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标  题: [身边的力学]混沌浅说——陈立群 赵婷 刘延柱
发信站: 哈工大紫丁香 (Fri Jun 10 15:51:57 2005), 站内

混沌浅说

陈立群  赵婷  刘延柱
 

    人们习惯上认为科学的目标是发现事物之间的因果关系从而正确地作出预测，这也正是科学的威力所在。例如牛顿力学被人们接受，不仅是因为它理论体系完整严密，也不仅是它能给出已知现象的理论解释，更是因为它能预测未知事物，诸如慧星的运动及海王星、冥王星的存在等。然而，有些现象一直令科学家们困惑不解，如他们能长期精确预测地球潮汐的运动，却对长期预测天气的变化无能为力。这类被认为是例外怪异的现象，在长期被回避之后，近20年来成了科学研究的一个热点。这便是本文要说的混沌。

    对于不可预测现象，科学家也不完全陌生，17世纪中叶便有对骰子滚动的研究。但以往讨论的“不可预测现象”是由于不存在确定性的因果关系，这时有随机因素在起作用，必须用概率统计方法研究。而混沌则与此不同，它出现在确定性系统中，即系统的运动由本身丝毫不带随机因素的规律支配，因而混沌可以称为内在随机性。以下将说明混沌是非线性系统特有的一种运动形式，它是具有对初始条件的敏感依赖性而不可长期预测的有限非周期运动。


    非线性与线性

    正如马克思指出：“一种科学只有当它达到能够运用数学时，才算真正发展了。”近代科学告诉我们，任何物理现象都可用一组在特定精度内确定的变量描述。如果改变其中的一个，而使其他变量产生不成比例的变化，则称该组变量描述的现象为非线性。以弹簧变形产生弹性恢复力为例，这个物理现象可用两个变量：变形x和恢复力F描述。设变形为x0时恢复力为F0，若它们成比例变化，即意味着变形为αx0（α≠1）时恢复力为αF0。这里，α为由弹簧变形量决定的数，如设弹簧变形为x，则α=x／x0。现若有常数k和ε使F=kx＋εx3，则变形为αx0时，恢复力

    故当ε≠0时，弹簧为非线性的，当且仅当ε＝0时弹簧才是线性的。研究非线性问题的理论模型称作非线性系统，通常用非线性方程描述。

    丰富多采的现实世界即是非线性的。线性世界是单调乏味缺少变化的世界，如，一个和尚挑一担水，三个和尚挑三担水；一个皮匠制一双鞋，三个皮匠制三双鞋。现实的情况却往往是“一个和尚挑水吃，两个和尚抬水吃，三个和尚没水吃”；“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”。由于线性问题易于处理，长期以来人们一直把注意力集中于线性问题及与之相近的个别非线性问题，以至于回避甚至遗忘了难以处理的大量非线性问题。这样就容易使人片面地认为，线性问题是普遍的、一般的。

    科学史上的先行者们并不愚蠢，他们专注于线性问题的研究是出于无奈。那时，大多数非线性问题远远超出了学者们力所能及的范围。如同教诲晚辈“一分耕耘，一分收获”这种典型线性观的长者也并非不知道“天有不测风云，人有旦夕祸福”这种非线性现象一样。尽管从上世纪末以来便有一些杰出的科学家如庞加莱等提出对非线性问题的真知灼见，但总的说来，线性一统的局面一直维持到本世纪中叶，正是由于电子计算机的问世才打破了这种局面。它是技术进步反过来促进科学发展的一个例证。电子计算机的发展和普及使得对非线性问题的研究成为可能。数值实验的广泛采用是非线性问题尤其是混沌研究的特点。当代的混沌研究者不同于牛顿和爱因斯坦那种沉思默想的科学先贤，他们往往是电脑的爱好者和使用者。混沌研究的现实正是数理逻辑创始人莱布尼兹的梦想：“怀着愿意解决争端的良好意愿的人，心平气和地坐下来拿出纸和笔‘让我们计算吧！’。”只不过现在用的是计算机而非纸和笔。

 
    混沌的特征

    一个质量确定的物体的运动决定于什么？有人说，决定于它所受的力，这无疑是对的。但仅仅决定于受的力吗？如以不同的方式抛出同一物体，若略去空气阻力，其所受的外力都是同一个重力，但运动可能是直线，也可能是曲线。这说明运动还取决于初始时刻的位置和速度，通称为初始条件，简称初值。任何时刻的运动都依赖于初值。

    混沌运动具有对初始条件的敏感依赖性，简称初值敏感性。即初值的微小差别经过一段时间后会导致系统状态显著的差别。真可谓失之毫厘差之千里。例如在图1所示的系统中，单位质量的质量块连有非线性弹簧和线性阻尼器并受周期外力作用，非线性弹簧的弹性恢复力为Fk＝-k1x3，线性阻尼器的阻力为FC＝-0.05k2v，周期外力F（t）＝7.5k3cost，其中x和v分别为质量块离开平衡位置的位移和速度（向右为正），k1，k2，k3分别为单位不相同的比例系数。对于给定的初始条件，借助计算机可以求出位移随时间变化的曲线（称作时间历程）。对应两组初值x0＝3.00cm，v0＝4.00cm／s和x0＝3.01cm，v0＝4．01cm／s的时间历程如图2所示，从中可见10-2数量级上的初值差别经过不到50秒便导致位移差别为100数量级。这种具有初值敏感性的例子在日常生活中并不少见。例如，某高考考生晚了2分钟离开家门，刚好误了一趟30分钟一班的车，因迟到而考砸一门课，结果晚入大学一年。所以有人忠告青年人：“人生的路虽很漫长，但紧要处只有几步。”由于对“紧要处”的敏感依赖，对个人而言，可导致截然不同的人生结局；对于国家，也可导致兴盛或灭亡，如一首英国民谣所述：

    钉子缺，蹄铁卸；蹄铁卸，战马蹶；

    战马蹶，骑士绝；骑士绝，战事折；

    战事折，国家灭。

    混沌运动不能长期预测。物理世界的任何量都只能有有限精度，如前例中给出的初值x0＝3.00cm，v0＝4.00cm／s，只精确到小数点后两位。第三位数字可以是0～9中的任意一个，因而初值中存在不确定性，有10-3量级的误差。可以认为具有初值敏感性的系统对于初值误差的作用不断进行放大。这样随着系统运动时间的流逝，初值中的不确定性起着越来越大的作用。一段时间之后决定运动的己不是初值中以有限精度给定的部分，而是在精度范围之外无法确定而又必然存在的误差，运动的预测便不可能了。由于初值敏感性而具有的长期不可预测性，故被形象地称作蝴蝶效应。一个蝴蝶的振翅，导致大气状态极微小的变化，但在一个月后，千里之外的一场本来不会发生的大风暴发生了。蝴蝶效应是混沌运动的一个生动描述，也说明了长期气象预报的难点所在。

    混沌运动是非周期的有限运动。非周期是指不像周期那样周而复始循环往复，有限运动是指既不无限增大发散于无穷，也不无限衰减而趋于静止。以图1所示质量弹簧系统为例，从时间历程图2中可见，质量块在平衡位置左侧振动两次后又在右侧振动两次，再在左侧振动1次……，每个轮回振动次数各异幅值也不同。显然不具有任何周期性而又在一有限范围内往复运动。这里质量块的运动就是混沌运动。

    由于混沌运动的上述特征，在宏观的时间尺度上，看不出它与随机运动有任何区别。但混沌产生于由确定性规律支配的系统并没有任何外部随机噪声影响，所以混沌是确定性系统的内在随机性运动。

 
    自然界中的混沌运动

    混沌运动不仅出现在实验室中的实验和基于理论模型的数值实验中，在自然界中也广泛存在。这里仅举几例。

    小鸟在逃避猛禽捕食时，做时上时下与忽左忽右的混沌性运动。不然，若直线飞行将被速度更快的猛禽追上；若仅周期性改变飞行方向，由于猛禽可以作出预测，小鸟也难逃厄运。

    土星的15颗卫星中有颗叫土卫7的卫星不同寻常，它的形状不规则像颗马铃薯。土卫7的轨道精确又规则，但它在轨道中的空间方位角变化（称作姿态运动）是混沌的。土卫7在翻筋斗，不只是从一边翻到另一边，而是以一种复杂的、不规则的方式翻转。即使科学家们能以小数点后10位的精度测定土卫7的空间方位角，根据牛顿运动定律和万有引力定律预测其未来姿态运动，几个月后仍将会发现预言完全错了。土卫7的姿态运动是一种典型的混沌运动。

    在力学学科之外，也存在着广义而言的混沌运动，即系统状态的混沌性变化。可以断言，在任何科学领域中；当非线性足够强时，都会遇到混沌现象。

    混沌研究之所以引起广泛重视，正是因为混沌无处不在。

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