Mechanics 版 (精华区)

发信人: spaceflight (雨前龙井), 信区: Mechanics
标  题: [身边的力学]炮弹果真沿45°方向发射最远吗？——刘又文
发信站: 哈工大紫丁香 (Fri Jun 10 16:34:47 2005), 站内

炮弹果真沿45°方向发射最远吗？

刘又文


    在中学物理中，我们已经知道，在地面上发射的炮弹，沿抛物线轨迹运动，当发射角为45°时，其水平射程最远。然而，这个结论是在不计地形变化和炮身运动，忽略空气阻力，并假设炮弹运行中所受引力不变的条件下推导出来的，而实际情形却决非如此。下面我们分别谈谈上述因素对炮弹运动轨迹和射程的影响。


    高地放炮改变轨道

    在高度为h的山头向平地放炮，设炮弹初速度为V0，落地速度为Vt，则有V0+gt=Vt，式中g为重力加速度，其矢量三角形如图1所示；由能量守恒，有Vt*Vt=V0*V0+2gh。可见，当V0和h一定时Vt大大小也一定，要使炮弹落在平地上的射程x最大，只要

                               g/2=（gt）*(V0*cosβ)/2

    取最大，即图1所示三角形面积最大；三角形中，因边长V0，Vt一定，必有V0⊥Vt，故当炮弹发射角β满足

                            tgβ=V0/Vt=V0/√(V0*V0+2gh)      (1)

    时，炮弹从h高处发射落到平地上的射程x为最大。显然，

    从高山放炮获得最大水平射程的发射角小于45°。我们不难求出这个水平最大射程。如果炮弹落在高为h1的山坡上，求最大射程的问题就可类似进行分析。不过倾角的大小随h1的大小而变化。


    炮身反冲  影响射程

    炮车发射炮弹时，由于炮身的反冲速度，使炮弹射出时相对地面的仰角大于炮筒的倾角。设炮车质量为M，炮弹质量为m，炮筒与水平面的倾角为α，若己知炮弹相对地面的膛口速率为V0，试求α为多大时，其水平射程最大。这时炮身的反冲速度u不可忽视，即V0=u+Vr，如图2所示，Vr为炮弹相对于炮身的速度。由上式有

                          V0sinβ=Vrsinα
                          V0cosβ=Vrcosα-u                  (2)

    若不考虑炮身与地面的摩擦力，则由水平向动量守恒有

                         Mu=mV0cosβ                         (3)  

    再由（2），（3）式可得

                          tgβ=(1+m/M)tgα                   (4)

    将（4）代入（1）式得

                          tgα=M*V0/[(M+m)*√(V0*V0+2gh)]    (5)

    时，炮弹从h高处发射水平射程最大，可见考虑炮身反冲，平地放炮时炮筒倾角α应小于45°，高山放炮时α倾角应更小一些。


    空气阻力  缩短射程

    以上讨论都是在不计空气阻力的理想前提下进行的，实际上炮弹在稠密的大气中运行时，受到与速度方向相反的阻力作用。由于这个阻力大小随速度而变，其运动轨迹只能由求解微分方程得到。如图3所示，虚线为不计空气阻力的理想运动轨迹，实线为同样初速的实际运动轨迹。算例表明，以610千米／秒速度射出的炮弹，在不计空气阻力的空间会画出一条高9.6千米的巨大弧线，射程可达39千米，而实际炮弹在空气阻力下只飞行了4千米，其射程缩短10倍之多。

    殊不知环绕地球的大气层，由里向外是逐渐稀薄的，远程大炮的发射角一般在50°～70°范围内变化。这是因为如此发射的炮弹，可达到离地40～50千米的高度。在这个高度上，空气十分稀薄，阻力很小，炮弹在大气圈中飞越130～160千米的距离。如果炮弹仍以45°倾角发射飞行轨迹全在较稠密的大气中，阻力很大，就只能达到约10千米的射程了。
 

    引力向心  抛物失真

    我们知道，炮弹运行中抛物线轨迹是在诸多假设下推导出来的，其中之一是炮弹在整个运动过程中所受重力均沿同一垂直向下方向的常力。实际上，炮弹飞行时所受引力恒指向地球中心，运行中在各个位置所受的引力方向不同，因而炮弹飞行的轨迹就是以地球中心为其一个焦点的椭圆曲线。又因常规炮弹的运行速度较小，其椭圆轨迹的离心率接近于1，椭圆高度平化，通常近似视为抛物线。

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