应用方程式的根与系
数去解方程式。例如在二次方程式
                  2
                x + bx +c =0
的两个根x1,x2 中，我们知道有
                x1 + x2 = -b    (1)
与
                      x1x2=c        (2)
的关系，那么，我们为什么不从这两个方程式中去解x1,x2呢？我们
很容易发见这条路是走不通的，因为如果从（1）中得出x1的值而后
代入（2）中，结果是
                 2
                x2 + b x2 + c = 0,
这正与原来的二次方程式丝毫也没分别。所以这个法子只令我们兜了
一个圈子又回到原来的出发点去了。但是，如果我们能得到一对都是
一次的方程式，那末，如果我们能得到一对都是一次的方程式，那末，
x1和x2就实实在在可以求得了。

如果方程的群是一个元数为质数的循环正置换群，那末，这方程式的
确可以照刚才所说的法子去解，这一点我们立刻就要说明。而且我们
还要观察这个特殊情形与一般的有可解群的方程式有什么关系。

现在先就这特殊情形来考究，设方程式
                f(x) = 0
有n 个相异的根，而且在那个由方程式的系数及1之n个n次根决定的数
域中，此方程式的群是一个元数为质数的循环正置换群。

在此我们先要问什么叫做1之n个n次根。我们都知道1有三个立方根：
        1，-1/2+1/2*(-3)^1/2, -1/2-1/2*(-3)^1/2
(通常都记作1，ω，ω^2) 仿此，在一般的情形，1有n个n次根，这n个
n 次根我们记作

        1, ρ, ρ^2, ......ρ^(n-1)

1的三个立方根只包含有理数和有理数的根数，同样1的n个n次根也只包含
有理数和有理数的根数，所以这种数加入数域中去时并不影响到“方程式
是能用根式解”的这句命辞。

因为我们假定这方程式的群是一个元数为质数的循环正置换群，群中元素
都是置换群，群中的元素都是置换
                (123......n)
的乘幂，这个置换的n次乘幂就是不动置换。

现在我们要应用一组一次方程式

x1 + (ρ^k) x2 + ( ρ^2k) x3 + ......+(ρ^(n-1)k) xn = γk

此处k的值为0与n-1间之任何整数，所以这是将n个方程式写作一
个的简便写法。例如当k = 0时，（3）就成为
        x1 + x2 + x3 + ......+ xn = γ0
当k = 1 时，（3）就成为
        x1 + ρx2 + ρ^2 x3 + ......+ρ^(n-1) xn= γ1
等等。

因为一个方程式的最高次项系数是1，则诸根之和等于方程式中第二项的系数
的负值，所以γ0之值可以直接从方程式的系数中求得。现在要将
置换
        (1234.....n)
施行于(3)的左端，(3) 式左端就成为

        x2 + (ρ^k)x3 + ( ρ^2k)x4 + ......+(ρ^(n-1)k)x1
但是若将（3）式左端用ρ^(-k)一乘，也可得出同样的结果，这是
因为ρ^n=1的缘故。所以置换
        (1234.....n)
将γk之值变为ρ^(-k)γk. 又因ρ^n=1，故γk^n = ( ρ^(-k)γk)^n
所以置换
        (1234......n)
不变更γk^n的值。同样，群中其他的置换也不变γk^n。

如此，群中一切置换既然都不变更γk^n之值，γk^n之值必在那数
域中。因此，γk是数域中某一个数的n次根，这就是说：所有γ的
值都可由根式得到（对于那数域而言！）。而由（3）中可以将x用
ρ与γ表出，于是这组方程式（3）是可以用根式解的。但是这些x
就是方程式f(x)=0 的根。所以我们已经证明：如果方程式在一数域中
的群是元数为质数的循环正置换群，则此方程式必可用根式解。

举例来说：方程式
                x^3 - 3x +1 =0
在有理数域中的群是1，(123),(132);这是一个元数为质数的循环正置
换群，所以我们可以从

                x1 + x2 + x3 =0
                x1 + ωx2 + ω^2 x3 = γ1
                x1 + ω^2 x2 + ωx3=γ2
这三个一次方程式中解他。此处ω表示1的一个虚立方根，γ1与γ2
可以由数域中的数的根数而得。换句话说，如果把这种根加入到数域
中去，则x都存在于扩大的数域中。

但是，假使方程式的群不是一个元数为质数的循环正置换群，那又怎样
呢？

方程式的群是一个可解群时，他的解法在前面已说了一个梗概，在那里
我们已经知道：假使组合因数都是质数，虽则方程式的群不是一个元数
为质数的循环正置换群，这方程式还是能用根式解的。因为这时候每个
辅肋方程式在那个用前几个辅肋方程式的根扩大成的数域中的群是一个
元数为质数的循环正置换群。

如此，每个辅肋方程式既有一个元数为质数的循环正置换群，根据以前
所说的，这些辅肋方程式都能用根式解。所以这些加入原来的数域去的
辅肋方程式的根，都只不过是原来的数域中的数的根数而已。这样看来，
只要方程式的群是可解群，这方程式就是能用根式解的。

在一般的情形，我们常可以取

y^2 = ( x(1) -x(2) )^2 * (x(1) - x(3) )^2 ....(x(n-1) - x(n))^2
作第一个辅肋方程式，此式右端是所有每两个根之差的平方之积。假若
方程式的第一项系数是1的话，那末，上式的右端正是方程式的判别式
(Discriminant) ,例如二次方程式
        
                x^2 + bx + c =0
的两个根 x1, x2 之差之平方是

        (x1-x2)^2 = ( x1 + x2) ^2 - 4x1x2 = b^2 -4c

这恰是方程式的判别式。同样，高次方程式的判别式也可
从系数求得。现在第一个辅肋方程式的两个根就是这判
别式的两个平方根，将这两个平方根加入数域中，方程
式在这新的数域F1中的群是H，我们再照同样方法用其
余的辅肋方程式进行下去。

设若所要解的方程式是一个一般的三次方程，将第一个辅
肋方程式的根加入原来的数域之后，方程式的群变为H，在
这情形，H是一个元数为质数的循环正置换群，所以我们
可以利用


                x1 + x2 + x3 =0
                x1 + ωx2 + ω^2 x3 = γ1
                x1 + ω^2 x2 + ωx3=γ2
这三个一次方程式来解原来的三次方程式，此中的γ1，γ2
可由数域(这数域是由三次方程式的系数以及第一个辅助方程
式的根而决定的）中的数之根数求得。换句话说，假使把γ1，
γ2的值也加入数域中，则方程式的群变为1，这也就是说，
x1,x2,x3存在于这个最后经γ1，γ2之加入而扩大成的数域中。

如此我们已经证明：方程式在一个由其系数与1之n个n 次根而
决定的数域中的群若是一个可解群，则此方程式是可以用根式
解的。

当然，如果方程式在一个含有其系数的数域中的群是可解群，
则对于这数域而言，此方程式是可以解的。

本书所说的已够使读者知道一个大概，我们希望读者继续去研究
这门引人入胜的数学。要知道用群论解方程式并不是这个令人
惊叹的群的概念的唯一应用。

应用群论于几何学，使几何学起了一个大的改革。还有在相对
论中，群论也极重要。培尔(E.T.Bell)说过：“无论在什么地方，
只要能应用群论，从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐。
群的概念是近世纪科学思想的出色的新工具之一。”

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      * 流水带走光阴的故事，我轻轻地悠唱 *                      

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