Physics 版 (精华区)

发信人: zjliu (秋天的萝卜), 信区: Physics
标  题: (zz)kacmoody谈分数统计(2)
发信站: 哈工大紫丁香 (Thu Mar 11 13:31:56 2004), 站内信件

发信站: 瀚海星云 


      (一)数学根源

      在全同粒子系统中,交换两个粒子坐标的操作用置换群描写.置换群包含
  两个元素,单位算子I(即不做变换)和置换算子P. 将置换算子P作用在系统波
  函数上,很明显,PP=I,由此可知置换算子的本征值为P=+1和-1,其对应的本征
  函数分别是对称的和反对称的,而相应的粒子分别是玻色子和费米子.

      在以前的讨论中,人们只是简单地让两个粒子交换坐标,没有考虑过两个
  粒子交换坐标时所走的路径对统计性质的影响.在三维空间,路径问题是不存
  在的. 考虑甲乙两个粒子,分别位于三维空间中ab两个点,置换两个粒子坐标
  时,甲从a到b,乙从b到a,两条路径组成一条闭合曲线.但无论两条路径的具体
  形式如何,这条闭合曲线总可以连续收缩为一点, 从拓扑学角度讲,它们都是
  等价的,或说所有的闭合曲线属于同一个拓扑等价类.路径的不同不会对置换
  群的表示有任何影响.

      但在二维空间,情况就大大不同了. 考虑平面上的一条闭合曲线,该平面
  上它包围的空间里有一个点,如果我们在三维空间中讨论,那么这条曲线可以
  从该粒子上面绕过而收缩为一点,但如果我们限制在二维空间中讨论,那么这
  条曲线在收缩过程中就不可避免地碰到这个点,从而永远无法收缩为一点.这
  就造成了二维空间中置换两个粒子坐标时粒子所走过的路径并不属于同一等
  价类,从而必须对路径进行分类,而置换群的概念也要推广, 以区分不同等价
  类的路径.

      熟悉拓扑学的网友都知道,描述这一问题的标准数学语言是同伦群.同伦
  群的精确定义比较抽象,我们这里用一个简单的例子来说明. 考虑二维空间,
  由于绕一个点N周的所有闭合曲线都是拓扑等价的, 可以把绕点N周的所有闭
  合曲线组成的等价类作为同伦群的一个元素,很容易验证,它们满足群的定义.
  这个群叫第一同伦群,也叫基本群.

      N 个全同粒子组成的系统,其二维位行空间非常复杂,这个位行空间的同
  伦群是一无限群. 位行空间分成若干不相连的区域,路径分成不相连的分支,
  每个分支作为一个元素组成所谓的辫子群.直观地说,两个全同粒子在二维空
  间中运动, 它们划过的世界线相互缠绕,编成一条辫子,编辫子的不同方式就
  构成辫子群的元素. 与此对应,任意子系统的波函数的Hilbert空间不再是置
  换群的表示,而是辫子群的表示.也就是说,在二维空间里,只用置换群对路径
  分类是不够的,必须用辫子群做进一步的考查.

      第一个把分数统计和辫子群联系起来并给出任意子数学根源的仔细讨论
  的是中科院理论物理研究所的吴咏时[3].

  条曲线在收缩过程中就不可避免地碰到这个点,从而永远无法收缩为一点.这
  就造成了二维空间中置换两个粒子坐标时粒子所走过的路径并不属于同一等
  价类,从而必须对路径进行分类,而置换群的概念也要推广, 以区分不同等价
  类的路径.

      熟悉拓扑学的网友都知道,描述这一问题的标准数学语言是同伦群.同伦
  群的精确定义比较抽象,我们这里用一个简单的例子来说明. 考虑二维空间,
  由于绕一个点N周的所有闭合曲线都是拓扑等价的, 可以把绕点N周的所有闭
  合曲线组成的等价类作为同伦群的一个元素,很容易验证,它们满足群的定义.
  这个群叫第一同伦群,也叫基本群.

      N 个全同粒子组成的系统,其二维位行空间非常复杂,这个位行空间的同
  伦群是一无限群. 位行空间分成若干不相连的区域,路径分成不相连的分支,
  每个分支作为一个元素组成所谓的辫子群.直观地说,两个全同粒子在二维空
  间中运动, 它们划过的世界线相互缠绕,编成一条辫子,编辫子的不同方式就
  构成辫子群的元素. 与此对应,任意子系统的波函数的Hilbert空间不再是置
  换群的表示,而是辫子群的表示.也就是说,在二维空间里,只用置换群对路径
  分类是不够的,必须用辫子群做进一步的考查.

      第一个把分数统计和辫子群联系起来并给出任意子数学根源的仔细讨论
  的是中科院理论物理研究所的吴咏时[3].

标  题: (zz)kacmoody谈分数统计(3)
发信站: 瀚海星云 (2004年03月04日18:22:24 星期四), 站内信件


      (二)基本理论

      由于在BBS上无法显示公式和图像,因此任意子的基本理论将不详细讨
  论,只提及几个结论,具体内容请查阅有关文献.

      研究发现,如果我们为普通带电费米子(或带电玻色子)的拉氏量,添加
  一个具有Chern-Simons形式的相互作用项, 在构造一个奇异的规范变换以
  后, 就能够把服从FD(或BE)统计的带电费米子(或带电玻色子)系统转变成
  服从分数统计的任意子系统.这个新加入的项叫做统计规范项,与通常意义
  下讨论的规范场不同, 纯Chern-Simons理论中的统计规范场没有独立的动
  力学自由度,因而并不描写有独立动力学的粒子,它的唯一作用在于给出分
  数统计所要求的额外相因子.从场方程可以明显地看出这一点:统计规范场
  的场量完全由物质流确定,因此它的方程确切地说是一个约束条件.

      引人Chern-Simons项另一个好处是可以清晰地讨论T,P破缺, 这里T代
  表时间反演,P代表宇称变换. 因此,考查T或P的破缺与否是判断C-S理论是
  否正确的一个重要检验方法.

      (三)实际应用

      分数统计之所以吸引众多物理学家的目光, 除了问题本身的理论意义
  外,最重要的就是它可以用来处理凝聚态物理中的几个重要问题,主要是分
  数量子霍尔效应和高温超导现象.

      1982年,崔崎,Stormer和Gossard等人发现了分数量子霍尔效应, 第二
  年,Laughlin[4]就给出了一个理论解释.他讨论了一个二维电子气体模型,
  指出当Landau能级的填充因子偏离基态能量本征值时, 系统状态可以由某
  种元激发来描写,这些元激发具有分数电荷.Halperin在随后发表的一篇文
  章[5]中指出,Laughlin理论中的元激发准粒子就是服从分数统计的任意子.
  在Laughlin和Halperin的开创性工作之后, 还有其它很多人探讨了用等效
  场理论解释分数量子霍尔效应的可能性,在这些工作中,张守晟,Hansson和
  Kivelson[6]的工作具有相当的重要性. 张守晟从微观Hamilton量出发,导
  出了名为Chern-Simons-Landau-Ginsberg理论, 这一理论所采用的思路和
  方法都与Laughlin理论相差很大,但它们之间是完全等价的.在Laughlin的
  诺贝尔奖演说词中曾提到了张守晟等人的这一工作.

      高温超导材料的发现是八十年代物理学的一件大事, 在这类材料发现
  后不久, 感觉敏锐的Anderson就明确指出了高转变温度超导材料中铜氧面
  的重要性,他预期铜离子之间的磁交换作用可能会在理论中有重要的地位.
  Anderson认为,应以Mott转变作为高温超导理论的出发点,因为超导电性出
  态的准粒子激发是自旋子(spinon)和空穴子(holon),Kalmeyer和Laughlin
  [7]通过比较认为,自旋子和空穴子的行为和任意子相似,服从分数统计.除
  此之外,利用任意子方法处理高温超导现象的工作,还包括文小刚,Wilczek
  和Zee[8]提出的手征自旋态和手征自旋液体概念等. 但是,需要指出,高温
  超导体的问题极为复杂,正常态的反常和超导态的反常都异乎寻常地多,至
  今还没有那个理论能得到大家的公认,甚至如Mott所说," 有多少理论物理
  学家,就有多少高温超导理论".用任意子和分数统计研究高温超导现象,虽
  然已经有了一些结果,但缺乏明确的实验证据的支持,这方面的探讨至今仍
  在进行当中.


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