Mechanics 版 (精华区)

发信人: spaceflight (雨前龙井), 信区: Mechanics
标  题: [身边的力学]神秘的数字84.4——贾书惠
发信站: 哈工大紫丁香 (Fri Jun 10 15:26:02 2005), 站内

神秘的数字84.4

贾书惠
 

    在不同的科技实践中，我们会经常遇到一个相同的数字，你说奇怪不奇怪？这个数字就是84．4。


    人造地球卫星的最小周期

    在地球表面沿水平方向以初速度υ0射出一抛射体，则当υ0不断增加时，抛射体的轨迹如图1所示（当然，进入地球内部的那一段不会实现）。当轨迹成为圆周轨道时，抛射体就成为环绕地球飞行的人造地球卫星。这种思想最初是牛顿提出来的，那时，人们就曾把人造卫星称为“牛顿炮弹”。人造卫星在地球表面环绕地球的运行速度称为第一宇宙速度，在中学物理课程中我们算过，它等于v1=√Rg；这里R是地球的平均半径，g是地球表面的重力加速度。如果取R=6370km，g=9.80m／s2，则得υ1＝7.9km／s，它是发射卫星的最小速度。这时卫星的运行周期是
                              T=2πR/v1=84.4min               (1)
式中，R=6370km，g=9.80m／s2，这就是人造地球卫星运行的最小周期。当然这只是理论结果。实际上，由于地面附近大气稠密，卫星是运行在200千米高度以外的空间，卫星运行周期都比84．4分大。例如我国早期发射的“东方红1号”及“实践1号”卫星，均采用近圆轨道，其周期分别是114分及106分。后来发射的返回式卫星，轨道高度较低，其周期大约是90分。而近年来发射的气象卫星，采用极地圆轨道，高度约900千米，周期是102．88分。


    穿越地球的隧道

    如果能乘坐人造地球卫星去旅行，那将是十分快捷的，从某地到地球那一面的某地只需42.2分，环球一周只需84．4分（这里没有考虑由地球自转带来的修正量）。现在的载人飞船、航天飞机都已使这种旅行成为现实，但代价却十分高昂。一些科幻文章中叙述了另外一种旅行方法。从某地A开凿一条通过地心到地球另一面B地的直线隧道（图2），当人从A地跳入隧道后，受地心引力作用，将不断加速，并高速通过地心。此后，在地心引力作用下逐渐减速，到达隧道另一端时，速度恰好是零，可以容易地“登陆”B地，从而实现了一次“免费”旅行。现在计算一下旅行所用的时间，如果认为地球是由许多层均质圆球壳组成（各层圆球壳的密度可以不同），则可以证明，地球内部的引力场为以地心C为中心的引力场，且引力与距地心 C之距离Υ成正比，即F＝kΥ。亦即，地球内部的引力场相当于一个弹簧力场，弹簧的原长位于地心C。弹簧的刚度k可用地球表面处人体所受的引力及距地心的距离算出：k=mg／R，其中，m为人体的质量。根据物理中关于简谐振动的知识可知，在弹簧的回复力作用下，人体将以地心C为振动中心作简谐振动，


    动微分方程
                          T=2π√m/k=2π√R/g=84.4min   (2)
    与式（1）完全相同，我们又遇到了84.4。设想两个人同时从A地出发，一个乘坐沿圆轨道运行的宇宙飞船，另一个则跳入隧道，经过42.2分后，他们同时到达地球另一面的B地，而经过84.4分后，在原出发地会师。

    穿越地心的隧道是不可能的，但沿地球的弦开凿一个由A到B的直线隧道则完全有可能（图3）。在这种隧道中，车辆沿轨道运行时，也可借助地心引力先加速后减速到达另一端，实现“免费”旅行。现在来计算旅行的时间，忽略摩擦，车辆受地心引力F沿轨道方向的分量指向轨道中夹点O，大小为

F cosα＝kｒcosα＝kx

    亦即，这个驱动和制动车辆的力仍相当于一根刚度为k的弹簧，与穿越地心隧道的情况完全相同。由此可知，单程旅行时间是42.2分，往返时间是84.4分。如果由北京开凿3条这样的直线隧道，分别通往上海、广州和天津；则当3列车辆由北京同时（以零初速）出发时，经过42．2分，将同时到达目的地，而不论远近如何。
 

    舒勒条件

    飞机、轮船、火箭、导弹等运动物体（通常称为载体，因为它们都是运载有效载荷的工具）都需要导航设备，以便完成预定的航行任务。导航设备中，一个重要的参考基准是地垂线方向。例如，歼击机作战时，要在各种天气情况下作各种复杂的机动飞行。只能依靠仪表指示来判断飞机的姿态、飞行方向以及哪是上哪是下。到现在为止，人们寻找地垂线的唯一办法是借助于摆。例如，在一个静止的小车中，由车顶悬挂一个单摆（最简单的摆），则单摆静止的方向就是地垂线的方向。但如果小车以加速度a前进，则单摆将向后偏离地垂线（图4），如果小车作不规则的加速及减速运动，单摆将作杂乱无章的猛烈振动，再也无法指示地垂线了。只要手拿单摆坐上汽车，你就会对此确信无疑。怎样减小车厢运动对单摆的干扰呢？我们知道，单摆是一个振动系统，如果摆长是ι，则它的振动周期是

                        T=2π√l/g          (3)

    如果外界干扰是高频的（相对振动系统固有频率而言），则系统的响应幅度就较小。小车的运动规律我们无法左右，但可以减小单摆的频率（加大周期），使它相对外界干扰成为低频系统。为此要加大摆长ι。1916年德国人舒勒提出了一个大胆的设想：如果将单摆的摆长ι加大到地球半径R，则摆锤永位于地心，不管小车怎样运动，单摆将永指地垂线（图5）。具有这种性质的摆称为舒勒摆，舒勒摆的振动周期是将式（3）中的ι换成R，于是我们再一次得到式（1）的84．4分。因此84．4分也称为舒勒周期。舒勒还将这个设想提高成一般原则：一个系统，如果在重力作用下它的固有振动周期是84．4分，则它指示地垂线的性能不受基座运动加速度的干扰。上述原则就称为舒勒条件。用单摆是无法实现舒勒条件的，用复摆也实现不了。一种实用方案是使用陀螺摆，因为高速自转的陀螺在进动运动中有巨大的惯性，可以实现长周期的进动运动。


    摆式陀螺罗盘

    导航设备中另一个重要的参考基准是南北向。人们曾用磁针指示南北（地球的磁极），但现代飞机、火箭等载体中有许多电器，它们不断产生各种干扰磁场，磁针是无法工作的。陀螺仪表仍是常用的指北仪器。例如，舰船中的摆式陀螺罗盘就能利用地球的自转而指北（地球的转极）。为了使陀螺罗盘的指北性能不受舰船运动加速度的干扰，同样要满足一种“调整条件”，即陀螺主轴的振动周期应是84．4分。陀螺罗盘启动前，陀螺主轴一般不位于北向位置，启动后，陀螺主轴要经过几个周期的衰减振荡才能稳定在北向位置。如果是3个周期，则找北过程大约需要240分。所以当舰船启航演习时，操作罗盘的士兵要比其他士兵早投入工作4个小时。如果突然发生战斗，这就成了大问题。现在已研制了电控陀螺罗盘，可以调整摆性及周期，使得启动时振动周期短，陀螺主轴能迅速找北，而正常工作时，仍保持84.4分的周期，以便指北性能不受舰船运动的干扰。


    非结束语

    在上面的来自不同问题的4个例子中，我们都遇到了84．4这个数字。如果仔细观察，就会发现这也并不神秘，因为84．4主要取决于R及g的值。亦即，这是因为我们使用了地球表面的引力。由此可以推测，在其他一些使用地球表面引力的情况下，我们还会和84．4再次相遇。读者不妨再搜集几个例子。

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