Mechanics 版 (精华区)
发信人: jackleo (黑马), 信区: Mechanics
标 题: [合集] 问一个高中题啊，我越来越笨了（转载）
发信站: 哈工大紫丁香 (Mon Aug 22 09:07:43 2005), 站内
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jackleo (黑马) 于 (Wed Aug 17 08:15:24 2005) 说道:
发信人: dreamsguest (不复潜阳卧梦人), 信区: Mechanics
标 题: 问一个高中物理题啊，我现在越来越笨了
发信站: 水木社区 (Sat Aug 13 10:28:14 2005), 站内
均匀弹簧，自重2N，放在光滑水平面长20cm，竖直悬挂由于自重长22cm，在其下挂
一2N砝码，问弹簧长几何？
我高三学生问我的，我竟然有点犯晕，大虾们帮帮忙
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liulangyun (流浪云) 于 (Wed Aug 17 10:16:09 2005) 说道:
哈哈,不会吧这么简单的问题!!你竟然.............
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jackleo (黑马) 于 (Wed Aug 17 13:44:09 2005) 说道:
你看看不积分算不算的出来？
因为是高中的题目。
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oceanBlue (oceanBlue) 于 (Wed Aug 17 15:59:40 2005) 说道:
开玩笑吧！
有公式的（高中的），自己找公式算一下！
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Wed Aug 17 16:02:38 2005) 说道:
晕，看清了再说，这可是转载，这么衰的事我们阿炳才不做呢
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Wed Aug 17 16:03:20 2005) 说道:
不记得，没印象
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Wed Aug 17 16:45:56 2005) 说道:
探讨一下吧，
用能量守恒的观点
重心点应该是弹簧的中点， 加之两块后，质量块下降高度=弹簧二次伸长u 质量块势能减
少2*u 弹簧重力势能减少2*（1/2）u 弹性势能增加量等于重力势能减少量 ku^2/2
刚度k的确定，参照弹簧自重是弹簧伸长的条件，列一个一样的等式解出k=1
进而解出u=6，则全长22+6=28
不知道小弟解的对不，请各位打下提点意见，想法
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jackleo (黑马) 于 (Wed Aug 17 16:58:23 2005) 说道:
你这个k有点问题，
假设不考虑自重，直接加2N重物于下端，如k=1，伸长为2/1=2
这不是和原题考虑自重，自然下垂的伸长一样了吗？
k应该小于1才对。
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Wed Aug 17 17:06:18 2005) 说道:
我这样算的，
2*(x/2)=(1/2)kx^2
弹簧自重2 重心下降(x/2) 弹簧弹性势能增量1/2)kx^2
代入x=2，得到的结果是k=1
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Wed Aug 17 17:09:04 2005) 说道:
其实我在计算之前，光想了一下，认为刚度应该是1/2，算出来1的结果我也有点困惑，不
知道问题出在哪，
这下是名副其实的越来越奔了
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jackleo (黑马) 于 (Wed Aug 17 17:11:40 2005) 说道:
每一点的伸长x是不同的，直接用(1/2)kx.^2不太合适吧。
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jackleo (黑马) 于 (Wed Aug 17 17:15:47 2005) 说道:
你试试用F.^2/(2k)算算弹性势能，F是线性的，一平方就是二次的，这样就得积分了。
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QtianjiaoQ (祝师姐早日康复) 于 (Wed Aug 17 17:39:52 2005) 说道:
我想是26cm
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paulsky (skyer) 于 (Wed Aug 17 18:00:49 2005) 说道:
答案应该是26吧
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jackleo (黑马) 于 (Wed Aug 17 18:11:14 2005) 说道:
我算的是28
我是这么算的：
以固定端为原点，向下为正建立x轴
对(2/20)dx/(20*k/x)积分等于总变形2,得到k=0.5
然后考虑重物，设进一步的变形为h,这时每一点都下降同样的距离，那么重物及自
重的重力势能下降了2*h+2*(h/2)=3h,弹性势能增加k*h.^2
所以3h=0.5h.^2,h=6
答案是22+6=28
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Wed Aug 17 18:23:33 2005) 说道:
hehe,跟我的第一感觉是一样的
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jackleo (黑马) 于 (Wed Aug 17 18:26:18 2005) 说道:
要想让高中生听懂，必须用能量法了，还少不了一些等效。
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jackleo (黑马) 于 (Wed Aug 17 18:44:43 2005) 说道:
我这个只是个人看法，谁还有什么解法没有了。
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jianwuxuefei (jianwu) 于 (Wed Aug 17 19:27:46 2005) 说道:
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jackleo (黑马) 于 (Wed Aug 17 19:36:24 2005) 说道:
你怎么算的，说一下思路
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rhc (土藤) 于 (Wed Aug 17 20:45:20 2005) 说道:
用积分,高中学生怎么理解得了.
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wangzheng (浪客追风) 于 (Wed Aug 17 20:46:58 2005) 说道:
能量守恒~
1/2kx^2=2*(x/2)+2x
k=1
x=6~
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jackleo (黑马) 于 (Wed Aug 17 20:47:07 2005) 说道:
对呀。我也在纳闷了，高中生怎么解呢？
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jackleo (黑马) 于 (Wed Aug 17 20:47:48 2005) 说道:
呵呵，k=1不太合理呢
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wangzheng (浪客追风) 于 (Wed Aug 17 20:50:52 2005) 说道:
1/2k(2)^2=mg*1
高中要用用质量重心算
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jackleo (黑马) 于 (Wed Aug 17 20:54:33 2005) 说道:
我的意思是说，这个等式不成立。
把1/2拿掉就对了。
高中生应该知道弹簧的弹性势能吧。用你这个方法就挺好，只是答案值得商榷。
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wangzheng (浪客追风) 于 (Wed Aug 17 20:57:12 2005) 说道:
这个在高中解法没问题
研究的弹簧都是每段等量伸长的
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jackleo (黑马) 于 (Wed Aug 17 21:02:27 2005) 说道:
这个问题不是等量伸长的。
你看一下力就知道了，F(x)=(2/20)(20-x)+2
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QtianjiaoQ (祝师姐早日康复) 于 (Wed Aug 17 21:28:01 2005) 说道:
弹性势能的增加那地方好像有问题
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wangzheng (浪客追风) 于 (Wed Aug 17 21:37:39 2005) 说道:
什么意思？不懂
上面你说不考虑弹簧自重的话...什么的
如果一开始不考虑自重+砝码的话，那砝码重心在哪都无所谓了，我可以考虑在弹簧中间
那就跟考虑弹簧自重是一个效果
所以你的假设有点问题
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Wed Aug 17 22:14:23 2005) 说道:
你这样说就不厚道了，
明知道砝码的位置会对答案产生决定性影响
还说这种风凉话
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Thu Aug 18 06:20:42 2005) 说道:
高中学生做题，自重是当条件用的，算结果的时候是不会去想弹簧重心下降的问题的
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jackleo (黑马) 于 (Thu Aug 18 07:15:19 2005) 说道:
不可以。因为加在中间，弹簧的刚度增加一倍，变形刚好是加在下端的一半。
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wahahaliu (卧雪孤狼) 于 (Thu Aug 18 08:11:30 2005) 说道:
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feibing (飞冰) 于 (Thu Aug 18 08:46:47 2005) 说道:
答案26
假设那个砝码还是一段相同的弹簧
然后把两段弹簧接起来
那么总长就变成了40
这样的话
总的弹性系数就变为原来的二分之一
这样就可以算出悬挂时的伸长为8
总长就是40+8=48
再减去下面一段弹簧的伸长后的长度22
就是48-22=26
很简单
没有积分
没有计算
仅仅是逻辑关系
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wangzheng (浪客追风) 于 (Thu Aug 18 09:16:28 2005) 说道:
我没说把砝码挂到中间啊,当然不能挂在中间，那弹簧不就只有一半收力了.
我的解法没问题啊
弹簧重心在中间没问题吧， 弹簧下降2厘米后重心下降一厘米
弹簧弹性势能增加 1/2kx^2 等于 重力势能 下降的 mgh
这有什么错...
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tingyu (-----) 于 (Thu Aug 18 09:17:02 2005) 说道:
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gaminwzs (流浪者) 于 (Thu Aug 18 09:19:42 2005) 说道:
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wangzheng (浪客追风) 于 (Thu Aug 18 09:20:48 2005) 说道:
为什么是8？
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pndvv (aaa) 于 (Thu Aug 18 10:13:33 2005) 说道:
弹簧靠自重伸长以后重心不在中间了。
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shangling (弥鲁) 于 (Thu Aug 18 10:14:34 2005) 说道:
竖直悬挂是弹簧的下端受力是0，上端受力是2，平均受力1（弹簧的各部分是同质的），弹
簧伸长2cm，因而再加2N，伸长4cm（弹性系数不变），总长26cm。
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dadao (崇尚SNOOPY式的生活) 于 (Thu Aug 18 10:15:15 2005) 说道:
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abo (咸蛋) 于 (Thu Aug 18 10:20:06 2005) 说道:
对，这就是问题的重点。
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highly (舟中望晓) 于 (Thu Aug 18 10:21:41 2005) 说道:
26
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ThinkPadIBM (ThinkPadIBM) 于 (Thu Aug 18 10:30:00 2005) 说道:
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ljshhh (石) 于 (Thu Aug 18 10:46:28 2005) 说道:
tong yi
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erwin (落花流水) 于 (Thu Aug 18 10:52:17 2005) 说道:
用能量守恒定理很容易解出来是26cm
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afey (afey) 于 (Thu Aug 18 11:41:09 2005) 说道:
应该是26
22+2*2
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Thu Aug 18 12:43:11 2005) 说道:
我弟牛振华说这样：
把原弹簧等效成两个无重弹簧串联，则弹簧自重伸长的事件等效成量弹簧的中间加挂了2的
砝码，此时上弹簧长度是12，下弹簧长度10。
在最下面加挂2的砝码，造成两弹簧各自2的伸长，最后结果是26
跟楼上一位大虾的砝码等效成弹簧异曲同工
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abo (咸蛋) 于 (Thu Aug 18 12:53:16 2005) 说道:
就没有人用积分做一下的吗。
高中的方法我会，可是积分不会了，想看看有没有人能用积分做一下。
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Thu Aug 18 13:09:06 2005) 说道:
这个恐怕有点难度，jackleo 已经做了一个积分的答案了
其他的大哥们好像怕丢人，不知道藏到哪去了
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Timoshenko (歇斯底里八卦男) 于 (Thu Aug 18 13:10:05 2005) 说道:
兄弟，这不是你的问题了，这样的题放在高中，怕是奥林匹克题目，因为高中只涉及刚体
运动，一般不涉及变形体的问题，而这道题几乎是连续介质的问题了。
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breezeboylx (零下一度) 于 (Thu Aug 18 13:10:22 2005) 说道:
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gnavy (navy) 于 (Thu Aug 18 13:13:21 2005) 说道:
这个假设太牛了，觉得很合理，我用积分算的结果也是26，看来还是你的这种方法能让一
个高中生接受
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abo (咸蛋) 于 (Thu Aug 18 13:22:50 2005) 说道:
我不是物理系的，对这个物理模型不是很了解，不知道怎么列积分式子。
考研的兄弟 们出来讲讲吧。
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Thu Aug 18 13:30:27 2005) 说道:
前面的帖子基本都是力学的学生发的，自己看
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abo (咸蛋) 于 (Thu Aug 18 13:46:09 2005) 说道:
呵呵，我自己用积分解出来了，
唉，一段时间不做积分题，就忘了。
我不会这个什么物理模型，有些参数我自己也说不出是什么东西 ，但能做出结果来，
跟大家分享一下吧。
dy是dx段的伸长量。
Y*(dy/dx)=0.1*(20-x)
dy=(0.1/Y)*(20-x)*dx
当y=2时，右边从0到20积分出来也为2,所以，Y=10 (Y的物理意义我也不知道)
当加上2N的重物以后，微分方程变为
Y*(dy/dx)=0.1*(20-x)+2
把Y=10代入很容易解出y=6
所以26
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wangzhiwz (晓天下) 于 (Thu Aug 18 13:47:40 2005) 说道:
自重的作用点在20cm的中间，即10cm处。
2N/10cm ：：：2.0cm
那么2N作用在20cm的端点处 就会伸长4.0cm
所以 共计26cm
高中知识荒废了六年
不知道对不对
有答案吗？
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abo (咸蛋) 于 (Thu Aug 18 13:50:41 2005) 说道:
对，26.
感觉学了积分以后，很多题不用积分验证一下就觉得自己可能做的不对。
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home (聪慧) 于 (Thu Aug 18 14:26:02 2005) 说道:
还什么公式呀，一拍脑袋，不就是26嘛，以前不是做过很多这种题了嘛！
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feibing (飞冰) 于 (Thu Aug 18 14:28:51 2005) 说道:
积分也比较简单
关键是高中用积分
有点不伦不类
还有一点是在这里写积分比较困难
呵呵呵呵
这一类的问题
关键是要找到一种中学生可以接受的模型
发散一下思维就可以了
呵呵呵
一家之言！
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pt (......) 于 (Thu Aug 18 15:01:23 2005) 说道:
设弹簧质量m，长度l，水平放置时在弹簧上有均匀刻度x，仅有自重垂直悬挂之后
对于刻度是x处一个微元的伸长量是dy=mg*((l-x)/l)*(1/k)=mg(l-x)/lk
其中k是这段微元的弹性系数。因此弹簧在自重下的伸长量（伸长量不是长度阿）
y等于[mg(l-x)/lk]*dx的定积分，积分下限是0，上限是l，所以y=0.5*a*l^2
其中a=mg/lk，
注：虽然这个量看上去和l有关，其实不是，因为m也是和l成线性的，或者说用线
密度来重写上述方程，a就和l无关
这里就证明了feibing用等效弹簧的方法是正确的，接上同样一根弹簧之后自悬挂
长为48，………………就可以算出来了
如果到这一步的时候没想到等效弹簧的方法，则悬挂和弹簧同样质量的重物之后
dy=mg(l-x)/lk+mg/k，简单计算可得此时y是[mg(2l-x)/lk]dx从0到l得积分，等
于1.5al^2，这里的a和前面的一样
也就是说挂上同样质量的砝码之后伸长量是不挂重物仅靠自重的三倍，也是26
个人感觉把弹簧当成是没有质量的，再在中间加2N砝码的那种方法虽然答案一样
，可能也真的不是巧合，并且这种想法很容易被高中生“接受”（其实高中生只
能是直观猜测），但是海想不到这种方法如何严格证明
feibing的做法，虽然没有严格证明挂上等效弹簧两端总伸长为8，但是比较严格
，如果不许用微积分的话这种方法我觉得就是最严格，最漂亮的做法了
如果这是一个竞赛题，那是可以用微积分做的，上面用到的那些微积分有些搞竞
赛的中学生是学过的
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arlee (噢；) 于 (Thu Aug 18 15:30:46 2005) 说道:
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PalmXP (PalmBaby) 于 (Thu Aug 18 16:29:05 2005) 说道:
jackleo (黑马)兄,
然后考虑重物，设进一步的变形为h,这时每一点都下降同样的距离，那么重物及自
重的重力势能下降了2*h+2*(h/2)=3h,弹性势能增加k*h.^2
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~这算错了
所以3h=0.5h.^2,h=6
答案是22+6=28
一次形变是2cm，二次形变是h。那么总形变是2+h，总弹性势能是(1/2)*k*(h+2)^2,则弹性
势能增加应为(1/2)*k*(h+2)^2-(1/2)*k*(2)^2
既然黑马兄假设“每一点都下降同样的距离”，那么弹簧为均匀形变，形变x，重心则下降
x/2，那么完全可以按照gaminwzs (流浪者)兄的解法，为24cm
关键是均匀弹簧就均匀形变吗？即pndvv (aaa)兄想的形变之后重心应该不在中间了，那么
就得用那2位天才兄弟想的两种等效法，或者就是积分，结果应该是26cm
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lqkaa (绿洲) 于 (Thu Aug 18 16:53:56 2005) 说道:
出题者要求考虑弹簧自重，考虑弹簧自重的话在垂直方向上的物体就不能做简谐振动，k就
无从谈起（不是常量），这种情况的位移应该用应变的积分得到（体材料是利用应力应变
关系和弹模求解，不知道弹簧是否能等价），高中又没学这些。
如果非要说k为定值，也需要说明假设条件是什么（k是自由状态的值，还是考虑自重且未
加外载状态下的值，否则肯定混淆。感觉出题者在蒙人。
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gnavy (navy) 于 (Thu Aug 18 17:05:59 2005) 说道:
我的做法是这样的:首先算劲度k,
2N/20cm=0.1是弹簧单位长度重量
对0.1*k*x*dx积分(上限20,下限0)结果应该是2cm
所以能算出k=0.1
挂上2N重物后再求个积分
(2+0.1x)*k*dx(上限20,下限0) 结果为6
所以总长为26
但我觉得如果是一个考虑自重的弹簧,这根弹簧的劲度k会是各处均匀的么?
有没有搞力学模型研究的指教一下.
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sensibleman (somebody&&RKR) 于 (Thu Aug 18 17:10:09 2005) 说道:
我感觉也是23
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Thu Aug 18 18:28:45 2005) 说道:
我晕，这也行啊？明显没有震动的事
为什么不谈震动就不能谈k呢？
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jianwuxuefei (jianwu) 于 (Thu Aug 18 18:37:36 2005) 说道:
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Thu Aug 18 18:40:54 2005) 说道:
这是在弹簧中间挂砝码的结果
你的算法，有毛病，
同样的弹簧，加长一倍，刚度就降到一半
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jackleo (黑马) 于 (Thu Aug 18 19:22:56 2005) 说道:
我考虑势能转化时，重力势能全部转化为了弹性势能。那样的话，mgh!=(1/2)k*h.^2
举个例子，一个重物质量m悬于刚度为k的弹簧下，最终的伸长为h=mg/k
重力势能减少了mgh=(h*k)*h=k*h.^2
而不是像弹簧振子，它处于平衡位置时不但有弹性势能还有动能。
所以弹性势能前面不应该加1/2
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jackleo (黑马) 于 (Thu Aug 18 19:29:32 2005) 说道:
我原来用的(1/2)k*h.^2,结果也是26，可感觉有问题。
原因见上贴。
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pt (......) 于 (Thu Aug 18 19:58:49 2005) 说道:
为何重力势能全转化成弹性势能？不会有震荡吗？
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yuyanlei (一只鱼) 于 (Thu Aug 18 21:56:09 2005) 说道:
同意！
因为弹簧刚度系数是一定的，胡克定律就可以吗？
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Eleo (深海动物) 于 (Thu Aug 18 22:20:11 2005) 说道:
积分！！我爱你！！！
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Fri Aug 19 06:37:03 2005) 说道:
我弟牛振华又发表了一下他的观点：
能量的方法，挺好。但关键在于弹簧刚度，弹簧能量的分析
大家要使用mgh=(1/2)kx^2的话，有问题----两边同时约去x，得mg=(1/2)kx,矛盾
实际情况应该是这样的，做功的等式mgh=kx*x,但这个kx*x里面不但有弹簧的弹性势能，还
有系统简谐振动的动能，考虑动能衰减完全的静态情况，应该把动能项去掉。
那么能量等式就变成(1/2)mgh=(1/2)kx^2,即只有一半的重力势能转化成弹簧的弹性势能
照此计算，最终伸长应该是6
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Fri Aug 19 06:41:42 2005) 说道:
在弹簧不变的情况下，刚度才不变。两次计算的模型弹簧长度不同，刚度就不同
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Fri Aug 19 06:43:36 2005) 说道:
本版不欢迎灌水
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Fri Aug 19 06:57:17 2005) 说道:
按照他的这个观点，我又想了一下：
既然是实际模型会产生震动，我们就可以用实际模型的震动来算
能量全转化成势能是一个极限位置,(考虑弹簧自重也参与震动)是34
能量全转化成动能是零一个极限位置，是22
这样，平衡位置就是中间的28
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jackleo (黑马) 于 (Fri Aug 19 08:08:20 2005) 说道:
你兄弟有潜力啊！
我昨天晚上想了想，就是这回事，重力势能的一半转化为了弹性能。
我原来想的是mgh=kx.^2
这回就是0.5mgh=0.5kx.^2
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PalmXP (PalmBaby) 于 (Fri Aug 19 15:10:53 2005) 说道:
厉害
你弟确实‘牛’，可以‘振’清‘华’呀！
解释一下为什么“只有一半的重力势能转化成弹簧的弹性势能”，而不是1/3，1/4？？
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jianwuxuefei (jianwu) 于 (Fri Aug 19 19:23:34 2005) 说道:
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Fri Aug 19 19:24:40 2005) 说道:
人家是大二的，又没学过我们的弹性力学，想法当然就跟高中接近，不过人家确实有两把
刷子
又，你的收件箱满了，寄信寄不过去
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Fri Aug 19 19:26:07 2005) 说道:
但是我现在很迷茫，不知道到底是26 还是28
感觉都很有道理的
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Clement (我是老牛我怕晕) 于 (Fri Aug 19 19:31:02 2005) 说道:
呵呵，做功的等式mgh=kx*x,说白了就是力乘距离
但弹性势能的表达式是kxx/2,就是说恰好一半，另一半是动能，系统作震动，随时间的流
逝，动能逐渐耗散掉
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Orient (东方) 于 (Sat Aug 20 10:48:24 2005) 说道:
各位大侠的思路真是很宽阔，令我望尘莫及。有一个静力学角度的解法，不过不太适合
高中同学用（不过积分应该能找到其它角度的替代方法，如大家前面所说）。我的想法是
：假设弹簧从初始状态（水平）到最终状态（竖直悬挂静止）之间是缓慢变化的（不考虑
动能），当到达最终状态时，弹簧的各个部分应该都是平衡的，那么将弹簧分成无数个微
段（每段长dx），我们可以计算各个微段的变形再沿弹簧积分得到总变形。
抛开惯用的弹簧刚度系数K=力/位移的宏观定义，采用弹性模量E（对于均质的弹簧各处
的E应该是相同的且不随变形变化）和等效面积（每一微段有相同的等效面积）的概念，即
各微段位移δ=εdx=(F/EA)﹡dx，不妨设K1=EA。问题的关键就是求出这个K1。由已知条件
，不加重物时，坐标为x（设最上端为起点）的微段所受拉力为((20-x)/20)*2，总伸长为
2cm，沿原长积分可得K1=10。加2N重物时，坐标为x（设最上端为起点）的微段所受拉力为
((20-x)/20)*2+2，代入K1的值，再沿原长积分可得到总伸长为6cm，即弹簧总长为26cm。
不过感觉还是有问题，毕竟还有一个答案28。
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