Mechanics 版 (精华区)

发信人: spaceflight (雨前龙井), 信区: Mechanics
标  题: [身边的力学]猫在下落时的翻身及其他——贾书惠
发信站: 哈工大紫丁香 (Fri Jun 10 15:10:44 2005), 站内

猫在下落时的翻身及其他

贾书惠
 

    一个顽皮的孩子用双手托起一只猫，使它四脚朝天，然后突然撒手。孩子本想把猫摔一下取乐，可是出乎他的意料，猫竟能在空中翻身，四脚朝地安全落下。你是否也有过这样的实践？可是这个大家都熟悉的日常现象，在力学原理上却有些说不清。因为根据力学中的动量矩守恒原理，猫在下落过程中，猫体对通过重心的纵轴（头尾连线）的动量矩应该始终为零。这样，猫的一部分（例如前半身）的转动必然伴随着另一部分（后半身）的反向转动；因此，猫不可能整个身子向一个方向转动而翻身。然而事实上，猫确实向一个方向翻过身来；而且有人测量过，它翻转180°所需要的时间仅为1/8秒！猫的翻身竟好像违反了动量矩守恒原理，这就是力学发展中困感了许多科学家几十年的“猫案”。
 

    违反了力学原理吗？

    在中学物理中有这样一个例题：两个人面对面地站在冰上，且假设冰面非常光滑；两个相互一推，则两人必向相反方向滑行，且质量大的人速度小，质量小的人速度大。这就是当系统所受外力为零时的动量守恒原理的一例。同样，如果有两个圆盘装在同一个转轴上，可以分别绕转轴自由转动；两圆盘之间装有电机，电机转子装在一个圆盘上，定子装在另一个圆盘上。开始时圆盘都静止。一通电，电机的转子与定子之间产生相互作用力矩，结果是两个圆盘向相反的方向转动，且质量大半径大的圆盘转动角速度小，质量小半径小的圆盘转动角速度大。这就是当系统所受外力矩为零时的动量矩守恒原理的一个实例。需要指出的是，当物体作直线运动时，可以用质量作为物体运动惯性的度量；而当物体绕某轴转动时，转动惯性的大小不仅与质量有关，而且与半径有关。物体的质量分布距转轴的距离越远，转动惯性就越大，亦即，越不容易改变转动运动的状态。因此，我们用转动惯量J表示物体绕某轴的转动惯性，它等于物体中各质点质量mi与距轴的距离ri平方乘积之和，即

    所以，当系统动量矩守恒并为零时，在内力作用下，两物体反向转动，且转动惯量大的物体角速度小，转动惯量小的物体角速度大。

    猫在下落过程中，重力对通过重心的纵轴的力矩为零，因而猫对纵轴的动量矩守恒。又因下落开始时猫处于静止状态，动量矩的初值为零，因而整个下落过程中猫对纵轴的动量矩始终为零。当猫的一部分（例如前半身）向某一方向转动时，根据前述的系统动量矩守恒原理实例，另一部分（后半身）必然要反转，因而无法解释猫作为整体向一个方向转动的事实，这就是科学家们的长期困惑所在。


    形形色色的解释

    最早试图解释猫翻身现象的大概是上世纪末法国的古龙。他认为猫先收缩前肢、伸开后肢、并转动前半身（图1），由于前半身对纵轴的转动惯量小于后半身，根据动量矩守恒原理，在同样时间内，前半身转过的角度比后半身向相反方向转过的角度要大。然后，猫伸开前肢，收缩后肢并转动后半身，根据同样的道理，后半身也转过较大的角度。结果是：虽然动量矩始终为零，猫作为一个整体仍然可以向一个方向转动。古龙的解释可以称为四肢开合论。它虽然符合力学原理，但却不符合实际，因为在猫的自由下落过程中，我们根本观察不到这种明显的四肢开合运动。本世纪40～50年代，苏联的洛强斯基与鲁里叶在他们撰写的《理论力学》教科书中曾提出另外一种解释，即不用四肢的伸缩动作，只要将尾巴向一个方向急速旋转，猫的身体也能沿相反的方向翻转过来（图2）。可是，有人做过计算，由于猫的躯干与尾巴的质量相差甚大，要想使躯干在1/8秒内转过180°，尾巴必须在同一时间内向相反方向转动几十圈，才能维持系统的动量矩为零。这个角速度简直可以和飞机的螺旋桨比美！因此，转尾巴论也是站不注脚的。遗憾的是，直到1983年上述《理论力学》的第8版，作还在坚持这种看法。60年代以后，流传着另一种解释：由于兔子也能像猫一样在空中翻身，而兔子的尾巴很短，所以兔子的翻身过程也许能使问题更加清楚（图3）。下落一开始，兔子首先弯腰，并伸直后腿，这样兔子的后半身就几乎和前半身的轴线垂直。转体可设想分两步。首先前半身绕（1）轴转180°，根据动量矩守恒原理，后半身要向相反方向转动，但由于两部分对（1）轴的转动惯量相差很大，所以后半身几乎不动。第二步，后半身绕自己的轴线，转动180°，方向与第一步中前半身的转向相同，根据同样的讨论，这时前半身几乎不动，最后兔子再从向后弯腰恢复到向前弯腰，四肢朝下落到地上。这种理论可以称为绕双轴转动论。它抓住了弯腰这个关键，但要求兔子腰部有扭转，而且由于生理限制，兔子后弯的程度远比前弯为小；在这些方面，理论与实际都不相符。

 
    高速摄影来帮忙

    美国的凯恩仔细研究了猫下落时翻身的高速连续摄影，发现猫在下落过程中，依次向各个方向弯腰：先向前弯，然后向一侧弯，再向后弯，再向另一侧弯，最后前弯恢复到初始状态。这个过程很像人们在做体操中腰部活动一节时上半身的圆锥运动。猫的前半身做这样一轮弯腰运动，整个身子就向相反方向转过180°。原来猫之所以能在下落时翻身，是依靠了前半身相对后半身的这种弯着腰的圆锥运动。为了验证这种弯腰论的正确性，凯恩建立了一个模拟猫翻身运动的物理模型。它由两个圆柱组成，分别代表猫的前半身和后半身。然后，利用力学原理建立了描述系统规律的方程式，再上计算机计算，并把计算结果用三维图形输出，就得到了图4。在图中，＋号代表猫的四肢，两圆柱间相接触的黑点代表弯腰方向。可以看出，当前半身相对后半身做右旋的弯腰圆锥运动360°时，整个身子左旋了180°，四脚朝下，完全符合实际。“弯腰论”能比较完满的解释猫下落时翻身的力学现象，现在正逐步被人们接受。


    打破思维定势

    在“弯腰论”中没有直接涉及动量矩守恒原理，但完全可以用动量矩守恒原理解释清楚。以前没有应用成功，是因为我们的思想中存在着错误的思维定势，即总是把猫这个系统截然分成两部分：前半身和后半身。现在换一种思考方法，即将系统的运动分成全系统的整体运动（理论力学中称之为牵连运动）及局部相对整体运动，或者说，系统的运动等于全系统的整体运动与局部的相对运动的叠加。例如，猫下落时的姿态运动是整体随后半身一起的翻身运动与前半身相对后半身“整体”的反向弯腰圆锥运动的叠加。为保持系统的动量矩为零，这两种运动的转动方向应该相反。所以，当猫的前半身相对后半身“整体”向某一方向作弯腰圆锥运动时，猫的整体必向相反方向转动，即翻身；而且由于前半身的质量及转动惯量近似等于整体质量及转动惯量的一半，当相对的圆锥运动转过360°时，整体正好反转180°！同样是应用动量矩守恒原理，换了一个角度思考，问题就迎刃而解了。顺便提一下，这种不依靠外力，而是通过系统内各部分之间的相对运动来改变系统整体运动的方法，在工程中有许多应用。读者不妨自己搜集或创造几个例子。
 

    给宇航员出主意

    宇航员在航天器中处于失重状态，和猫在下落时的情况是一样的。宇航员必须在漂浮状态下（舱内或者是舱外）完成各项任务，这时宇航员的动作将和地面上的动作有很大的不同。在地面上，如果你想取得身后的工具，不管你是坐着或站着，转身伸手去拿就是了。然而在失重的漂浮状态下，这件事却不那么好办，当你的上半身向右转动时，你的下半身竟向相反的方向转动，你根本无法实现向后转体的动作！因为在失重状态下外力对质心的力矩为零，人体对质心的动量矩守恒。如果初始动量矩为零，那么一部分身体的转动必然伴随着另一部分身体的反向转动。但是如果研究了猫的翻身，就能设计出好几个动作方案来实现失重漂浮状态下的静止转体。

    首先，可以采用“弯腰论”方案。宇航员弯腰向前，再像体操中腰部运动那样让上半身作圆锥运动，全身就会向相反方向转体，蹦床运动员表演的节目中就有这种动作。这种方案要求宇航员腰部有很好的柔性与灵活性，而且也不是日常生活中的自然动作，对非运动员来说总显得苯拙，不一定是一个好方案。

    其次，亦可用手臂动作来实现转体。在图5中人站在转台上，转轴铅直且轴承处摩擦可忽略不计，这样人体绕铅直轴的运动就可以模拟宇航员在漂浮状态下的转体运动。双臂侧向平伸，再向右转动（图5（a））。由于动量矩守恒，下半身将向左转动，人体处于扭转状态（图5（b））。不过由于对铅直轴的转动惯量不同，下半身的转角比上半身的要大得多。最后收臂并恢复到非扭转状态，这时下半身要向右转，但因收臂后身体上半部与下半部转动惯量相差不多，所以下半身向右转的角度不大，最后的结果是人体向左转了一个角度（图5（c））。显然，这种动作实质上是猫翻身的“四肢开合论”的再现，实现起来，比“弯腰”要容易得多。问题是，做这样一轮双臂动作，人体究竟能转过多大角度？有人作过计算，为实现转体180°，双臂可能要动作十次，这主要是因为双臂的质量较小。

    第三种方法是一种更简单的方法。仍以站在无摩擦转台上的人为例，当受试验者举起手臂在头上作圆周运动时，由于整个人体对铅垂轴的动量矩为零，躯干必向相反方向慢慢转动（图6）。当手臂的圆周运动停止时，躯干的转动也就停止。用这种方法也可使躯干绕纵轴转过任意角度。显然，这种方法是猫的“转尾巴”的再现，只不过人没有尾巴，用手臂代替而已。考虑到手臂如何动作方便，也为了提高转体的效率，可以将上述动作稍作修改，成为图7的动作。两手臂在身体的两侧作圆锥运动，转动的方向相同，这时躯干必绕纵轴向相反方向转动，转动的快慢取决于手臂动作的快慢及幅度。为了进一步提高转体的效率，还可用质量较大的双腿来代替手臂，于是获得图8所示的动作方案。双腿前后踢开，然后右腿向右，左腿向左，同时作半个圆锥运动，再将双腿收回成直立状态；在这期间，躯干必向相反的方向转动，躯干的转角与双腿圆锥运动的幅度有关。根据计算，双腿这样运动一个周期，躯干的转体可达70°！显然，这是一种最为有效的转体动作方案。

    宇航员在失重状态下姿态运动的要求是多种多样的，此外，运动员在腾空中（如跳水、单杠、双杠、跳马的下法等）令人眼花缭乱的动作更成为竞技的重要内容。对猫下落时翻身的研究可以给我们许多启示，让我们运用力学原理去揭示运动生物力学中的各种规律，并用来为人民造福！

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