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发信人: melancholy (脑袋是用来疼的), 信区: Math
标  题: 第三次数学危机——悖论(转载)
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年08月04日15:21:03 星期六), 转信

【 以下文字转载自 Flyingoverseas 讨论区 】
【 原文由 melancholy 所发表 】

       从17世纪开始的300年中，出现了一大批杰出的数学家，像笛
卡尔、牛顿、莱布尼兹、柯西、阿贝尔、康托尔、费尔马、伯努力利
家族、欧拉、拉普拉斯、希尔伯特等。他们的卓越工作成就，把近代
数学宫造成了一座高度严密和既抽象又确定的“数学迷宫”。数学表
达的精确化和理论系统的公理化思想，深深渗透到人类知识的各个领
域。数学家们为自己建造的数学大厦即将竣工而狂喜，认为数学理论
的严密性已经完成，特别是基础理论已不成问题。法国知名数学家彭
加勒竟然在1900年于巴黎召开的国际数学家代表大会上自豪的宣
布：“数学的严格性，看来直到今天才可以说是完全地实现了。”
       正当人们陶醉于胜利之中时，正当康托尔所创立的饱经磨难的
集合论已为大家所接受，并逐渐深入到数学的各个分支时，精确数学
的万里晴空上却飘来了一片乌云。这片乌云就是英国的哲学家、数学
家罗素提出的关于“集合论”的悖论。它导致了数学史上第三次危
机。
       为了便于理解，罗素把集合论悖论通俗形象地比喻为一个理
发师的悖论（见前面介绍中的悖论五）。这个悖论用数学语言应该这
样叙述：具有某种相同属性的事物的全体称为集合，组成该集合的每
个事物称为元素。但集合一般可分为两大类，一类称为本身分子集，
另一类称为非本身分子集。例如由许多图书馆所构成的集合M仍然是
图书馆，所以M是属于自己的元素的集合，即本身分子集，我们权且
称之为甲类。而由全体自然数所构成的集合N就不再是自然数，所以
N是自己不属于自己的元素的集合，即非本身分子集，我们称之为乙
类。那么罗素问：乙类集合的全体也是一个集合，它属于哪一类？对
这个问题的回答就如同理发师对悖论的回答一样左右为难，自相矛盾
的。
       罗素悖论像一颗重磅炸弹，震憾了数学界。号称天衣无缝、绝
对严密的精确数学居然在基础问题上就明显地自相矛盾。这使许多数
学家感到惶恐不安，为此还引起了激烈的争论，形成了许多派别。这
场大论战激励许多数学家奋力探索如何进一步建立严格的数学基础。
于是有的数学家提出应为集合论建立一种公理系统，并规定，凡是超
出公理所允许的限度而构造出来的集合，例如由一切集合而组成的集
合等等，在公理系统中一概不予承认。所以现在的集合论中禁止一个
集合是此集合本身的元素。这样就把罗素悖论、康托尔悖论和其他一
些已经发现的逻辑和数学悖论全部排队干净了。
       这场危机引发的急诊和探讨至今没有结束。但数学作为一门科
学没有因危机而止步，反而因危机引发的争论和思考获得了进一步的
发展，数学变得更加成熟了。




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             All work and no play,

             makes John a dull boy※ 来源:·哈工大紫丁香 bbs.hit.edu.cn·[FROM: 202.118.170.137]
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