Physics 版 (精华区)

发信人: zjliu (秋天的萝卜), 信区: Physics
标  题: [转载] 引力的全息性质三
发信站: 哈工大紫丁香 (Sat May 24 13:22:18 2003) , 转信

发信站: 瀚海星云 



\subsection{膜宇宙的全息性质}
考虑一个在$n+2$维Schwarzschild-AdS黑洞背景中运动的$n$维膜。为方便，我们重新写

下这个黑洞的度规
\be
ds^2 = -f(r)dt^2 +f^{-1} dr^2 +r^2 d\Omega_n^2 ,
\label{ds6}
\ee
其中$f(r) = 1-{\omega_n M\over r^{n-1}} + {r^2\over l^2}$，$\omega_n = {16\p
i G\over n \Omega_n }$，
$M$是黑洞的质量。而这个膜的动力学由如下作用量决定
\be
{\cal{L}}_b = -{1\over 16\pi G_{n+2}}\int d^{n+1} x \sqrt{-h} K - \int d^{n+
1} x \sqrt{-h} \sigma ,
\ee
标  题: [转载] 三
发信站: 瀚海星云 (Tue May 20 19:22:23 2003)

【 以下文字转载自 Universe 讨论区 】
【 原文由 cloudpine 所发表 】


\subsection{膜宇宙的全息性质}
考虑一个在$n+2$维Schwarzschild-AdS黑洞背景中运动的$n$维膜。为方便，我们重新写

下这个黑洞的度规
\be
ds^2 = -f(r)dt^2 +f^{-1} dr^2 +r^2 d\Omega_n^2 ,
\label{ds6}
\ee
其中$f(r) = 1-{\omega_n M\over r^{n-1}} + {r^2\over l^2}$，$\omega_n = {16\p
i G\over n \Omega_n }$，
$M$是黑洞的质量。而这个膜的动力学由如下作用量决定
\be
{\cal{L}}_b = -{1\over 16\pi G_{n+2}}\int d^{n+1} x \sqrt{-h} K - \int d^{n+
1} x \sqrt{-h} \sigma ,
\ee
这里$h$是膜上的诱导度规，$K$是这个膜嵌入到背景(\ref{ds6})中的外曲率，而$\sig
ma$是膜的张力。
这个膜的运动方程是
\be
K_{ab} = {8\pi G_{n+2}\over n}\sigma h_{ab} .
\label{kab}
\ee
我们提醒读者，不同于第三章所考虑的MDL方法，这里的膜是作为bulk的一个边界。我们

并不考虑
这个边界外的任何物理，而在前面MDL方法中所讨论的情形是膜的两边是可能相同（不同

）的AdS几何。
因此我们的运动方程(\ref{kab})是不同于(\ref{dK})式的。
为描述这个膜的运动，引入参数$\tau$，使得我们有$t=t(\tau)$，$r=r(\tau)$。
但在(\ref{ds6})式中的角部分指标不随$\tau$变化。进一步让
参数满足如下方程
\be
f(r)\left({dt\over d\tau}\right)^2 -{1\over f(r)}\left({dr\over d\tau}\right
)^2 = 1 .
\label{dtdt}
\ee
这里$h$是膜上的诱导度规，$K$是这个膜嵌入到背景(\ref{ds6})中的外曲率，而$\sig
ma$是膜的张力。
这个膜的运动方程是
\be
K_{ab} = {8\pi G_{n+2}\over n}\sigma h_{ab} .
\label{kab}
\ee
我们提醒读者，不同于第三章所考虑的MDL方法，这里的膜是作为bulk的一个边界。我们

并不考虑
这个边界外的任何物理，而在前面MDL方法中所讨论的情形是膜的两边是可能相同（不同

）的AdS几何。
因此我们的运动方程(\ref{kab})是不同于(\ref{dK})式的。
为描述这个膜的运动，引入参数$\tau$，使得我们有$t=t(\tau)$，$r=r(\tau)$。
但在(\ref{ds6})式中的角部分指标不随$\tau$变化。进一步让
参数满足如下方程
\be
f(r)\left({dt\over d\tau}\right)^2 -{1\over f(r)}\left({dr\over d\tau}\right
)^2 = 1 .
\label{dtdt}
\ee
这个方程事实上暗指着这个膜是沿着一根径向类时测地线运动的。由于(\ref{dtdt})式
，在膜上的诱导度规是
\be
ds^2 = -d\tau^2 + R^2 (\tau)d\Omega_n^2 ,
\label{ds61}
\ee
其中$R^2 (\tau) = r^2$。度规(\ref{ds61})描述的正是$n+1$维标准FRW闭宇宙。因此
，一个膜在bulk背景中运动，
对一个在膜上的观察者而言，相当于这个膜世界的膨胀或收缩。在背景(\ref{ds6})中，

这个
膜的运动方程(\ref{kab})被简化到
\be
H^2 = \left({8 \pi G_{n+2} \sigma\over n}\right)^2 -{1\over R^2}f(R) ,
\label{h21}
\ee
其中$H=\dot R/R$，$^\dot$表示对$\tau$的导数。选择膜的张力为
\be
\sigma = {n l \over 8\pi G_{n+2}} ,
\label{sig}
\ee
这相当于使膜上的有效宇宙常数为零。则(\ref{h21})式进一步简化为
这个方程事实上暗指着这个膜是沿着一根径向类时测地线运动的。由于(\ref{dtdt})式
，在膜上的诱导度规是
\be
ds^2 = -d\tau^2 + R^2 (\tau)d\Omega_n^2 ,
\label{ds61}
\ee
其中$R^2 (\tau) = r^2$。度规(\ref{ds61})描述的正是$n+1$维标准FRW闭宇宙。因此
，一个膜在bulk背景中运动，
对一个在膜上的观察者而言，相当于这个膜世界的膨胀或收缩。在背景(\ref{ds6})中，

这个
膜的运动方程(\ref{kab})被简化到
\be
H^2 = \left({8 \pi G_{n+2} \sigma\over n}\right)^2 -{1\over R^2}f(R) ,
\label{h21}
\ee
其中$H=\dot R/R$，$^\dot$表示对$\tau$的导数。选择膜的张力为
\be
\sigma = {n l \over 8\pi G_{n+2}} ,
\label{sig}
\ee
这相当于使膜上的有效宇宙常数为零。则(\ref{h21})式进一步简化为
\be
H^2 = - {1\over R^2} + {\omega_n M\over R^{n+1}} .
\label{h22}
\ee
在方程(\ref{h22})式两边对$\tau$求导数，
我们可以得到
\be
\dot H = {1\over R^2}- {n+1\over 2}{\omega_n M\over R^{n+1}}+{1\over R^2} .
\label{dh2}
\ee
进一步，我们注意到$M$是在坐标(\ref{ds6})中测量得到的黑洞质量，对一个在膜上观
察者而言，他（她）得到的能量是
\be
E = {l\over R}M .
\label{lrm}
\ee
另外，$G_{n+2}$是bulk引力的牛顿常数，即它是$n+2$维引力的引力常数，而对膜上的
$n+1$维诱导引力
而言，其引力常数是
\be
G_{n+1} = {(n-1) G_{n+2} \over l} .
\label{gn}
\be
H^2 = - {1\over R^2} + {\omega_n M\over R^{n+1}} .
\label{h22}
\ee
在方程(\ref{h22})式两边对$\tau$求导数，
我们可以得到
\be
\dot H = {1\over R^2}- {n+1\over 2}{\omega_n M\over R^{n+1}}+{1\over R^2} .
\label{dh2}
\ee
进一步，我们注意到$M$是在坐标(\ref{ds6})中测量得到的黑洞质量，对一个在膜上观
察者而言，他（她）得到的能量是
\be
E = {l\over R}M .
\label{lrm}
\ee
另外，$G_{n+2}$是bulk引力的牛顿常数，即它是$n+2$维引力的引力常数，而对膜上的
$n+1$维诱导引力
而言，其引力常数是
\be
G_{n+1} = {(n-1) G_{n+2} \over l} .
\label{gn}
全一致。
综合前面的讨论，我们看到，膜跨过黑洞视界是一个非常时刻。在这一时刻，
膜宇宙的Hubble熵限制被bulk黑洞熵所饱和；宇宙的温度达到极限温度$T_H$；描述宇宙

中的热
辐射公式与描述膜动力学的Friedmann方程变成完全等价。这个时刻正是前一节中所讨论

的
Verlinde熵限制被饱和的时刻。这反映出描述热辐射为主宇宙的Friedmann方程不知为何

知道充满这个宇宙的
热辐射的熵公式。尽管我们还不能理解其中的深刻奥妙，但是我们尽可以大胆地去猜测
这
肯定与引力的全息性质相关。
这种Cardy-Verlinde公式与Friedmann方程的紧密相关性在其它情况也被证实了，例如在

带荷黑洞背景中的膜宇宙学
和在domain-wall黑洞背景中的宇宙学中。
--
※ 来源:·瀚海星云 bbs.ustc.edu.cn·[FROM: 159.226.161.98]

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全一致。
综合前面的讨论，我们看到，膜跨过黑洞视界是一个非常时刻。在这一时刻，
膜宇宙的Hubble熵限制被bulk黑洞熵所饱和；宇宙的温度达到极限温度$T_H$；描述宇宙

中的热
辐射公式与描述膜动力学的Friedmann方程变成完全等价。这个时刻正是前一节中所讨论

的
Verlinde熵限制被饱和的时刻。这反映出描述热辐射为主宇宙的Friedmann方程不知为何

知道充满这个宇宙的
热辐射的熵公式。尽管我们还不能理解其中的深刻奥妙，但是我们尽可以大胆地去猜测
这
肯定与引力的全息性质相关。
这种Cardy-Verlinde公式与Friedmann方程的紧密相关性在其它情况也被证实了，例如在

带荷黑洞背景中的膜宇宙学
和在domain-wall黑洞背景中的宇宙学中。



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※ 来源:．哈工大紫丁香 http://bbs.hit.edu.cn [FROM: 202.118.229.86]