Math 版 (精华区)

发信人: melancholy (脑袋是用来疼的), 信区: Math
标  题: 第二次数学危机——微积分(转载)
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年08月04日15:21:10 星期六), 转信

【 以下文字转载自 Flyingoverseas 讨论区 】
【 原文由 melancholy 所发表 】
       数学史上的第二次危机发生在17世纪，涉及的是微积分理论
基础的问题，是由贝克莱悖论引起的。当时虽然微积分理论刚刚建
立，但由于它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用而引
起人们高度的重视。它能提示和解释许多自然现象，但是却缺乏令
人信服的严格理论基础，在推导过程中存在着明显的逻辑矛盾。
       例如：对于 y =x2 而言，根据牛顿的流数计算法有：
              y+△y=(x+△x)2                  （1）
              x 2+△y=x2+2x△x+（△x）2        （2）
              △y=2x△x+（△x）2              （3）

       在上述推理中，从（3）到（4），要求△x不等于零，因为要
用△x作除数。而从（4）到（5），又要求△x等于零，因为△x小到
可以忽略不计，因此从（4）到（5）时将其舍去了。
       按照其物理意义，就非匀速运动而言，如果认为无穷小量
△x、△y为0，那么 就相当于 。按照数学的传统法则，这是无意允
许的。事实上，在这种情况下，也根本没有运动发生。但如果认定
△x不为零，那么 就仍然是平均速度，根本不是瞬时速度。
       正因为无穷小方法中包含着这类矛盾，受到许多数学家的指
责。特别是基督教大主教贝克莱在1734年出版的《分析学家》的小
册子中，对这一矛盾的指责达到高潮。贝克莱说：“无穷小最初不
是零，才能在（3）到（4）时作除数，而在（4）到（5）时，又作
为零而舍弃，这违反了矛盾律。无穷小如果是零就不能作除数，如
果不是零，就不能舍弃”。这就是著名的“贝克莱悖论”。
       贝克莱悖论又一次引起数学界的思想混乱，导致了第二次数
学危机的爆发。为解决这一悖论，无数人投入了大量的劳动。终于
由法国数学家柯西首先给出了极限的定义；“若代表某变理的一串
数值无限地趋向于某一数值时，其差可任意小，则该固定值称为这
一串数值的极限”。很明显，这个定义给无穷小一个准确的概念，
完全摆脱了与几何直观的联系。接着他又以极限概念为基础，分别
建立了连续、导数、微分、积分等理论从19世纪下半叶开始，极限
理论逐渐取代了无穷小量的方法，在数学分析基础理论中占有了统
治的地位，这样才能消除了第二次数学危机。
       由于严格的实数理论和极限理论的建立，第一次、第二次
学危机都得到了解决。许多人认为数学世界应该太平了。殊不知实
数理论和极限理论都是以集合论为基础的。因此当由集合论的悖论
所引起的第三次数学危机爆发的时候，它实际上可以看作是前两次
危机的继续和深化。它所涉及的问题比前两次更广泛，引起的危机
感也更加强烈

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             All work and no play,

             makes John a dull boy※ 来源:·哈工大紫丁香 bbs.hit.edu.cn·[FROM: 202.118.170.137]
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