Physics 版 (精华区)

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标  题: EPR的故事 -- 6. Bell出场
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发信人: yzl (yzl), 信区: Physics
标  题: EPR的故事 -- 6. Bell出场
发信站: 放鹤亭站 (Sat Nov 17 19:32:16 2001)

发信人: bigbull (老文), 信区: Physics
标  题: EPR的故事 -- 6. Bell出场
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1964 年，J.S.Bell 在Physics I 上发表了一篇论文，指出任何企图保持
Einstein定域性原则的隐变量理论都将不能和量子力学相容．这是著名的
Bell 定理．Bell 利用Bohm 的单态粒子对实验推导了一个不等式，说明
了定域性隐变量理论的相关性(correlation)和量子力学是不同的．

假设如同前面Bohm 的实验装置，A, B 侦测器可以被安排成测量a, b, c
三个不同方向的自旋分量．a, b, c 三个方向是任意的，不需要互相垂直，
甚至可以在同一个平面上．

如果，粒子从发射器出发之时已带有某种「密码」(这是定域性隐变量理论所
预期的)，如(a+,b+,c-), 代表了粒子进入a 方向的侦测器结果将是正的，b
方向结果也是正，而c 方向结果为负．由于两个粒子自旋方向相反，这样的组
合共有八种，如下所示：
         粒子1       粒子2
N1    (a+,b+,c+)  (a-,b-,c-)
N2    (a+,b+,c-)  (a-,b-,c+)
N3    (a+,b-,c+)  (a-,b+,c-)
N4    (a-,b+,c+)  (a+,b-,c-)
N5    (a+,b-,c-)  (a-,b+,c+)
N6    (a-.b+.c-)  (a+,b-,c+)
N7    (a-,b-,c+)  (a+,b+,c-)
N8    (a-,b-,c-)  (a+,b+,c+)

重复这样的实验N 次，设各种情况出现次数分别是N1, N2,... N8. 自然的，
N1+N2+......+N8 = N.

令P(a+,b+) 表示A 侦测器在a 方向测得结果为正，B 侦测器在b 方向测得结
果为正的机率．而P(b+,c-) 表示A 侦测器在b 方向测得正，B 侦测器在c 方向
测得负的机率，等等．例如，P(a+,b+) = (N3+N5)/N, P(b+,c-) = (N1+N4)/N．

现定义a, b 方向的相关程度系数E(a,b) 为

                 E(a,b) = P(a+,b+) + P(a-,b-) - P(a+,b-) - P(a-,b+)

注意到E(a,b) = E(b,a)．它代表了A, B 侦测器在a, b 两方向测量结果的相关程
度．例如，在a=b 时，P(a+,b+) = P(a-,b-) = 0, 而P(a+,b-) = P(a-,b+) = 1/2,
因此                                                                  E(a,a)

= -1. 这表示说若A, B 侦测器被安排成测同方向的自旋分量，所得结果
必定相反．又如，a=-b, E(a,-a) = 1, 即A, B 的结果必相同．如果a 和b 相互垂
直，则P(a+,b+) = P(a-,b-) = P(a+,b-) = P(a-,b+) = 1/4, 所以E(a,b) = 0. 这
是说如果两侦测器所测的方向互相垂直，则两者的结果没有任何相关．由此可见这个
定义符合我们对「相关」的直觉含义．
根据定义，我们有
                   E(a,b) = (N3+N5+N4+N6-N1-N2-N7-N8)/N
同理
                   E(a,c) = (N2+N5+N4+N7-N1-N3-N6-N8)/N

                   E(c,b) = (N3+N7+N2+N6-N1-N4-N5-N8)/N
现在因为Ni (1≤i≤8) 都是大于等于零的整数，因此
                   2(N3+N6-N2-N7) ≤2(N3+N6+N2+N7)

两边加上N1+N4+N5+N8, 得
                   2(N3+N6-N2-N7)+N1+N4+N5+N8 ≤N3+N6+N2+N7+N
同除以N, 得
                   2(N3+N6-N2-N7)/N ≤(N3+N7+N2+N6-N1-N4-N5-N8)/N + 1

我们发现不等式右边即是E(c,b) + 1, 而左边是
                   E(a,b) - E(a,c) = 2(N3+N6-N2-N7)/N
同理，
                  -E(c,b) - 1 ≤E(a,b) - E(a,c)

因此
                  |E(a,b) - E(a,c)| ≤1 + E(c,b)

这就是著名的Bell 不等式．这对任意方向的a, b, c 而言都成立．

现在，让我们来看看Bell 不等式和量子力学的预测是否相符．我们要以量子
力学的方法去计算P(a+,b+), P(a+,c+) 以及P(c+,b+). 令S．a, S．b, S．c 的本徵
态分别是|a+>,|a->, |b+>,|b-> 和|c+>,|c->. 例如，要计算P(a+,b+), 我们假设粒子1

进入a 方向的侦测器得到结果为正(这机率显然是1/2). 因此，粒子2 必将处于

|a-> 的状态．在B 处我们测量粒子2 的b 方向自旋分量．按量子力学，我们
必须将|a-> 按|b+> 和|b-> 展开．如果a, b 两方向的夹角是θab, 那么结果是
(up to a phase constant)

    |a-> = sin(Beta/2 )exp(-iAlpha/2)|b+> - cos(Beta/2)exp(iAlpha/2)|b->


所以，粒子进入b 方向侦测器得到结果是正的机率是

                       sin2(θab/2)
因此

                       P(a+,b+) = sin2(θab/2)/2

同样的

                       P(a-,b-) = sin2(θab/2)/2

以及

                       P(a+,b-) = P(a-,b+) = cos2(θab/2)/2

所以

             E(a,b) = sin2(θab/2) - cos2(θab/2) = -cosθab = -a．b

同理

              E(a,c) = -cosθac,
              E(c,b) = -cosθcb

根据Bell 不等式，我们得到

                     |cosθac - cosθab| ≤1 - cosθcb
对任意的a, b, c 皆成立．


然而，我们发现这是不可能的．例如，让a, b, c 在同一平
面上，而且b 就在a,c 的角平分线上
               cos2θ- 2cosθ+ 1 ≥0 或cos2θ≥cosθ

                         当0 < θ< π/2 时，显然是不可能的．

J.F.Clauser 及M.A.Horne 等于1969 年改进并推广了Bell 不等式．他们的方案
是利用光子对的偏振(polarization)相关性．Clauser 等并提出了可行的实验，检
验Bell 不等式．其它如E.P.Wigner, A.Shimony, H.P.Stapp 等人也都相继提出了
类似的不等式．

由于Bell 不等式完全基于Einstein 的定域性原理，因此Bell 定理提供了检验定
域性原理的一项利器．如果实验结果证实Bell 不等式是对的，那么就违反了
量子力学的预测；相反的，如果实验结果违背了Bell 不等式，也就同时否定
了Bell 不等式的前提，Einstein 定域性原理．终于，这场论战又从哲学回到了
物理，等待实验来判定谁胜谁败．                    --



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