Physics 版 (精华区)

发信人: zjliu (秋天的萝卜), 信区: Physics
标  题: (zz)LHuy论Quantum Game(3)
发信站: 哈工大紫丁香 (Thu Mar 11 13:35:50 2004), 站内信件

发信站: 瀚海星云 

（三）量子博弈论——量子博弈的开端

量子博弈的第一篇工作出现在1999年的《Physical Review Letters》上 [D.A.
Meyer, Phys. Rev. Lett. 82, 1052 (1999)]。这篇文章通过一个十分简单的“翻
硬币”博弈，使人们第一次看到量子策略在对抗经典策略是所能发挥的巨大威力。


在这个我们称之为“PQ翻硬币”问题的博弈中，P首先将一枚硬币正面朝上放在一
个箱子里，然后P和Q轮流（先是Q，接着是P，再是Q）对硬币进行翻转（或不翻转
）的操作。在这个过程中不允许打开箱子看硬币的状态。轮流操作完成以后打开箱
子，如果硬币正面朝上，那么Q获胜；否则P获胜。这个博弈可以用收益矩阵的形式
表示如下：
----------------------------------------
        NN        NF        FN        FF
----------------------------------------
N       -1        +1        +1        -1
F       +1        -1        -1        +1
----------------------------------------
其中行和列上的标号（N和F）分别代表P和Q的纯策略：F代表翻转（flip over），
N代表不翻转（no flip over）。表中的数字为P的收益：1意味着获胜，-1意味着
失败。比如，考虑第一行第二列表示Q的策略为第一次选择翻转而第二次选择不翻
转，P的策略为不翻转。如果用H表示硬币正面朝上，T表示硬币背面朝上，那么这
是硬币的状态依次为：H，T，T，T，所以P获胜，收益为1。

我们很容易确定P的最优策略：假如他选择不翻转，那么当Q翻转偶数次时，他就会
输；假如他选择翻转，那么当Q翻转奇数次（一次）时，他也会输。因此“PQ翻硬
币”问题没有确定性解，也没有确定性Nash均衡：不存在这样的纯策略组合，使得
参与人无法通过单方面改变策略提高收益。然而，这个问题却存在概率性解。不难
验证，当P以1/2的概率选择翻转，Q以1/4的概率选择他的每一个纯策略时，可以构
成一个混合策略Nash均衡，此时每一个人的期望收益都是0。

在经过了以上分析以后，P认为这个“游戏”是公平的，然而令他不解的是，在和
Q玩过几次以后，他发现自己每一次都输。导致这一结果的根本原因在于Q采用的是
量子策略而不是经典策略，下面我们来看看Q采用什么样的量子策略可以使得他自
己每次有获胜。

这里为了分析问题我们不得不引入Diract记号来表示一些量子态：如果我们用|H>
表示硬币正面朝上的（量子）态，而|T>表示硬币正面朝下的（量子）态，那么一
般而言，这个（量子的）硬币将可以处于这两个态的任意线形叠加态上。在这个博
弈中，硬币的初识状态显然应该是|H>，然后紧接着Q对着硬币进行操作。在经典博
弈中，Q（以及P）要么保持硬币的状态不变，要么将它翻转，使得硬币要么处于
|H>态要么处于|T>态。然而在量子版本的这个博弈中，Q可以使用量子策略；事实
上，Q只要通过一个特定的幺正操作将硬币的态改变到这样一个叠加态|H>+|T>上，
他就可以确定性的每次都获胜。因为P始终是一个经典的博弈者，他不会使用量子
策略，不论P翻转或者不翻转这个硬币，这个硬币的态始终保持在|H>+|T>这一叠加
态上；等到P完成了他的那一步，Q只要实施另一个相应的幺正操作便可以把硬币的
状态还原至|H>上，这也就是为什么P每一次都输的原因。

接下来，Meyer还证明了，上面的这种情况中策略组 {Q所采用的策略，P的任何策
略} 都能够构成一个Nash均衡，其博弈的结果始终是每次都是Q获胜。

最后，Meyer给出了一些量子博弈论的一些基本定理：
定理1：在二人零和博弈中，参与人采用最优量子（纯）策略所获得的收益不会少
于他采用最优（经典）混合策略所获得的收益。
定理2：二人零和博弈不一定存在（量子，量子）型的均衡。
定理3：二人零和博弈至少存在一组（混合量子，混合量子）型的均衡。
证明就不再这里写了，如果感兴趣可以去参考文献。



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