Physics 版 (精华区)

发信人: zjliu (秋天的萝卜), 信区: Physics
标  题: 非线性物理学与复杂性研究
发信站: 哈工大紫丁香 (Fri May  2 13:33:09 2003) , 转信

（一）线性科学向非线性科学的转变
　　线性是指量与量之间的正比关系；在直角坐标系里，这是用一根直线表征的关系。
近代自然科学正是从研究线性系统这种简单对象开始的。由于人的认识的发展总是从简
单事物开始的，所以在科学发展的早期，首先从线性关系来认识自然事物，较多地研究
了事物间的线性相互作用，这是很自然的。因而在经典物理学中，首先考察的是没有摩
擦的理想摆，没有粘滞性的理想流体，温度梯度很小的热流等；数学家们首先研究的是
线性函数、线性方程等。理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽
略非线性因素的前提下建立起线性模型，至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线
性模型近似或局部地代替非线性原型，或者借助于对线性过程的微小扰动来讨论非线性
效应。经过长期的发展，在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方法，
例如傅立叶变换、拉普拉斯变换、传递函数、回归技术等；就是设计物理实验，也主要
是做那些可以做线性分析的实验。从这个特点看来，经典科学实质上是线性科学。线性
科学在理论研究和实际应用上都有十分光辉的进展，在自然科学和工程技术领域，对线
性系统的研究都取得了很大的成绩。
　　线性科学的长期发展，也形成了一种扭曲的认识或“科学思想”，认为线性系统才
是客观世界中的常规现象和本质特征，才有普遍规律，才能建立一般原理和普适方法；
而非线性系统只是例外的病态现象和非本质特征，没有普遍的规律，只能作为对线性系
统的扰动或采取特殊的方法做个别处理。由此得出结论说，线性系统才是科学探索的基
本对象，线性问题才存在理论体系；所以经典科学的长期发展，都是封闭在线性现象的
圈子里进行的。线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的特征。从结构上看，线性
系统的基本特征是可叠加性或可还原性，部分之和等于整体，几个因素对系统联合作用
的总效应，等于各个因素单独作用效应的加和；因而描述线性系统的方程遵从叠加原理
，即方程的不同解加起来仍然是方程的解；分割、求和、取极限等数学操作，都是处理
线性问题的有效方法；非线性则指整体不等于部分之和，叠加原理失效。从运动形式上
看，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，可以用性能良好的函数表示，是连续的，
可微的。而非线性现象则表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变，带有明显的间
断性、突变性。从系统对扰动和参量变化的响应来看，线性系统的响应是平缓光滑的，
成比例变化；而非线性系统在一些关节点上，参量的微小变化往往导致运动形式质的变
化，出现与外界激励有本质区别的行为，发生空间规整性有序结构的形成和维持。正是
非线性作用，才形成了物质世界的无限多样性、丰富性、曲折性、奇异性、复杂性、多
变性和演化性。
　　在科学还处在主要以简单关系为研究对象的阶段，线性方法曾经是十分有效的。线
性关系容易思考，容易解决，可以把它一块块地分割开进行考察，然后再一块块地拼合
起来。所以线性关系让人喜爱。而非线性问题、非线性方程往往是桀骜不驯、个性很强
的，很难找到普遍的解决方法，只能对具体问题做具体分析，针对个别问题的特点采取
特殊的处理方法。所以历史上虽然有过一些解非线性方程的巧妙方法，但与大量存在的
非线性问题相比，只算是凤毛麟角；甚至人们一遇到非线性系统或发现方程中的非线性
项时，就想尽办法回避，或加以舍弃，使之“线性化”。
　　流体动力学中描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程、即著名的“纳维-斯托克
斯方程”，把流体的速度、压力、密度和粘滞性全部联系起来，概括了流体运动的全部
规律；只是由于它比欧拉方程多了一个二阶导数项，因而是非线性的，除了在一些特殊
条件下的情况外，很难求出方程的精确解。分析这个方程的性态，“仿佛是在迷宫里行
走，而迷宫墙的隔板随你每走一步而更换位置”。计算机之父冯·诺意曼（Neumann，J
oha von 1903～1957）说：“这些方程的特性……在所有有关的方面同时变化，既改变
它的次，又改变它的阶。因此数学上的艰辛可想而知了。”①
　　所以，非线性系统长期以来被冷落在科研领域的视野以外。当遇到非线性系统时，
科学家们就代之以线性近似。甚至在教科书中，也充满了线性分析成功的内容，“非线
性”一词大都只在书末一带而过地提一下。除了几个可解的非线性范例之外，那里讲的
不过是如何把一些非线性方程约化成线性方程。这种训练的结果，把人们的思想禁锢在
线性的陷阱里，致使到了20世纪40年代和50年代，许多科学家和工程师除此之外竟一无
所知。一位著名的工程师甚至说过：“上帝不会不仁得使自然界的方程成为非线性的”
。伊恩·斯图尔特感叹地说：“如果你断定，只有线性方程才值得研究，那无异于自我
禁锢。你的课本充满了线性分析的成功，它的失败埋藏得如此之深，以致连坟墓都看不
见，坟墓的存在也没人注意。如同18世纪笃信钟表世界一样，20世纪中叶则恪守线性世
界。”①伊恩·斯恩尔特非常诙谐地揶揄说：“称一般微分方程为‘非线性’方程，好
比把动物学叫做‘非象类动物学’。但是你明白，我们生活在这样一个世界里，多少世
纪以来它以为现存的唯一动物就是大象，它设想壁脚板上的洞是幼象凿的，它把翱翔的
雄鹰当作耳朵变翼的呆宝②，把猛虎当做身披花纹的短鼻子大象。它的分类学家们则施
行矫正手术，使得博物馆的动物标本清一色地由笨重的灰色象类动物组成。‘非线性’
就是如此。”③到20世纪60年代以后，情况才有了改变。由于电子计算机的广泛应用和
由此发展起来的“计算物理”和“实验数学”的方法的利用，人们从研究可积系统的无
穷多自由度的非线性偏微分方程中，在浅水波方程中发现了“孤子”，并得出了一套一
些类型非线性方程的解法；从一些看起来不甚复杂的不可积系统的研究中，发现了确定
性动力系统中存在着对初值极为敏感的混沌运动。人们越来越明白地认识到，“大自然
无情地是非线性的。”在现实世界中，能解的、有序的线性系统才是少见的例外，非线
性才是大自然的普遍特性；线性系统其实只是对少数简单非线性系统的一种理论近似，
非线性才是世界的魂魄。恩里科·费米（Fermi，Enrico 1901～1954）说：“圣经中并
没有说过一切大自然的定律都可以用线性方式来表示”。④而且正是非线性才造成了现
实世界的无限多样性、曲折性、突变性和演化性。这样，就逐渐形成了贯穿物理学、数
学、天文学、生物学、生命科学、空间科学、气象科学、环境科学等广泛领域，揭示非
线性系统的共性，探讨复杂性现象的新的科学领域“非线性科学”。生态学和混沌学家
罗伯特·梅（Robert，May）认为，目前全世界标准的科学教育，向人们灌输的是关于世
界图景的偏见和歪曲的印象。不管线性的数学获得了多大的成功，都只能给学生一个关
于实际大自然的普遍存在的非线性事实的失真形象。“如果像这样发展起来的数学直觉
，会使学生即使看到离散非线性系统里最简单的古怪行为也会手足失措”。所以他向一
切有文化的人呼吁，不仅在研究工作中，而且在日常生活中，包括政治、经济生活中，
“如果更多的人了解到这最简单的非线性系统也未必有简单的动力性质，会大有裨益。
”①如果能早日向中学生们讲一些非线性知识，那将使一切变得更好。
（二）复杂世界中的规整性的发现
1．孤波和孤子的发现
　　水面受到激扰后会出现四散的水波，但波纹很快就会消失，不可能传到很远的地方
。但在1834年8月，英国科学家、造船工程师约翰·罗素（Russell，John Scott 1808～
1882）却观察到一个奇怪的现象。他在勘察爱丁堡到格拉斯哥的运河河道时，看到一只
运行的木船摇荡的船头挤出高约0.3米到0.5米、长约10米的一堆水来；当船突然停下时
，这堆水竟保持着它的形状，以每小时大约13千米的速度往前传播。10年后，在英国科
学促进协会第14届会议上，他发表了一篇题为《论水波》①的论文，生动地描述了这个
现象：
　　1834年秋，我看到两匹骏马正沿运河拉着一只船迅速前进。突然，船停了下来，然
而被船所推动的一大团水却不停止。它们堆积在船头周围激烈地扰动着，随后形成一个
滚圆、光滑又轮廓分明的大水包，其高度约有1～1.5英尺，长约30英尺，以每小时大约
8～9英里的速度，沿着水面向前滚动。我骑在马上一直跟随着它，发现它的大小、形状
和速度变化很缓慢，直到1～2英里后，它才在蜿蜒的河道上消失。
　　罗素认识到，这决不是普通的水波。因为普通的水波是由水面的振动形成的，水波
的一半高于水面，一半低于水面，而且在扩展一小段距离后即行消失；而他所看到的这
个水团，却具有光滑规整的形状，完全在水面上移动，衰减得也很缓慢。他把这团奇特
的运动着的水堆称为“孤立波”或“孤波”。罗素还仿照运河的状况建造了一个狭长的
大水槽，模拟当时的条件给水以适当的推动，果然从实验上再现了在运河上观察到的孤
波。他认为这应当是流体力学方程的一个解。他批评数学家们未能从流体力学基本规律
预言孤波的存在。他的这些观点在科学促进协会会议上报告后，未能说服他的同事们，
争论一直持续了几十年。1895年，两位年轻的荷兰数学家科特维格（Korteweg，D.J.）
和德弗里斯（devries，G.）在研究浅水中小振幅长波运动时，考虑到可把水简化为弹性
体，具有弹性特征之外，还注意到水具有非线性特征与色散作用，这些次要特性在一定
条件下会形成相干结构。他们由此导出了单向运动浅水波Kdv方程②，由方程得出的波的
表面形状与孤波的表面形状十分相似，从而给出了一个类似于罗素孤波的解析解，孤波
的存在才得到了公认。此后这件事又被渐渐淡忘了。
　　20世纪60年代，电子计算机被广泛应用之后，孤波才被重新记起并被命名为“孤立
子”或“孤子”。电子计算机的应用，使得科学家们敢于去探索过去用解析方法难以处
理的复杂问题。首先进行这方面探索的是物理学家费米和他的两个同事。他们于1952年
开始利用当时美国用于设计氢弹的Maniac计算机，对由64个谐振子组成、振子间存在微
弱非线性相互作用的系统进行计算，试图证明统计物理学中的“能量均分定理”。但19
55年完成的研究结果表明，开始时集中在某一振子上的能量，随着时间的进展并不均匀
地分配到其它振子上，而是每经过一段“复归时间”后，能量又回到原来的振子上，这
就是奇异的“复归”现象。这个现象引起了一批科学家的兴趣。
　　当时由于空间物理学和受控热核技术研究的发展，促使了人们对等离子体物理特性
的研究。这涉及到等离子体中波的问题，推进了求解非线性方程孤波解的研究。丕林、
斯克姆等人经过一系列近似处理，发现费米等人的谐振子系统可以看做是Kdv方程的极限
情况，可以用这个方程的孤波解来解释初始能量的“复归”现象。1965年，美国科学家
扎布斯基（Zabusky，N.）和克鲁斯卡尔（Kruskal，M.D.）等在电子计算机做数值试验
后意外地发现，以不同速度运动的两个孤波在相互碰撞后，仍然保持各自原有的能量、
动量的集中形态，其波形和速度具有极大的稳定性，就像弹性粒子的碰撞过程一样，所
以完全可以把孤波当作刚性粒子看待。于是他们将这种具有粒子性的孤波，即非线性方
程的孤波解称为“孤子”①。1965年以后，人们进一步发现，除水波外，其它一些物质
中也会出现孤波。在固体物理、等离子体物理、光学实验中，都发现了孤子。并且发现
，除Kdv方程外，其它一些非线性方程，如正弦-戈登方程、非线性薛定谔方程等，也有
孤子解。1967年，美国的一个研究小组GGKM在解Kdv方程时，首次发明了著名的解析方法
——“逆散射变换”，并得出了Kdv方程N个孤波相互作用的精确解①。这个方法经拉克
斯（Lax，P.D.）②和AKNS等人推广到一大批非线性演化方程中去，完善为一个较普遍的
解析方法，大大推进了孤子的研究。③。上述这些研究成果，已经开始推向实际应用。
例如在光纤通讯中，由于色散变形，传输信息的低强度光脉冲，不仅传输的信息量小，
质量差，而且每经一段传输距离后，都要做波形整复。70年代从理论上发现的“光学孤
子”，由于在传输中具有波形不损失，不改变速度等特性，为消除前述缺点找到了有效
的方法。物理学中的一些基本方程，如规范场论中的自对偶杨-米尔斯方程，引力场理论
中的轴对称稳态爱因斯坦方程，以及一系列在流体力学、非线性光学、等离子物体中有
重要应用的方程，都已应用孤子理论中的方法得到了许多有趣的精确解。另外，由于孤
子同时具有波和粒子两重性质，引起了理论物理学家们的极大关注。他们尝试用它来描
述基本粒子。但在应用中，上述的孤子定义有所扩展。但到目前为止，还有很多理论上
的困难未能解决。
2．复杂系统相干结构的研究
　　自然界存在着大量复杂系统。如由大量原子结合成的固体，奔腾的河流，湍动的大
气，大小不一的涡旋等。这些系统除了具有变化不定的运动形态外，还具有空间上局域
、时间上长寿的规整结构。这就是由于系统中存在的色散与非线性两种作用相互平衡而
形成的“相干结构”。孤子就是一种特殊的一维相干结构。相干结构存在于用连续介质
或流体力学方程描述的具有无穷多自由度的复杂系统中。相干结构的稳定性与非线性系
统具有无穷多守恒律密切相关。很多具有孤子解的非线性演化方程，就有无穷多个守恒
律，因而也有无穷多个守恒的物理量。对相干结构的形成机制和相互作用的探索，是非
线性科学研究的前沿。
　　除孤子之外，各种尺度的涡旋是自然界一大类相干结构。大者如直径达四万千米的
木星大红斑，小者如晶体中只有几纳米大小的电荷密度波，都是涡旋现象。通过计算机
模拟和实验室实验，对木星大红斑的形成机理的研究，已取得了重大进展。天文学上观
察到木星的大红斑，是在伽利略用他的望远镜观察木星之后不久的事情。罗伯特·胡克
（Hooke，Robert1635～1703）也观察过它。这个大红斑还被画在梵蒂冈的画廊里。它是
一个巨大的、涡旋状的卵圆形，就像一个不运动、不消退的巨形风暴一直处在木星上。
长期以来，它引起了人们的各种猜测。19世纪末期，天文学家们认为木星红斑是由火山
熔岩形成的一个卵圆形的熔岩湖；也许是一颗小星体撞击木星簿壳造成的一个大洞。一
位德国科学家认为红斑是木星表面正在分化出的一个卫星的雏型。后来人们发现，红斑
在木星表面上有些浮动，所以在1959年有人提出，红斑是一个漂浮在木星外大气中的一
个实体，就如一枚蛋浮在水中一样。有人认为这可能是一个很大的氢或氦的气泡。但是
，由于红斑的漂移距离很小，所以60年代科学家们又提出它是巨大火山口上形成的气柱
的顶端。1978年，宇宙飞船旅行者二号在太空中拍到的照片显示，木星并不是一个固态
的星球，而是一个运动的流体，表面是沸腾的湍流，有东西向的水平带。木星大红斑是
一个巨大旋流中的飓风系统，旋动在流体木星的上空。它把木星上空的云层推向外边，
嵌入在东西风带之内，形成了这行星上一条水平的带状构造。照片显示，红斑中存在着
大量小尺度的、非组织性的迅速流动，在一天或不到一天的时间内，涡流出现又消失，
但大红斑依然存在，而且长期不变。这真是一个宇宙奇迹。80年代初期，美国年青的天
文学家、数学家菲利浦·马尔卡斯（Marcus，Philip），根据致密的氢或氦的运动规律
，建立了一组模拟木星气候的流体力学方程组，并编制了计算机程序，试图揭示大红斑
的秘密。木星的自转很快，大约每10小时自转一周。这种自旋使其上的一切物体都受到
科里奥利力的作用，这个力正比于运动物体的速率，垂直于物体运动的方向，正是这个
力驱动了红斑。马尔卡斯用蓝色表示顺时针方向流体的转动，用红色表示逆时针方向流
体的转动，中间夹杂有黄色，用计算机绘制美丽的色彩图象。意想不到的事情发生了，
不论从哪一种构型开始，由不同颜色间杂组成的棋盘式的花样，在旋转之后蓝色块都要
分解成碎片，红色块则越聚越拢，最后汇成一个其中包含着大量小尺度混沌流的卵圆形
大红斑，在四周混乱的湍流海洋背景中稳定而相容地存在着。这就是大尺度的红斑！马
尔卡斯得出结论说：大红斑是一个非线性作用的产物；一个复杂系统既可以造成湍流，
同时也可以相互协调形成一种空间上局域、时间上长寿、相对稳定的相干结构。
三）确定性系统中的混沌现象的研究
1．古代“浑沌”思想和牛顿的决定论
　　不论中国还是西方，“混沌”（chaos，又称“浑沌”）概念古已有之。面对浩瀚无
垠的宇宙和繁纷多变的自然现象，古人只能凭借直觉对它进行模糊、整体的想象和猜测
，逐步产生了混沌的概念。中国古代所说的“混沌”，一般是指天地合一、阴阳未分、
氤氲渺蒙、万物相混的那种整体状态。它既含有错综复杂、混乱无序、模糊不清的意思
，又有内在地蕴涵着同一和差异、规则和杂乱、通过演化从“元气未分”的状态产生出
五光十色、多姿多彩的现实世界的丰富内涵。《老子》中所说“有物混成，先天地生”
，其实就是混沌。汉代王充的《论衡·谈天篇》说：“元气未分，浑沌为一”；汉代《
易纬·乾凿度》云：“混沌者，言万物相混成而未相离”；又云：“太易者，未见气也
；太初者，气之始也；太始者，形之始也；太素者，质之始也；气、形、质具而未相离
，谓之混沌”。这些论述都强调了混沌是宇宙初始物质未被分化的一种无序的元气统一
体。战国时期的伟大诗人屈原在他的《天问》中精彩地描绘了这种混沌状态：
　　曰遂古之初，谁传道之？上下未形，何由考之？冥昭瞢暗，谁能极之？冯翼惟象，
何以识之？明明暗暗，惟时何功？阴阳三合，何本何化？……
　　这也把宇宙的初始状态描绘为天地未形、浑浑沌沌、动荡不定、明暗不分、阴阳渗
合的形象。
　　但是，在古人看来，浑沌并不简单地等同于混乱和无序，它是万物混成尚未分离的
状态，它是统一的整体，它本身就包含着差异和多样性，是秩序和无秩序、和谐与不和
谐的统一体。浑沌先于宇宙，浑沌孕育着宇宙，浑沌产生出宇宙。按照《易纬·乾凿度
》的说法，这个演化过程就是
　　太易→太初→太始→太素→混沌→天地……
　　“天地”才是现实的宇宙。
　　在古埃及和巴比伦的传说里，都提出了世界起源于混沌的思想。古希腊称“原始混
沌”为“卡俄斯”，说卡俄斯生于万物之先，它生下大地（“该亚”）、地狱（“塔尔
塔洛斯”）和爱情（“厄洛斯”），大地又生出天（“乌利诺斯”）和海（“蓬托斯”
）。这也是说世界万物都是从混沌中分离出来的。在《圣经》“创世纪”中说，起初神
创造了天地，大地是空虚混沌，神灵运行于黑暗的深渊中，神说“要有光”，于是就有
了光；神把光暗分开，于是就有了晨昏昼夜。这就是“创世”的第一天。这里借“神”
的外衣所编织的动人神话，都反映了古人关于世界起源的共同思想：世界产生之前的自
然状态是混沌，万物借分离之力从混沌中演化出来。但是，即使古人，也力图揭开浩阔
苍茫的宇宙的奥秘，寻找变幻莫测的大自然背后的秩序，从混沌中发现规则性。世界各
地的古文明中，都产生了计算季节的精奥历法，都出现了预测日月食的天文律条。
　　伟大的文艺复兴运动和哥白尼日心说的提出，激发起人们探索大自然的勇气和信心
，近代自然科学诞生了。1687年，伟大的牛顿（Newton，Isaac 1642～1727）出版了他
的巨著《自然哲学的数学原理》，以机械运动的三个基本定律和万有引力定律为公理基
础，确立了一个揭示“万物的至理”、结构“世界的体系”的严整的经典力学理论体系
。这个理论简单而精确，普适而优美，对地面物体的各种复杂运动和太阳系内各个天体
的长短周期运动做出了统一的解释，包括落体运动，弹道曲线，波的传播，光的折射，
海洋潮汐，流体涡旋，行星轨道，月球岁差，彗星的行踪，双星的光变等等。牛顿的理
论获得了意想不到的成功，世界一下子变得秩序井然。
　　以牛顿力学为旗帜的科学革命，导致了把宇宙看作是一个巨大的精密机械，或者说
就像一架精确运行的“钟表机构”。因为牛顿力学的核心是牛顿第二定律，它是一个二
级微分方程；这个方程的解，即物体的运动轨道，完全由两个初始条件唯一地决定。就
是说，只要知道了物体在某一时刻的运动状态以及作用于这个物体的外部的力，就可以
准确地确定这个物体以往和未来的全部运动状态。
　　这样，牛顿力学必然导致一个机械决定论的结构，即认为所有的自然现象和自然过
程，都只能按照机械的必然性发生和进行。根据物体间的相互作用和力学的基本定律，
从运动的初始条件出发，就可以巨细不遗地得出宇宙中一切物体的全部运动状态。这是
一个数量的世界，一个可以利用数学方法进行计算的世界。
　　对牛顿理论的最辉煌的证实，是由18世纪天体力学做出的。1705年，牛顿的挚友哈
雷（Halley，Edmund1656～1742）根据他对1682年一颗彗星轨道的观测数据，运用牛顿
的天体运动理论进行了计算，预言它将在1758年末再次出现。1743年，法国科学家克雷
洛（Clairault，A.C.1713～1765）同样用牛顿的理论，计算了遥远的木星和土星的摄动
作用，指出这颗彗星的出现要稍作推迟，它经过近日点的时间在1759年4月。果然，这颗
彗星在1759年的春天又映辉于夜空。这就是著名的哈雷彗星。这是人类历史上第一次在
54年前就准确预言了的一次天体运动现象，极大地增强了对以牛顿理论为代表的确定性
因果规律的信心。
　　对这个经典确定论的信心，充分体现在1812年法国科学家拉普拉斯（Laplace，P.S
.M.1749～1827）关于一个高超“智者”的设想上。他写道：①
　　假设有一位智者，它能知道在任一给定时刻作用于自然界的所有的力以及构成世界
的一切物体的位置。假定这位智者的智慧高超到有能力对所有这些数据做出分析处理，
那么它就能将宇宙中最大的天体和最小的原子的运动包容到一个公式中。对于这个智者
来说，再没有什么事物是不确定的了，过去和未来都历历在目地呈现在它的面前。
　　拉普拉斯的设想实际上是提出了一个令人敬畏的命题：整个宇宙中物质的每一个粒
子在任一时刻的位置和速度，完全决定了它未来的演化；宇宙沿着唯一一条预定的轨道
演变，混沌是不存在的；随机性只是人类智力不敷使用时的搪塞之语。
2．庞加莱关于三体问题的开创性研究
　　科学认识的步伐，走出一条“之”字形路线：“混沌”让位于“规则”——这是牛
顿所建立的伟大功绩；而“规则”又产生出新形式的“混沌”。迈出这一步伐的第一人
，是伟大的法国科学家庞加莱（1854～1912）。
　　庞加莱被誉为是“一只脚站在19世纪，一只脚站在20世纪”的跨世纪天才学者，“
是最后一位传统科学家，也是第一位现代科学家”。这位蓄胡须、戴眼镜、和蔼可亲、
不修边幅、带着心不在焉的糊涂外表的沉思者，却是一位科学上的集大成者，在数学、
天体力学、物理学和科学哲学等领域，都做出了杰出的贡献。他通晓他的时代的全部数
学，在每一个重要分支里都做出了富有创造性的工作。这使他成为世界数学界无可争辩
的领袖。正是这位科学巨擘，在确定论思想浓重笼罩着全部科学界的时候，却把智慧的
眼光投向早被驱赶出科学园地的混沌深渊。他是在研究天体力学，特别是“三体问题”
时发现混沌的。1887年，瑞典国王奥斯卡二世（1829～1907）悬赏2500克朗，征求天文
学中一个重要问题的答案。这个问题就是“太阳系是稳定的吗？”其实这是牛顿本人早
就提出来的一个老问题了。牛顿以当时已观测到的木星和土星运动的不规则性以及彗星
以极扁的轨道横穿所有行星的公转轨道所可能带来的干扰作用为依据，提出了太阳系的
运动可能会陷入紊乱的担心。此后不少科学家都对这个问题进行过探索。直到1784年，
拉普拉斯根据万有引力理论证明，太阳系是一个完善的自行调节的机械机构，行星之间
的相互影响和彗星等外来天体所造成的摄动，最终都会自行得到改正。所以，太阳系作
为一个整体是稳定的，它将无限期地继续做着目前的周期运动。但是看来，拉普拉斯的
答案并没有消除科学界的这个疑虑，没有阻止100年后瑞典国王的悬赏征文。
　　庞加莱自然向奥斯卡国王的难题发起了进攻。但是这个问题是太困难了，它涉及到
了怎样研究复杂动力系统的稳定性这个深刻的问题。连庞加莱这样的天才学者，也未能
彻底攻克它。但是，他却为了做这一工作而创立了一个新的数学分支——拓扑学，并大
大推进了人们对这个历史难题的认识。他因此获得了这项奖金。
　　在太阳系中，包含着十多个比月球大的巨大天体，这是造成解题困难的根本原因。
如果太阳系仅仅由太阳和地球组成，这就是一个“二体系统”，问题则很简单，牛顿早
已完全解决了它们的运动问题。它们的运动是简单而规则的周期运动，太阳和地球将围
绕一个公共质心、以一年为周期永远运转下去；或者稍做简化地说，地球将以太阳为一
个焦点，周而复始地沿椭圆轨道绕转。然而，当增加一个相当大的天体后，这就成了一
个“三体系统”，它们的运动问题就大大复杂化了，要彻底解决这个问题，几乎是不可
能的。对短时间内的运动状态，可以用数值计算的方法来确定；但是由于根据牛顿力学
所列出的方程组不能解析地求解，所以系统长时间的运动状态是无法确定的。
　　为了减少解决“三体问题”的难度，庞加莱着眼于美国数学家希尔（Hill，George
 William 1838～1914）提出的一个极为简化的三体系统，即“希尔约化模型”。三体中
有一个物体的质量非常小，它对其它两个天体不产生引力作用，就像由海王星、冥王星
和一粒星际尘埃组成的一个宇宙体系一样。这两颗行星就像一个“二体系统”一样绕着
它们的公共质心做周期运动；但这颗尘埃却受到两颗行星万有引力的作用，在两颗行星
共同形成的旋转着的引力场中做复杂的轨道运动。这种运动不可能是周期的，也不可能
是简单的，看上去简直是乱糟糟一团（图2）。
　　为了用几何方法直观地描绘运动的情况，可以以描述系统状态的状态参量为坐标张
成的“相空间”来描绘运动过程。某一时刻系统的状态在相空间里用一个点表示；系统
状态随时间的变化，即系统运动方程的解，对应于相空间的一条曲线，称为“相轨道”
；如果物体做周期运动，它的相轨道就是一条闭合曲线；如果曲线不闭合，则表示物体
的运动是非周期的。但是，为了确定系统的运动是不是周期性的，与其自始至终地跟踪
系统运动的全过程，不如只观察系统的相轨道是否总会通过同一相点。设想通过相空间
中一点A（初始状态）作一个横截面（图3），如果系统的相轨道总在同一点A穿过截面，
那么系统的运动就是周期性图3用庞加莱截面考察运动情况：的；相反，如果系统的相曲
线1表示周期运动轨道每次都在不同点穿曲线2为非周期运动过这个截面，它的运动就是
非周期的。这个截面现被称为“庞加莱截面”，它把对连续曲线（相轨道）的研究简化
为对点的集合的研究，相当于对系统的全部运动过程进行不连续的抽样检验，从而简化
了检测工作。
　　
　　庞加莱把他的截面方法应用于“希尔约化模型”的研究，以观察尘埃粒子的运动。
庞加莱震惊了，他发现尘粒的运动如此复杂而且违反直觉。它的轨线多次穿过截面所形
成的交点竟连缀成无穷多交点的“栅栏”（图4，现称为“同宿栅栏”）。他写道：
　　
　　当人们试图描画由这两条曲线和它们的无穷次相交（每一次相交都对应于一个双渐
近解）构成的图形时，这些相交形成一种格子、丝网或无限密集的网栅结构；这两条曲
线从不会自相交叉，但为了无穷多次穿过丝网的网节，它们必须以一种很复杂的方式折
叠回自身之上。这一图形的复杂性令人震惊，我甚至不想把它画出来。没有什么能给我
们一个三体问题复杂性的更好的概念了①。
　　从截面上一点出发的系统，经过一个过程后，当它再穿过截面时，却在另一点交于
庞加莱截面，简直无法预言它下一次将从哪一点穿过截面；实际上系统是以无规的点的
序列频频穿过庞加莱截面的。这就是混沌，庞加莱在“三体问题”中发现了混沌！这一
发现表明，即使在“三体系统”，甚至是极为简化的“希尔约化模型”中，牛顿力学的
确定性原则也受到了挑战，动力系统可能出现极其惊人的复杂行为。并不像人们原来认
为的那样，动力系统从确定性的条件出发都可以得出确定的、可预见的结果；确定性动
力学方程的某些解，出现了不可预见性，即走向混沌。
　　其实，在庞加莱动手解决奥斯卡国王的难题的同一年，即1887年，数学家布伦斯（
Bruns，H.）就已证明，三体问题的9个自由度18个二阶微分方程，只有10个运动积分，
即3个动量积分，3个角动量积分，3个关于质心运动的积分和1个能量积分。1890年，庞
加莱将布伦斯的结论推广到有摄动参数的情况；1892年在他的三卷本《天体力学新方法
》的第一卷第四章中，他对这个定理做出了一般表述：在通常的保守问题中，经典力学
正则方程除了满足能量积分外，不满足其它任何解析、一致的积分。庞加莱的一般性结
论，实质上是指出，可积系统是极少的；许多行为很规则的系统，当受到扰动后，可能
出现不连续性，其参数或初始条件的微小变化，就可能引起复杂的、甚或是性质上的变
化。
　　庞加莱的工作提出了经典力学的确定性原则的适用限度的重大问题，留下了极富启
发性的论断和猜想。不过，混沌问题是太复杂了，庞加莱的时代还不具备揭示和描述混
沌现象的足够的知识储备和数学工具。虽然凭着他超人的几何直觉对混沌的复杂性有所
洞察，但是他并不真的是“不想”画出他所发现的“同宿栅栏”，而是“无法”把它画
出来。这是只有用电子计算机技术才能处理的复杂几何图象。庞加莱的思想是太超前于
他的时代了，所以他的发现在半个多世纪里并未受到科学界的重视；牛顿力学确定性的
帷幕，仍然厚厚地遮蔽着混沌广阔富饶的研究领域。
3．伯克霍夫的工作与KAM定理
　　美国数学家伯克霍夫（Birkh off，George 1884～1944）是20世纪初少数几个认识
到庞加莱动力系统研究工作的重要性的人物之一，他继承和发展了庞加莱的工作。
　　伯克霍夫把庞加莱截面方法用于探索哈密顿系统的一般行为。他发现微分方程的性
质取决于正则级数的收敛性。如果正则级数是收敛的，则微分方程的解位于N维不变环面
上。但实际上级数的收敛、发散与否取决于振幅的大小。当考虑非线性作用时，椭圆不
动点周围的不变环面有些遭到破坏，有些继续存在但有点变形。
　　1932年，伯克霍夫证明，对应于不变环面的消失，存在不稳定区域，它可以被一条
扭曲映射下的不变曲线所包拢，而区域内并无环绕原点的不变曲线。他实际上已经证明
，任意接近外边界的点，在映射作用下可以任意接近内边界，反之亦然。在研究不稳定
区的结构时，伯克霍夫让一个收缩性的扭曲映射作用于两条不变曲线之间的不稳定区域
，结果不稳定区域被映射到一个更小的子区域中；映射的迭代最终把原区域变成了一个
面积为零、结构极其复杂的极限集合，位于原区域中的点的轨迹都收敛到这个集合中去
了。
　　伯克霍夫实际上已经发现了“混沌行为”和现在所说的“奇怪吸引子”的实例，他
当时称之为“奇特曲线”。更值得提出的是，他已经意识到这种行为是动力系统的通有
行为。除伯克霍夫等极少数人之外，几乎没有人沿着庞加莱的道路前进。直到20世纪60
年代以后，对动力系统的研究才有了长足的进展。
　　1960年前后，前苏联数学家柯尔莫果洛夫（Kolmogorov，A.N.）、阿诺德（Arnold
，V.I.）和莫塞尔（Moser，J.）提出并证明了以他们的姓氏的字头命名的KAM定理。这
个定理的基本思想是1954年柯尔莫果洛夫在阿姆斯特丹举行的国际数学会议上宣读的《
在具有小改变量的哈密顿函数中条件周期运动的保持性》短文中提出的。后来他的学生
阿诺德做出了严格的证明，莫塞尔又推广了这些结果。
　　按照分析力学方法，N个自由度系统的哈密顿函数是H=H（p1，p2……pN；q1，q2…
…qN），系统的运动由哈密顿正则方程
　
　　确定。如果能够找到一系列正则变换，从广义动量p1，p2……pN和广义坐标q1，q2
……qN变到另一套作用-角度变量J1，J2……JN和θ1，θ2……θN，使得利用新变量表
示的哈密顿函数只依赖于前一半变量J1，J2……JN，而与θ1，θ2……θN无关，则这个
力学系统就是完全可解的，即为一可积系统。因为这意味着这个系统的行为可化简，归
约为N维环面上的条件周期运动。相反，如果找不到一种变换，使得哈密顿方程只包含作
用变量，则系统是不可积的。实际上，对于多数保守系统，是无法找到这种正则变换的
。
　　KAM定理是关于近可积系统的一个重要的、一般性结论，有十分重要的意义。假定系
统的哈密顿函数分为两部分
　　其中H0部分是可积的，V是使H变得不可积的扰动，只要ε很小，这就是一个弱不可
积系统。KAM定理断言，在扰动较小，V足够光滑，离开共振条件一定距离三个条件共同
成立下，对于系统的大多数初始条件，弱不可积系统的运动图象与可积系统基本相同。
可积系统的运动限制在由N个运动不变量决定的N维环面上，而弱不可积系统的绝大多数
轨道仍然限制在稍有变形的N维环面上，这些环面并不消失，只有轻微的变形，称为不变
环面。不过，只要有非零的扰动，总会有一些轨道逃离不变环面，出现不稳定、随机性
的特征；但只要满足KAM定理的条件，这些迷走轨线是零测度的，不代表系统的典型行为
。
　　大量的计算机数值实验表明，破坏KAM定理的任何一个条件，都会促使迷走轨线增多
，使运动的不规则性和随机性增大，最终导致混沌运动。当然，这运动所遵循的仍然是
决定性的牛顿力学方程式。所以，KAM定理以一个限制性原理的形式，从反面泄露了有关
牛顿力学面目的真实信息。它暴露出，确定性的动力系统，只要精确地从同一点出发，
其运动就是一条确定的轨道；但是只要初始条件有无论多么微小的变化，其后的运动就
会变得无序和混乱，就如同掷骰子一样，是随机和不可预测的。这就是牛顿力学的内禀
随机性。
4．洛仑兹关于气象预报的研究
　　混沌研究上的一个重大突破，是在天气预报问题的探索中取得的。
　　1922年，英国物理学家和心理学家理查孙（Richardson，LewisFry 1881～1953）发
表了一篇题为《用数值方法进行天气预报》的文章。在文章的末尾，他提出了一个异想
天开的幻想：在一个大建筑内，集聚一大批长于计算的工作者，在统一指挥下相互协调
地对影响天气变化的各种数据进行计算。他估计，为了使天气预报和实际的天气变化达
到同步，大约需要64000个熟练的计算者。他设想，在遥远的将来，有朝一日或许有可能
发展出比天气变化还要快的计算手段，从而使天气预报梦想成真。真是先知之见，不到
30年，电子计算机就出现了，并且成功地用于天气预报。在牛顿力学确定论思想的影响
下，当时科学家们对天气预报普遍持有这样乐观的看法：气象系统虽然复杂异常，但仍
然是遵循牛顿定律的确定性过程。在有了电子计算机这种强有力的工具之后，只要充分
利用遍布全球的气象站、气象船、探空气球和气象卫星，把观测的气象数据（气压、温
度、湿度、风力等）都及时准确地收集起来，根据大气的运动方程进行计算，天气变化
是可以做出精确预报的。既然天文学家能够根据牛顿定律，用铅笔和计算尺计算出了太
阳系的未来，预见了哈雷彗星的出没以及海王星和冥王星的存在，勾划出了人造卫星和
洲际导弹的准确轨迹，那么为什么对于风和云就做不到呢？只要有一台功能高超的计算
机来充任拉普拉斯设想的“智者”，天气的变化就会在人们精确的预言中。计算机之父
约翰·冯·诺意曼就认为气象模拟是计算机的理想的用武之地。他甚至认为，天气状况
不仅可以预报，而且是可以人工控制和改变的。美国气象学家、麻省理工学院的洛仑兹
（Lorenz，Edward）最初也接受了这种观点。1960年前后，他开始用计算机模拟天气变
化。
　　洛仑兹有良好的数学修养，他本想成为一个数学家，只是由于第二次世界大战的爆
发，他成了空军气象预报员，使他成了一位气象学家。比起庞加莱来，洛仑兹的条件是
太优越了。他拥有一台“皇家马可比”计算机，它是用真空管组成的，虽然运算速度还
不算快，但在当时已经是很了不起的了。洛仑兹把气候问题简化又简化，提炼出影响气
候变化的少而又少的一些主要因素；然后运用牛顿的运动定律，列出了12个方程。这些
方程分别表示着温度与压力、压力与风速之间的关系等等。他相信，运动定律为数学确
定性架起了桥梁，12个联立方程可以用数值计算方法对气象的变化做出模拟。开始时，
洛仑兹让机器每分钟在打印机上打出一串数字，表示出一天的气象，包括气压的升降，
风向的变化，气温的起伏等。洛仑兹把这些数据与他心目中的预测相对比，感觉到某种
熟悉的东西一次一次地重复出现。气温上升又下降，风向向北又向南，气压升高又降低
；如果一条曲线由高向低变化而中间没有隆起的部分，随后就会出现两个隆起部分。但
是他又发现，这种重复决不是精确的，一次与一次绝不完全吻合。这个结果已经开始向
洛仑兹透露着某种奥秘了。
　　1961年冬季的一天，洛仑兹用他的计算机算出了一长段数据，并得出了一个天气变
化的系列。为了对运算结果进行核对，又为了节省点时间，他把前一次计算的一半处得
到的数据作为新的初始值输入计算机。然后他出去喝了杯咖啡。一个小时后当他又回到
计算机旁的时候，一个意想不到的事情使他目瞪口呆了，新一轮计算数据与上一轮的数
据相差如此之大，仅仅表示几个月的两组气候数据逐渐分道扬镳，最后竟变得毫无相近
之处，简直就是两种类型的气候了。开始时洛仑兹曾经想到可能是他的计算机出了故障
，但很快他就悟出了真相：机器没有毛病，问题出在他输入的数字中。他的计算机的存
储器里存有6位小数，0.506127。他为了在打印时省些地方只打出了3位0.506。洛仑兹原
本认为舍弃这只有千分之一大小的后几位数无关紧要；但结果却表明，小小的误差却带
来了巨大的“灾难”。
　　为了仔细看一下初始状态原本十分相同的气候流程，如何越来相差越大，洛仑兹把
两次输出的变化曲线打印在两张透明片上，然后把它们重叠在一起（图5）。一下子就清
楚地看出来，开始时的两个隆峰还很好地相重叠，但到第三个和第四个隆峰时，就完全
乱套了。这个结果从传统观点看来是不可理解的。



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