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标  题: EPR的故事 -- 3. EPR！EPR!
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标  题: EPR的故事 -- 3. EPR！EPR!
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标  题: EPR的故事 -- 3. EPR！EPR!
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EPR 悖论

1935 年 5 月, 在 Physical Review 上 Einstein 和他的
两位同事 B. Podolsky和 N. Rosen  共同发表了一篇名为
「Can Quantum-Mechanical Description of Physical
Reality Be Considered Complete?」 (量子力学对物理世
界的描述是完备的吗?) 三个人异口同声地回答:「不!」

在这篇著名的文章中，作者首先阐述了他们对物理理论的看
法： 一个严谨的物理理论应该要区别「客观实体」(object
reality) 以及这个理论运作的观点．
客观实体应独立于理论而存在．在判断一个理论是否成功时，
我们会问自己两个问题：

  (1)  这个理论是否正确?
     (2)  理论的描述是否完备?

只有当这两个问题的答案是肯定时，这样的理论才是令人满
意的．理论的正确性当由实验来决定．而关于量子力学的描
述是否完备则是这篇文章探讨的主题．
在进一步讨论理论的完备性之前，我们必须先定义什么是完
备性．作者们提出了一项判别完备性的条件： 每一个物理
实体的要素必须在理论中有一对应物(every
element of the physical reality must have a counterpart
in the physical theory)因此我们决定了什么是「物理实体的
要素」，那么第二个问题就容易回答了．

那么，究竟什么是「物理实体的要素」呢? 作者们以为: 「如
果，在不以任何方式干扰系统的情况下，我们能准确地预测(即
机率为一)某一物理量的值，那么必定存在一个物理实体的要素
与这个物理量对应．」他们认为，只要不把这个准则视为一必要
条件，而看成是一充分的条件，那么这个判别准则同样适用于古
典物理以及量子力学中对实在的概念．

举例来说，在一维系统中，一个以波函数 φ(x) = exp(ip0x/2πh)
(其中 p0 是一常数，i 表纯虚数，h 为 Planck常数)描述的粒子．

其动量的算符为
                        h     d
                  p = ------ ----
                      2(Pi)i  dx

因此：
                  pFI(x) = p0FI(x)

所以动量有一确定的值 p0. 因此在这种情形下动量是一物理实体．
反之，对位置算符 q 而言，
                  qFI = xFI ≠ aFI
因此粒子的位置并没有一确定的值．它是不可预测的，仅能以实验
测定之．然而任何一实验的测定都将干扰到粒子而改变其状态，被
测后的粒子将再也不具动量 p0 了． 对于此情况，我们说当一粒
子的动量确定时，它的位置并非一物理实体．

 一般来说在量子力学中，对两个不可对易的可观察量(observable)而
言，知道其中一个物理量的准确知识将排除对另外一个的准确知识.任
何企图决定后者的实验都将改变系统的状态而破坏了对前者的知识．
至此，作者们发现我们面临了如下的两难局面：
   (1)或者，在量子力学中波函数对物理实在的描述是不完备的．
   (2)或者，两个对应于不可对易算符的物理量不能同时是实在
  的(即具有确定的值)．

因为，若两个不可对易的物理量同时具有确定的值，根据作者们对完
备性的条件，在波函数的描述中应包含这些值．但事实上并非如此，
因此波函数的描述是不完备的．

在量子力学中，通常假设了波函数包含了描述物理系统一切完备的资讯．
乍看之下， 这样的假设似乎很合理．然而，Einstein等人指出，在这个
假设之下，配合他们对物理实体的判别准则，将导出(2)也是错的．因此
这是一个矛盾． 这就是著名的 EPR 悖论(EPR paradox 或 EPR dilemma)．

Einstein 等设计了一个理想实验来证实他们的观点．假设现在有两个粒
子在t=0到t=T的时间之内相互作用，但在t>T之后分开，不再有任何交互
作用．根据Schrodinger方程式，我们仍然可以算出以后任何时刻两个粒
子的状态．现在，注意到两个粒子动量和算符 p1+p2 及位置差算符 x1-x2
是可对易的． 因此可以同时具有确定的值，即有共同的本征态(eigenstate)．
例如

            FI(x1,x2) = D(x1-x2-a)

D 是 Dirac 的 delta 函数．这代表了动量和为零以及位置差为 a 的本
徵态．现在假如我们去测量粒子1的位置，而得到结果x1，那么，我们可
以同时地肯定粒子2的位置必定是x1-a.换言之，在不扰动粒子2的情形之
下我们便可确定粒子2的位置．因此，根据EPR的判别准则，粒子2的位置
是实在的．同样的，若是我们去测量粒子 1的动量而得到结果p，我们也
能肯定粒子2具有动量-p.因此粒子2的动量也是实在的．由于两个粒子已
经足够地分开，而没有任何交互作用，粒子 2 不可能知道我们究竟要测
量粒子1的位置还是动量，从而「决定」它要在位置x1-a或具有动量-p，
这两个量必定是同时存在的(即使我们不能同时去量它们)．换言之，就是
违反了前面 (2) 的条件．

在假设 (1) 错的情形之下，Einstein 等推出了 (2) 也是错的结论，而这
是不可能的．因此(1)一定是对的．所以Einstein等大胆的宣布，量子力学
的描述必是不完备的．在获得了这样的结论之后，Einstein等同时期待了
一个新而完备的理论将会出现．

纵观 Einstein 的论证，我们发现他们的推论中隐含了两项假设：
   (1)物理实在是独立于观测者而客观地存在的．
   (2)两粒子间传递讯息的速度不能超过光速，不存在超距
   作用(action-at-a-distance)． 这项假设后来被称
   为 Einstein 定域性原理(locality principle)．

当 EPR 的论文发表之后，立刻引起了广大的回响，甚至成了新闻焦点．
当时的纽约时报以头条报导此事：「Einstein 抨击量子理论」
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