Mechanics 版 (精华区)

发信人: spaceflight (雨前龙井), 信区: Mechanics
标  题: [合集] 折射定律的一种力学解释
发信站: 哈工大紫丁香 (Thu Jun 23 16:52:28 2005), 站内

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  Orient (东方)                    于  (Wed Jun 15 21:01:20 2005)  说道:

文章改自《数学与猜想》[美]G.波利亚 著
折射定律的一种力学解释： 
   一根棒，一半浸入水中后，看起来好像明显得弯曲。由此我们得出结论，光线在水中与
在空气中一样，都是直线传播，但当光线从水中一旦进入空气中的时候，光线却经历了一
个方向的突然改变。这就是光的折射现象——一个显然比反射更复杂、更难以理解的现象
。继开普勒和其他人的努力失败后，最后有斯诺里乌斯（约1621年）发现了折射定律，并
由笛卡儿公诸于世。
   从水里的目标A到水上的眼睛B，传播的光线描绘出一条折线，该折线是以空气与水的分
界面上一点为拐角点的；然而，在A与B之间以直线为最短路径，因此，从一种介质传到另
一种介质里的光线不遵守海伦原理（距离最短）。这确实令人失望；想不到在两种情形下
（直射和反射）很好成立的简单法则，却在第三种情形下（折射）失效了。费马想出一个
解决矛盾的办法。他说光线从一点传播到另一点需要时间，也就是说光线传播有一定（有
限的）速度，它以这样一种想法而闻名后世；实际上，伽利略提出一个测量光速的方法。
也就是以一定速度通过空气传播的光线，又以另一速度通过水传播；也许这样一个速度差
能够用来解释光的折射现象。只要光线以常速传播，它总是选择最短路线，也就是选择最
快的路线。然而光速依赖于所通过的介质，因此水中的最短路线就不再是空气中的最快路
线。但是光线从水中进到空气时，光线总是选择最快的路线。因而在分界面处有光线速度
的变化。
   这一系列想法引出一个鲜明的最小值问题；已知两点A与B，隔开A与B的直线l，以及两
个速度u与v，求从A传播到B的最短时间；可以假设一速度u从A传播到l，以速度v从l传播到
B。
   显然，按照直线从A到l上的某点X，再按照另一直线从X到B，这样是最快的。因此问题
在于求点X。既然匀速运动的时间等于距离除以速度，于是从A到X所花的时间为(|AX|/u)+
(|XB|/v)（加| |表示绝对值）。根据适当选择上的点，可以使这个量达到最小值。也就是
在已知A,B,u,v合,l的情况下求X.
   现在可以设想一个由力学装置构成的理想实验来帮助我们解所提出的最小值问题。
   一个环X沿着穿过它的一根固定的水平杆l滑动。两条绳子XAP与XBQ系在环上，每条绳子
都经过一个滑轮（分别于A与B处），并在其另一端系以重物（分别于P与Q处）。关键的一
点是这两个重物重量不能相等（象征着界面两边不同的介质）；若是相等的话，线AXB在平
衡时将成为直线（直觉是这样）。设p是端点P处的重物重量，q是端点Q处的重物重量。在
求平衡位置前要做一些简化：杆l完全刚性,绳子完全可挠但不能伸长，不计摩擦，忽略绳
子的重量及滑轮、环的大小等。
   第一步，说明问题的等价性。当这个力学系统平衡时，两个重物总起来说必须尽可能低
地悬挂着（也就是系统的势能最小）。这意味着|AP|*p+|BQ|*q最大，因为每条绳子的长度
不可能改变，所以有|AX|*p+|XB|*q最小。如果我们取p=1/u,q=1/v,那么这两个问题，一个
光学问题（折射），一个力学问题，在数学上是一致的。
   第二步，用平衡方法得到的结论推广到折射中。作用在X点的力平衡。重物的拉力通过
无摩擦的滑轮不衰减地传递。大小分别为1/u与1/v的两个力作用在环上，并且在各自绳子
的方向上互相拉紧；因为穿过环的杆l是完全刚性的，所以绳子在垂直方向上不能使环移动
，而且两个拉力的水平分量必定方向相反，大小相等。为了表示这种关系，我们在通过X点
的垂线与两条绳子之间引出两个角a与b，水平分力相等就可以用1/u)*sina=(1/v)*sinb 或
sina/sinb=u/v 来表示。这便是最小值的条件。


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  spaceflight (雨前龙井)           于  (Thu Jun 23 16:51:27 2005)  说道:

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