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发信人: crazy (雪山), 信区: Science
标  题: 哥德巴赫猜想的突破(2)
发信站: 紫 丁 香 (Mon Mar 27 03:28:25 2000), 转信



    艰难的探索
    就在一些著名数学家作出悲观预言和感到无能为力的时候，他们没有料到，或者
没有意识到对哥德巴赫猜想的研究又重新开始。这次进军是从几个方向上发起攻击。
    应该肯定的是，虽然欧拉、高斯等人没有证明哥德巴赫猜想，但是，他们在数论
和函数论方面取得了辉煌的成就，为20世纪的数学家们对猜想的研究提供了强有力的
工具和奠定了不可缺少的坚实基础。
    20世纪的数学家们重整旗鼓，准备继续向哥德巴赫猜想挑战。
    首先，在1920年，英国数学家哈丁和利特伍德开创与发展了堆垒素数论中的一个
崭新方法，这个新方法人们称为Hardy Littlewood Ramanujan圆法。
    “圆法”如果成功的话，是十分强有力的。因为它不仅证明了猜想的正确性，而
且进一步得到了表为奇素数之和的表法个数的渐近公式，这是至今别的方法都不可能
做到的。虽然哈丁和利特伍德没有证明任何无条件的结果，但是他们所创造的“圆法
”及其初步探索是对研究哥德巴赫猜想及解析数论的至为重要的贡献，为人们指出了
一个十分有成功希望的研究方向。
    1937年，伊斯特曼证明：每一个充分大的奇数一定可以表为两个奇素数及一个不
超过两个素数的乘积之和。
    1937年，利用Hardy Littlewood Ramanujan圆法，布赫斯塔勃以其独创的三角和
估计方法无条件地证明了：每一个充分大的奇数都是三个奇素数之和。这就基本上解
决了猜想(B)，是一个十分重大的贡献。
    1938年，中国人华罗庚证明了一般的结果：对于任意给定的整数 R，每一个充分
大的奇数都可以表示为两个奇素数之和加上另一个奇素数的 R次乘积。即：P1＋Ｐ２
＋ＰK3，其中P1、P2、P3为奇数。
    “圆法”对猜想(B)的研究是极为成功的，而用它来研究猜想(A)却收效甚微，得
不到任何重要的结果。
    其次，我们来看一下“筛法”。在提出“圆法”的同时，为了研究猜想( A)，数
论中的一个应用广泛的强有力的初等方法——“筛法”也开始发展起来了。要想解决
猜想 (A)实在是太困难。因此，人们设想能否先来证明每一个充分大的偶数是两个素
因子个数不多的乘积之和，由此通过逐步减少素因子的个数的办法来寻求一条解决猜
想(A)的道路。为描述方便起见，我们以命题(a+b)来表示下述命题：每一个充分大的
偶数是一个不超过a个素数的乘积与一个不超过b个素数的乘积之和。这样，如果证明
了命题(1+1)，也就基本上证明了猜想(A)。
    “筛法”是一种古老的方法，是2000多年前的希腊学者所创造的，目的是用来寻
找素数。由于这种原始的“筛法”没有什么理论上的价值，所以在相当长的时期内没
有什么发展。直到1920年前后，才由数学家布朗首先对“筛法”作了具有理论价值的
改进，从此开辟了利用“筛法”研究猜想 (A)及其他许多数论问题的极为广阔、富有
成果的新途径。布朗对数论作出了重大的贡献，后人称他的方法为布朗法。布朗“筛
法”有很强的组合数学的特征，比较复杂，而且应用起来并不好用，但是，布朗的思
想是很有启发性的。
    1941年，另外一位卓有眼光的数学家库恩首先提出了更好的“加权筛法”，后来
许多数学家对各种形式的“加权筛法”进行了深入的研究，从而不断提高了“筛法”
的作用。
    1950年，赛尔伯格利用求二次极值的方法对古老的“筛法”作出了另一重大改进，
这种“筛法”称为“赛尔伯格筛法”。它不仅便于应用，而且也比“布朗筛法”取得
了更好的结果。
    现代数学家从“圆法”和“筛法”这两个战场开始了向哥德巴赫猜想的进军。在
数学家奋力拼战之后，在这两个方向都取得了重大成果。
    1920年，布朗证明了命题(9＋9)；
    1924年，拉德马哈尔证明了命题(7＋7)；
    1932年，爱斯斯尔证明了命题(6＋6)；
    1937年，瑞克斯证明了命题(5＋7)、(4＋9)、(3＋15)以及(3＋336)；
    1938年，布赫斯塔勃证明了命题(5＋5)，1939年到1940年，他又证明了命题(4＋
4)。
    以上的结果都是用布朗的“筛法”得到的。
    1950年，赛尔伯格宣布用他的方法可以证明命题(2＋3)，但在长期内没有发表他
的证明。后来，人们利用他的“筛法”得到结果：
    1956年，王元证明了命题(3＋4)；
    1957年，维诺格拉多夫证明了命题(3＋3)；
    1958年，王元又证明了命题(2＋3)以及命题(a＋b)，a＋b≤5；
    但是，以上这些结果中，都存在一个共同的弱点，就是我们还不能肯定二个数中
至少有一个为素数。为了得到这种结果，就要证明命题(1＋b)。
    早在1948年，匈牙利数学家兰恩易另外设置了一个包围圈，开辟了另一战场，想
要证明每个大偶数都是一个素数和一个“素因子都不超过六个的”数之和。他果然证
明了(1＋6)。
    1962年，我国数学家、山东大学讲师潘承洞证明了(1＋4)。1965年，布赫斯塔勃、
维诺格拉多夫和数学家庞皮艾黎都证明了(1＋a)。
    此时，离哥德巴赫猜想已经不远了。但是，在这不远的最后路途中，尚未见到这
颗明珠的光辉。
    人们又进入了寂静的等待。

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