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标  题: 应用数学和力学家郭仲衡
发信站: BBS 哈工大紫丁香站 (Wed May 18 15:18:07 2005)

   郭仲衡，应用数学和力学家，对理性力学发展起过重要的推动作用。他是国际上公认的
对弹性理论有卓越贡献的代表人之一。他在力学基础，张量分析，应用力学，现代数学与
力学的结合方面有一系列创见性的研究成果。
   郭仲衡，１９３３年３月２日出生于广州市。父亲郭次平，曾是省港海员，业余爱好书
法和古文学。郭仲衡自幼受其熏陶，练就一手好字，曾在上海市中学生书法比赛中获奖。
他好沉思，爱推理，喜欢数学和物理。他的兴趣不广泛，但对感兴趣的事物总是“打破砂
锅问到底”。他也喜欢外语，中华人民共和国成立时，他在广州广雅中学读高二，开始自
学俄语。中学毕业前夕，英语教师建议他报考外语系，但常在空中掠过的苏联喷气式飞机
使他兴奋，毅然考入清华大学航空学院。在大学一年级，他又自学德语。１９５２年被选
拔留苏。在俄专跟着高班上俄语课，开始时感到吃力，但是几周后他就名列前茅。１９５
３年选拔赴波兰留学，在华沙大学学波兰语，选修数学、力学，在华沙工业大学毕业和获
硕士学位，继在波兰科学院获博士学位。１９６３年回国后，一直任教北京大学。１９７
９年晋升为北京大学数学系教授，后任应用数学教研室主任，是我国第一批博士生导师。
１９８４年获国家级有突出贡献专家称号。１９８８年当选为波兰科学院外藉院士。１９
９１年当选为中国科学院学部委员（现称院士）。１９８６年获国家教委科技进步二等奖
。１９８７年获国家自然科学三等奖。他曾任中国力学学会第一、二、三届常务理事。发
表论文１２０余篇。
　　１９５３年到波兰不久，他就被波兰的数学传统和近代力学成就所吸引。曾任波兰科
学院院长的Ｗ．诺瓦茨基（Ｎｏｗａｃｋｉ）教授讲课时说：“弹性力学是数学应用的广
阔园地，只有广泛和深刻地掌握数学才可能在这个领域有所作为。”这句话触发了郭仲衡
从小爱好数学的兴趣，对他后来的学习和学术生涯起了导向作用，从而努力掌握先进的数
学技巧，钻研力学的基础问题。
　　在波兰，郭仲衡勤奋地既学习数学，又学习力学。但常为力学的繁琐公式所困扰。１
９５８年冬，波兰科学院Ｗ．乌尔班诺夫斯基（Ｕｒｂａｎｏｗｓｋｉ）教授邀请郭仲衡
参加他的“有限变形讨论班”。在那里，学者们经常用张量语言做学术报告。简短的公式
就能概括复杂的事物。郭仲衡如久旱逢甘霖，他如饥似渴地学习张量，几乎一口气读完了
Ａ．Ｅ．格林（Ｇｒｅｅｎ）和Ｗ．策尔纳（Ｚｅｒｎａ）的《理论弹性》和Ｓ．戈洛布
（Ｇｏｔａｂ）的《张量运算》。这是他的两本张量启蒙书。前者是一本最早用张量叙述
有限弹性的著作。从此，他爱上了张量，在力学基础研究中努力应用张量，逐渐达到得心
应手的地步。
　　１９６０年，理性力学大师Ｃ·杜鲁斯德尔（Ｔｒｕｅｓｄｅｌｌ）和Ｒ．杜平（Ｔ
ｏｕｐｉｎ）的《经典场论》问世。这是一本用理性力学观点系统地总结和阐述连续介质
力学理论基础的大全，也是一本承上启下的巨著。全书广泛应用张量的抽象记法，即无标
架的内禀记法。就在这一年，郭仲衡成了乌尔班诺夫斯基的博士研究生。教授指着这本书
对他说：“张量指标固然好，但抽象记法更佳”。一语道出了郭仲衡藏在深处的心声。同
时，他递给郭仲衡一张意大利文献的书单。意大利学者曾试图将“向量力学”的抽象记法
推广到出现张量的力学，但不算成功。导师的话是简短的，但意图和期望是明确的。吸取
意大利学者的经验教训，以《经典场论》为榜样，对连续介质力学坚持应用和发展抽象记
法。为了学习法国的数学和欣赏久已倾心的法国文学，郭仲衡在波兰选修了法语作为第５
外语。意大利语和法语同属罗曼语系，因此，导师的意大利文献书单并不使他畏惧，第二
天他去书店买回来一些书就自学起意大利语，几周后，开始阅读意大利文献。博士研究生
阶段的前期，在跟踪近代文献的同时，许多时间就是在意大利文献堆里渡过的。他曾撰文
向非意大利语学者系统介绍意大利学派的方法。初生牛犊不畏虎，他在导师的支持和鼓励
下，在整个博士研究生期间，共用英文发表了２２篇有关有限变形理论的论文，有些已涉及当时理�
粤ρУ那把乜翁狻�
   ６０年代初，国际力学界曾热烈讨论应力率的定义问题，一时众说纷纭，莫衷一是。郭
仲衡１９６０年在《应用力学》杂志上发表的题为《非线性连续介质力学中张量场的时间
导数》系统地分析了各种定义，并从物理角度提出，正确的定义应除去物理体点转动引起
的变化部分。国际学术界接受了这个看法。Ｓ·札贺尔斯基（Ｚａｈｏ１ｓｋｉ）在《粘
弹性流体力学》中认为，这篇论文“最终地弄清了问题”。这个问题是郭仲衡博士论文的
中心内容。１９６３年２月２１日，郭仲衡以流畅的波兰语通过了论文答辩，并得到拉丁
文字样“ＳｕｍｍａｃｕｍＬａｕｄｅ”的最高表扬。
　　乌尔班诺夫斯基是一位学问渊博，品德高尚的良师益友，他把郭仲衡推上了学科的前
沿，取得了丰硕成果。郭仲衡在波兰渡过了充满创造性和友谊的１０年，结识了许多朋友
。他常说，波兰是他的第二故乡。告别时，后来升任波兰高教部部长的Ｓ·卡里斯基（Ｋ
ａｌｉｓｋｉ）教授依依不舍地说：“真希望您能留下！我们很喜欢您。”波兰虽是第二
故乡，但他没有忘记祖国。
　　郭仲衡于１９６３年７月怀着满腔热忱回到了祖国，８月到北京大学，期望在这所中
国最高学府里有机会施展才华，干一番事业。在参加两次“四清”的空隙，他主讲了弹性
力学和非线性弹性理论。当时国际学术界使用张量方法的尚属少数，郭仲衡认为，张量的
普及只是时间问题，应当让学生尽早掌握这个工具。讲授非线性弹性固然非用张量不可，
对弹性力学，他也尝试用笛氏张量记法。从来未受过这方面训练的学生感到吃力，但学期
结束时，克服了重重困难的学生终于尝到了甜头，他们说：“这种方法就是好！”学生的
肯定是对教师的支持和鼓励，增强了他在教学上沿这条路走下去的信心。但“文化大革命
”使他的想法成为泡影，只留下一本用张量书写的非线性弹性讲义
   “文化大革命”后，郭仲衡回到教学岗位。他带领工农兵学员下厂“开门办学”。一向
搞理论的郭仲衡凭他那股“问到底”的劲儿废寝忘食地搞实际问题，边学边教边实践，也
颇有成绩。有一个实际问题要用到轴对称有限元，由于轴上的奇性，一般认为单元刚度矩
阵的“简单近似有时优于准确积分”，准确公式是误差大的根源。学生不理解这种说法，
他也接受不了。他利用春节期间机房空闲，追踪一简单例子计算的运行，终于发现该准确
公式推导时假设三角单元无边平行于对称轴，有些项互相抵消了。当然，这公式不适用于
有边平行于轴的单元。可是，这种单元的存在经常是不可避免的。这个逻辑错误的纠正使
轴对称有限元摆脱了困境。郭仲衡提出接触问题的广义子结构法，使计算量降至最低限度
。有一工程部门要求计算一种有开口分支的闭口薄壁杆件。工程力学界一向认为，开口和
闭口的薄壁杆件是两种不同质的构件，相应地有两种互不相容的理论。为了解决实际问题
，郭仲衡建立了开闭口复合型薄壁杆件的统一理论，将原有两种理论作为特殊情形包含在
内，使薄壁杆件理论起了一个质的变化。又有一个实际部门，为了估计寿命，要对实验数
据进行数值微分。郭仲衡发展了名为“切贝舍夫多项式局部拟合微分法”，使得计算精度
高于当时“ＡＤ报告”报道的方法。以往，我国用“反靠”办法加工凸轮靠模，两次机械加工误差
的积累成为精度低的原因。他提出一种直接计算凸轮靠模轮廓线坐标的方法，编制了程序
，使得可以一次性地在坐标镗床上直接加工靠模，从而精度提高数倍，改进了使用凸轮的
机器（如内燃机）的性能。有同事说：“老郭干什么像什么。”
　　正在起劲地联系实际的某一天，郭仲衡偶然在外文书店发现，书架上一批处理的《物
理大全》中有他还未见过的Ｃ．杜鲁斯德尔（Ｔｒｕｅｓｄｅｌｌ）和Ｗ．诺尔（Ｎｏｌ
１）的《力学非线性理论》（ＴｈｅＮｏｎｌｉｎｅａｒＦｉｅｌｄＴｈｅｏｒｉｅｓ
ｏｆＭｅｃｈａｎｉｃｓ，ＨａｎｄｂｕｃｈｄｅｒＰｈｙｓｉｖ．Ｂｄ．Ⅲ／３，
Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，１９６５），书里竟引述了他在波兰发表论文中的１
７篇。在弹性一章的开端还写道：“我们这里讨论的某些部分归功于……。”在脚注中按
时间顺序排列了包括郭仲衡在内的２９位在非线性弹性有卓越贡献的代表人物。
　　事情发生了变化，１９７７年５月，召开全国科学大会的通知提倡大力加强基础科学
研究。郭仲衡参与了１９７８年全国力学规划的“理性力学和力学中的数学方法”部分的
工作。在规划会上和会后，郭仲衡向我国学术界介绍了国际上理性力学、应用数学和非线
性力学的近期进展情况，后来，为了推动这方面的工作，中国力学学会成立了“理性力学
和力学中数学方法专业组”，由钱伟长教授任组长，郭仲衡任副组长，之后，专业组改为
专业委员会，钱伟长和谈镐生教授任顾问，郭仲衡任主任。郭仲衡在“文化大革命”前的
想法复苏了，遂将留下的讲义修改补充成《非线性弹性理论》一书，于１９８０年由科学
出版社出版。这是我国第一部以理性力学观点系统介绍有限变形和非线性弹性的专著，许
多高等院校用它作研究生教材，以后我国在此领域出版的一些书参考或直接采用郭仲衡在
该书首先引进的两点张量记法。
　　郭仲衡深知：“工欲善其事，必先利其器。”他在研究中不仅努力应用张量，而张量
理论本身也成为他研究的一个重要方面。他崇尚以至于醉心张量的内禀方法。他力图不仅
内禀地表达一切研究结果，而且也内禀地进行推导论证。专著《张量》就是本着这个精神
而写的，包括了他前期的部分研究结果。
　　凯莱－哈密顿（Ｃａｙｌｅｙ－Ｈａｍｉｌｏｎ）定理的现存证明大都是指标形式。
还在波兰时，郭仲衡发现意大利学者Ｃ．布拉里—佛尔蒂（Ｂｕｒａｌｉ－Ｆｏｒｔｉ）
和Ｒ·马尔科龙戈（Ｍａｒｃｏｌｏｎｇｏ）在１９１３年给出过一个三维情况的抽象证
明。２０多年来，郭仲衡一直想将这个符合他崇尚的美妙证法推广至几维情形。１９８５
年，他的夙愿才得到实现，关键在于应用外代数。他有机会看到Ｄ·Ｈ·萨庭格尔（Ｓａ
ｔｔｉｎｇｅｒ）和Ｏ·Ｌ·维佛（Ｗｅａｖｅｒ）在专著《Ｌｉｅ群和Ｌｉｅ代数的物
理应用》中的一段话，大意是，经过长期的角逐，向量的吉布斯（Ｇｉｂｂｓ）记法在５
０年代赢得了胜利，而微分形式则尚在角逐中，看来也要赢得胜利。他深信不疑这个胜利
。外代数的得心应手的应用使他得以长驱直人，得到或改进了张量分析中的一系列深刻结
果。１９８９年，郭仲衡在意大利比萨作演讲，说到这些结果渊源于推广该国布－马两氏
的一个证明时，在座听众表示钦佩和浓厚兴趣。
　　１９８０年，郭仲衡应聘为联帮德国鲁尔大学客座教授，讲授非线性连续介质力学。
他完全使用内禀方法。唯独伸缩张量率，他只能给出当时文献仅有的Ｒ．希尔（Ｈｉｌｌ
）的主轴表示。郭仲衡常因此引以为憾，惦记在心。１９８２年，他终于用对偶法得到了
这个抽象表示，使这个问题得以突破，国际上称为“郭氏速率定理”。Ｃ．杜鲁斯德尔将
这个结果补充进１９９１年出版的专著《理性连续统力学引论》第二版。对偶法在中间过
程用到了标架，尽管是任意的，毕竟是用到了。他似乎从原来彻底不用标架的宗旨退了一
步，但得到的却是单纯抽象推导不出的内禀结果。他说，这是“退一步，进二步”。对偶
法还不是一种普适方法。上述突破是一个未能带动全局的孤立事件，但它毕竟显示了内禀
表达是可能的。这一论文发表后，激发了国际学术界对这个问题的重视，从而发表了一系
列论文。
    提出有限变形论的π方法

　　希尔主轴法的提出是有限变形论的重大进展，它解决了许多内禀方法尚解决不了的问
题。特别是用希尔应变类进行运算时，主轴法更是不可取代的。郭仲衡１９８３年曾撰文
在《力学进展》上向我国读者系统介绍了主轴法，然而，在场的问题上，主轴法几乎是无
用的。有限变形论的许多基本量，特别是与希尔应变类相联系的有关量的内禀表达问题尚
待解决。这里对偶法已无能为力。１９８９年，郭仲衡终于完成了普适的“主轴内蕴法”
的构思，简称π方法，来源于“ＰｒｉｎｃｉｐａｌＡｘｉｓＩｎｔｒｉｎｓｉｃＭｅｔ
ｈｏｄ”缩写“ＰＡＩ”的拼音。这种方法一揽子地解决了所有有限变形基本量的内禀表
达问题，克服了希尔主轴法不能用于场的问题的根本缺陷，在《有限变形中的π方法》一
文中作了详细的叙述。π方法在中间过程不仅用到了标架，而且是主标架（一种特殊的标
架），但最终结果却是抹去了标架的任何痕迹的内禀表达，可以说是“退两步，进三步”
，结果是前进了一大步。这就是兵法中所谓的“欲擒故纵”。至此，他的学术思想演化得
更灵活了，不固执地拘泥于过程，而着眼于最终结果，着眼于解决问题。
　　改革开放后，１９７９年２月郭仲衡获联邦德国洪堡研究奖金，三度赴德。导师Ｔｈ
·莱曼（Ｌｅｈｍａｎｎ）教授是一位学术造诣深，社会地位高，心地善良而热情的学者
。郭仲衡到德国后，莱曼教授对他说：“由于您的论文，西方许多学者都知道您。您可以
以德国为出发点，到各国进行学术活动。”在他的支持下，郭仲衡足迹遍及欧、美、日，
遇到许多从未晤面的学者，但却一见如故。在尔后的１０多年里，他先后应联邦德国鲁尔
大学，美国霍普金斯大学、马里兰大学、肯德基大学，加拿大滑铁卢大学、马尼托巴大学
，意大利乌叮尼大学、罗马第二大学等８所国外大学聘为客座教授。
　　当郭仲衡重返国际学术界后发现，不到２０年的光景这个“旧业”完全变了样。理性
力学的含义也不断在演化。当代科技的发展给力学学科提出许多新课题。他紧迫地意识到
，必须迎头赶上，弥补失去了的时间。古典的数学工具已不足以对付新局面，必须跳出原
来的框框，去应用和发展新的数学。
　　力学和数学的重新结合又成为一股热潮。１９７３年在意大利第一次召开了“纯数学
在力学应用的倾向”讨论会，两年后在第二届会议上成立了“国际力学和数学交缘学会”
，郭仲衡应邀成为这个学会的第一个中国会员。１９８２年，他从国外归来，在钱伟长的
支持下，把“理性力学和力学中数学方法专业委员会”的活动聚焦于促进力学和数学的结
合。１９８６年６月，在北京大学召开了全国“近代数学与力学会议”（简称“ＭＭＭ”
），是“ＭｏｄｅｒｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ＆Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ”的缩写。这是
一次力学和数学结合的盛会，与会者最后提出“ＭＭＭ长寿！”这反映了与会者对两学科
结合的强烈愿望和会议宗旨适应当前学科发展的需要。目前，“ＭＭＭ”已成为系列性全
国学术会议。
    ６０年代，国际上兴起了一门“新几何力学”。在一般情况下，力学系统总是受到或
多或少约束。约束系统的构形空间是微分流形。新几何力学以近代微分几何为基本工具，
在流形上进行分析，发掘出力学系统的基本数学结构。在１９８６年第一届“ＭＭＭ”会
议上，郭仲衡作了题为《Ｈａｍｉｌｔｏｎ力学的几何理论》的专题报告，宣传了这门力
学。研究约束系统的大范围运动和稳定性必须用近代微分几何。面对新的挑战，是退缩，
绕道，还是应战？郭仲衡选择了后者。１９８２年回国后，他在北大数学系马上开力学的
几何理论课程，组织讨论班，带这方面的研究生，期望培养和吸引学生对付这个新挑战。
Ｒ·Ｗ·布洛凯特（Ｂｒｏｃｋｅｔｔ）有这样两段话：“力学是描述性的，而控制是规
定性的。因此，前者是自然科学，后者属工程科学”；“作为控制和动力学的共同基础的
通用语言（Ｌｉｎｇｕａｆｒａｎｃａ）几何已取代了分析。”这两段话为郭仲衡在新形
势下的教学和科研向前发展起了导向作用。力学和控制是一件事物的两个方面，用到的数
学工具有相近之处，研究大范围运动固然要用到几何，而研究大范围控制也同样要用到它
。目前，力学和控制这对孪生兄弟的几何理论正吸引着郭仲衡的主要注意力。他和他的学
生们在这方面已做了一系列工作。他建立了大变形微极弹性的拉格朗日场论。１９９１年，他的一�
鲅瓿闪宋夜诜窍咝钥刂萍负卫砺鄯矫娴牡谝黄┦柯畚摹�
　　郭仲衡总是坚持第一线教学。他既教数学，又教力学和控制，更教两者的结合，注意
讲近代数学的力学背景和现代力学的数学基础。他注意培养学生既有严格而现代的数学训
练，又有乐于解决应用问题的兴趣。他对学生既严格要求，又喜欢和他们接触，经常讲一
些自己的经历。有个学生在考卷上写道：“从郭老师细致入微的分析推理和不辞辛苦的精
神，学到了怎样做学问和怎样做人，非常感谢郭老师。”
　　郭仲衡自幼受父亲“尊师重道”传统观念的熏陶。对师长们，无论是国内的还是国外
的，是直接的还是间接的，他都很尊敬，学习他们的渊博学问、严谨的治学态度和高尚品
德。而他以勤奋好学和钻研进取的精神也赢得了师长们的器重、爱护、关怀和扶植。郭仲
衡认为，以师长们对待自己的态度来对待、培养出“青出于蓝而胜于蓝”的下一代，就是
对师长们的最好报答
    作者：张碟丽)

简历

　　１９３３年３月２日　出生于广州市。
　　１９５１—１９５２年　清华大学航空学院学习。
　　１９５３—１９５４年　波兰华沙大学波兰语言文学系学习。
　　１９５４—１９６０年　波兰华沙工业大学工业工程系毕业并获硕士学位。
　　１９６０—１９６３年　波兰科学院技术基础问题研究所研究生并获博士学位。
　　１９６３—１９７９年　任北京大学数学力学系教员。
　　１９７９—１９９３年　任北京大学数学系教授。
　　１９７９—１９９２年　任联邦德国波鸿鲁尔大学、美国霍普金斯大学、加拿大滑铁
卢大学等８所大学客座教授。
　　１９８８年　选为波兰科学院外籍院士。
　　１９９１年　选为中国科学院学部委员（现改称院士）。
　　１９９３年９月２２日　在北京逝世。
　　　　

主要论著

　　１　ＧｕｏＺｈｏｎｇ－ｈｅｎｇ．Ｔｉｍｅｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓｏｆｔｅ
ｎｓｏｒｆｉｅｌｄｉｎｎｏｎｌｉｎｅａｒＣｏｎｔｉｎｕｕｍｍｅｃｈａｎｉｃ
ｓ．Ａｒｃｈ．Ｍｅｃｈ．Ｓｔｏｓ，１９６３，１５（１）：１３１～１６３．
　　２　郭仲衡．关于有限元法轴对称问题的一点注记．计算数学，１９７８（４）：５
１～５２．　３　郭仲衡．弹性接触问题有限元分析的“广义子结构法”．中国科学Ａ辑
，１９８０（９）：８３８～８４６．
　　４　Ｇｕｏｚｈｏｎｇｈｅｎｇ．Ａｕｎｉｆｉｅｄｔｈｅｏｒｙｏｆｔｈｉｎ
－ｗａ１ｌｅｄｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．Ｊ．Ｓｔｒｕｃｔ．Ｍｅｃｈ，１９８１，９（
２）：１７９～１９７．
　　５　郭仲衡．积极开展理性力学的研究．力学与实践，１９７８，１（２）：１～６
．
　　
　　６　郭仲衡．非线性弹性理论．北京：科学出版社，１９８０．
　　７　郭仲衡．张量（理论和应用）．北京：科学出版社，１９８８．
　　８　郭仲衡．张量运算的外代数方法．数学进展，１９９１，２０（３）：３３５～
３４３．
　　９　ＧｕｏＺｈｏｎｇ—ｈｅｎｇ．Ｒａｔｅｓｏｆｓｔｒｅｔｃｈｔｅｎｓｏ
ｒｓ．Ｊ．Ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ，１９８４，１４（３）：２６３～２６７．
　　１０　郭仲衡，Ｒ．Ｎ．Ｄｕｂｅｙ．非线性连续介质力学中的“主轴法”．力学进
展，１９８３，１３（３）：１～１７．
　　１１　ＧｕｏＺｈｏｎｇ－ｈｅｎｇ．π－ｍｅｔｈｏｄｉｎｆｉｎｉｔｅｄｅｆ
ｏｒｍａｔｉｏｎｓ．Ｐｒｏｃ．Ｉｎｔｅ．ｓｙｍ．“ＮｏｎｌｉｎｅａｒＰｒｏｂｌ
ｅｍｉｎＥｎｇ．＆Ｓｃｃ．”，Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＳｃｉｅｎｃｅＰｒｅｓｓ，１
９９２，８２～８９．
　　１２　郭仲衡．Ｈａｍｉｌｔｏｎ力学的几何理论．近代数学与力学（郭仲衡主编）
，北京：北京大学出版社，１９８７．１～２１．
　　１３　ＧｕｏＺｈｏｎｇ－ｈｅｎｇ．ＨｕｏＹｏｎｇ－ｚｈｏｎｇ．ＴｈｅＬａ
ｇｒａｎｇｅａｎｆｉｅｌｄｔｈｅｏｒｙｏｆｆｉｎｉｔｅｍｉｃｒｏｐｏｌａｒ
ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ．Ａｄｖ．ｉｎＳｃｉｅｎｃｅｏｆＣｈｉｎａ，Ｍｅｃｈａ
ｎｉｃｓ，１９９１，１：１～１２．

参考文献

　　１　Ａ．Ｈｏｇｅｒ，Ｄ．Ｅ．Ｃａｒｌｓｏｎ．Ｏｎｔｈｅｄｅｒｉｖａｔｉｖ
ｅｓｏｆｔｈｅｓｑｕａｒｅｒｏｏｔｏｆａｔｅｎｓｏｒａｎｄＧｕｏ’ｓｒ
ａｔｅｔｈｅｏｒｅｍｓ．Ｊ．ＥＬａｓｔｉｃｉｔｙ，１９８４，１４（３）：３２９
～３３６．
　　２　Ｃ．Ｔｒｕｅｓｄｅｌｌ．ＡＦｉｒｓｔｃｏｕｒｓｅｉｎｒａｔｉｏｎａ
ｌｃｏｎｔｉｎｕｕｍＭｅｃｈａｎｉｃｓｖｏｌ．１，２ｎｄｅｄ，Ｂｏｓｔｏｎ：
ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒｅｓｓ，１９９１．
　　３　Ｒ．Ｗ．Ｂｒｏｃｋｅｔｔ．Ｃｏｎｔｒｏｌｔｈｅｏｒｙａｎｄａｎａｌｙ
ｔｉｃａｌｍｅｃｈａｎｉｃｓ．ＧｅｏｍｅｔｒｉｃａｌＣｏｎｔｒｏｌＴｈｅｏｒ
ｙ（ｅｄｓ．Ｃ．Ｍａｒｔｉｎ＆Ｒ．Ｈｅｒｍａｎｎ）．Ｂｒｏｏｋｌｉｎｅ：Ｍａ
ｔｈ．Ｓｃｉ．Ｐｒｅｓｓ，１９７７．
　　４　Ｒ．Ｗ．Ｂｒｏｃｋｅｔｔ．Ｆｏｒｗａｒｄ，ＤｙｎａｍｉｃｓａｎｄＣｏ
ｎｔｒｏ１ｏｆＭｕｌｔｉｂｏｄｙＳｙｓｔｅｍｓ，ＣｏｎｔｅｍｐｏｒａｒｙＭａ
ｔｈ．Ｖｏｌ．９７．ＡＭＳ，ＲＩ，１９８９．


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在自卑和自大的夹缝中成长
导师的话不能全听尤其是在学习上

※ 来源:·哈工大紫丁香 http://bbs.hit.edu.cn·[FROM: 219.217.231.21]

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