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标  题: [综述] 谈计算力学
发信站: 哈工大紫丁香 (Fri May 20 21:42:11 2005), 站内

                        谈计算力学

　　　　　　　　　　　　　钱令希

　　　　　（大连理工大学工程力学研究所，大连 116024）

　　读《力学与实践》17卷2期所载“力学——迎接21世纪新的挑战”这一重要文章，很感振奋，因而有所启发。现在就计算力学这一问题，谈谈认识，作为讨论。　

　　力学的发展与数学物理方程的发展是并行的不可分割的过程。从力学的角度看，建立起基本方程就将问题对数学的要求表达清楚了，以下就是如何去求解。常常是基本方程建立起来了，然而其求解却非常困难，长期得不到有效的途径。弹性力学与流体力学的基本方程在上世纪早已建立，然而对于它们的求解方法至今尚需研究发展。基本方程建立起来了，找不出其数值解答，问题还是不能解决。因此求解是通向应用的必经之路，也是当前艰巨的任务。　

　　在计算机问世之前，求解只能通过解析法。数学家与力学家通力合作，对工程力学的数理方程进行求解，既发展了工程力学也丰富了数理方法。然而可以用解析法求解的问题毕竟有限，因此工程师与力学家努力简化分析计算的模型，并提出了包括各种变分原理及其它近似方法在内的多样手段。其中许多仍指引着当前的计算方法与模型。　

　　应当看到，当年能精确求解的课题主要是线性体系。数理方法主要讲的，也是线性体系的理论与求解。即使在流体力学、空气动力学等非线性较强的领域，也是在很大程度上借助线性化或局部线性化而求解的。然而完全不考虑非线性因素是不行的，数学家、力学家为了分析这些非线性因素发展出一整套以小参数法为其基础的摄动法、渐近法、逐次迭代的牛顿法等。直至今天这些方法仍是基本的分析工具。除了解析的途径，数值方法也已研究。象Rayleigh-Ritz与伽辽金的降维法、坎托洛维奇半解析法、弯矩分配法与松弛迭代法、双曲型方程的特征线法、差分法、积分方程法等等。都为解答问题起了作用。它们并为计算机出现后的大发展打下了良好的理论基础。　

　　进入50年代，计算机问世，有限元法首先在力学中出现，迅速改变了局面。它以强大的计算能力为后盾，过去以线性方程为基础的结构力学、固体力学等很快就发展出通用灵活的有限元数值计算方法，并系统化为大规模有限元程序系统，解算了数以万计未知数的线性代数方程，成为工程师手中强大的分析工具。在此基础上，也只有在此基础上，CAD、CAE等技术才得以蓬勃发展，使计算机不仅成为数值分析的工具，而且也成为设计的工具。要求力学既能分析，又能设计，这反映了人类认识世界与改造世界的强烈愿望。

　　进入设计领域，就要研究系统或结构的优化、控制、参数识别，还要发展人工智能和专家系统等等。这类工作没有计算机的支持是不可想像的。一旦进入了这些新领域，就成为非线性的课题了。这类非线性课题的特点是，如果参数是确定的，则方程的解算本来是线性的；问题的非线性性质体现在设计进程中设计变量、控制参数有所变化的情况。所以问题的求解也必然会划分成二个层次，即系统参数给定时的数值分析（线性）；以及系统参数修改时的设计分析计算（非线性）。

　　设计中的非线性问题　这一类由于系统设计变量或参数修改引起的非线性问题是工程力学发展中很重要的一个方面。应当大力加强和支持这方面的研究。应当看到问题的识别参数或设计变量往往数目比较多，因此直接列出非线性方程再予以求解是不现实的。不仅如此，困难还在于系统对于参数的依赖关系是隐式的，而不是显式的。因此，计算力学对付这方面的任务是很艰巨的。但它为工程设计服务的效益也是巨大的。目前对于这类非线性问题，数学提供的小参数法展开的近似法、牛顿法、修正牛顿法、规划论方法等多种方法，给这一类非线性力学问题的求解提供了有力手段。

　　应当看到，对付非线性问题，高效的和适应性强的线性分析能力常常是必要的。在系统的参数，或结构的设计变量作修改时，要作“灵敏度分析”以弄清楚系统或结构的反应，这是很重要的。当修改幅度比较小时，可以化为线性系统的差分问题，即所谓半解析灵敏度算法。当今世界上一些著名的有限元分析系统纷纷开发并增加结构优化的功能。半解析灵敏度算法得到流行，这正是以现有的线性分析系统为基础的。

　　结构优化分析反过来对于力学基本理论也作出了重要推动。在板优化研究深入之际，已发现传统的连续体并不是最优的，理论的优化解应当是由无限密集的肋组成的板结构。这个结论影响深远，由此启发出微结构材料设计这一新的领域。结构的拓扑优化是更高层次的非线性问题。通常的非线性方程能通过解析公式将非线性项表达清楚；然而在结构的参数优化、形状优化中其设计未知量虽是连续变化的，但方程却不能显式表达；　在拓扑优化中参数变化则是离散的，而且改变着区域的拓扑性质，所以其非线性性质更高出一个层次；至于设计方案、总体布局等则连问题都无法找到恰当的数学模型来表达，这一类非线性只能用人工智能、专家系统的手段了。　

　　以上所述是设计带来的非线性问题，对于工程应用非常重要，带有鲜明的计算机时代的特征。解决好这类问题会产生明显的经济效益与社会效益，许多课题可以在经济竞争中力争上游，直接转化为生产力。这是工程力学非线性分析中应予优先考虑的部分，不妨称之为设计中的非线性问题。　

　　分析中的非线性问题　在工程力学中还有一类非线性问题，即传统的非线性问题。在计算力学手段对线性问题取得巨大成就之际，这类非线性问题自然就更加突出了。

　　严格地说，真实问题都是非线性的。用线性方程组来表达，是人们提炼了问题的主要因素而形成的。例如弹性力学就是忽略掉大变形因素而再将物性用广义虎克定律表示而形成的。如将材料的塑性引入则就成为弹塑性非线性；如再将大变位大变形加入则成为几何非线性的问题了。

　　这类大变形固体力学是当今有限元法的一个重要发展方向。在加工制造业中成型的工艺过程的计算机模拟就会面临这类问题。它是需要下大力气改造、发展现有的程序系统予以推进的项目，在力学中是涉及材料黏塑性、流变、热传导等的大应变大变位课题，在各种必要的基本参数定量之后，回答问题就得靠计算了。这类课题的应用将对我国加工成型工业产生很大的推动作用。应当说，我国在这方面落后很多，队伍不稳定，也缺少支持。这方面的落后会直接影响到制造业多方面的水平，不容忽视。

　　计算力学的任务，就是要结合计算机功能的日新月异，针对时代对力学的要求，研究先进的算法并提供软件，以解答力学过去难以处理，甚至无法处理的问题，还要为力学开拓新的领域提供理论与方法上的条件。当初有限元算法就是个典型的例子。直至现在，沿着这个算法所开辟的方向还在不断发展。

　　在静力学分析取得巨大成果的形势下，结构动力学问题自然被推到了前台。时程积分是结构动力学的基本问题。结构在冲击荷载、突加荷载、控制力、热冲击等作用下都要作时程积分的计算。当前熟知的结构动力学时程积分算法是Newmark法、Wilson-θ法、中央差分法等，都是差分类的算法，比较容易带入误差，还不尽人意。

　　为此，最近推出了一种逐步时程积分的精细算法[1～3]。

　　这个时程精细积分的核心是对于矩阵指数函数，exp(H·Δt)的计算，其中H为给定矩阵。这个函数应用广泛，过去并没有满意的算法。精细积分法放弃了通常的差分格式，可以将逐步积分的计算精度大幅度提高，而在计算机上可以很方便地实现。对于线性定常系统解答达到了在计算机字长范围内几乎是精确的数值解。这个算法看来潜力很大，已经用于结构动力方程、控制论Riccati方程的求解。也已用于非平稳随机振动的快速分析。对有限元半解析法、断裂奇点元、波的传播计算等也将起作用，还应该进一步进入非线性领域中去。

　　动力系统的高精度计算无疑是一个引人注目的课题。本世纪发现的混沌现象揭示了非线性方程的混沌，一个初值的微小变化都可能使随后系统的运动出现完全不同的图像，因此混沌的系统就是对初值敏感的系统。混沌问题的性质要求尽量减少积分过程中的误差积累，对算法有高度要求。

　　所举时程精细积分算法只是计算力学发展中出现的一个例子。还有许多很出色的算法，象快速富里叶变换（FFT）、哈密顿系统的辛数学算法、各种形式的数值与分析结合的算法、优化的诸多算法等等，对力学的发展都起了不可忽视的作用。

　　力学要应付时代对它的挑战，就必须发展自己的理论、实验、计算三大支柱。三者互相扶持，缺一不可。今后计算机硬件的功能肯定将有更大的发展，力学必须充分利用这种时代给予的机遇，应该加强计算力学的算法研究和软件开发，以回答理论探索和实际建设中的问题。当然，计算力学也并不仅仅是按力学中现成的理论作一些计算而已。计算力学有很大的能动作用，它拓展了设计分析的领域，成为力学通向工程应用的桥梁；它极大地增强了力学的手段，发现了许多未知的现象；对力学的理论体系发生了深刻的影响。所有这些清楚地表明，计算力学已成为工程力学中最活跃的成员之一。计算力学的发展现仍处在年青阶段，在下世纪定会取得更大的成就。


1 钟万勰. 计算结构力学与最优控制. 大连理工大学出版社，1993，p269--277

2 钟万勰. 大连理工大学学报，1994，34(2)

3 钟万勰. 计算结构力学及其应用. 1994, 11(2), 12(3)
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