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标  题: 第四章 牛顿时代 2
发信站: 哈工大紫丁香 (Wed Aug  6 21:15:57 2003)

质量与重量

    给予物质以惯性并且和重量迥然不同的质量的概念，起初暗合在伽利略的研究成果中

，后来又明显地见于巴利安尼的著作中。巴利安尼是热那亚的弓箭队长、他把质与重加以

区别。在《原理》中，这个分别更加明确。牛顿根据波义耳关于空气容积与压力的实验，

从密度方面达到质量的概念。既然在一定量的空气中，压力p与容积u成反比例，因此，它

们的乘积pu是一个常数，可以用来量度一定容积中空气的质量，或者用原子论来说，代表

压缩在那个容积里的质点的总数。牛顿给予质量的定义是：“用物体的密度和体积的乘积

来量度的、该物体中所含的物质的量”，而力的定义是“一个物体所受到的、足以改变或

倾向于改变该物体的静止状态或等速直线运动状态的作用”。

    牛顿把观察的结果与定义归纳为运动三定律：

    定律一：每一物体都始终维持其静止或等速直线运动的状态，只有受了外加的力，才

被迫改变这种状态。

    定律二：运动的改变（即运动量的改变率ma），与外加的致动的力成比例，而发生于

这种外力所作用的直线方向上。

    定律三：反作用与作用总是相等而相反；换言之，两物体间的相互作用，总是大小相

等，方向相反。

    牛顿所表述的动力学基本原理，支持了这一学科的发展达二百年之久。在1883年马赫

发表他的《力学》第一版以前，没有人对这一表述所依据的假定提出过严格的批评。马赫

指出牛顿的质量定义与力的定义使我们陷入逻辑上的循环论证中，因为我们只有通过物质

对我们的感官所产生的作用才能知道物质，而且我们也只能用单位容积中的质量来作密度

的定义。

    在总结动力学起源的历史时，马赫指出，伽利略、惠更斯与牛顿在动力学上的研究成

果，实际上只意味着发现了同一条基本原理，可是由于历史上的偶然情况（这在一个全新

的学科中是不能避免的），这一条基本原理却用许多貌似独立的定律或词句表达出来。


    当两个物体互相作用，例如靠了其间的引力，或靠了一条把它们连接起来的螺旋弹簧

相互作用时，它们相互产生的反向加速度的比例是一定的，而只决定于这两个物体中的某

种东西，这种东西，如果我们愿意的话，可以叫做质量。这个原理是靠实验建立起来的，

我们可以下一个定义说：两个物体的相对质量，是用它们的相反的加速度的反比例来量度

的，而它们中间的力就是其中任何一个物体的质量与其加速度的乘积。

    这样我们可以摆脱牛顿的质量定义与力的定义中包含的逻辑上的循环论证，而得到一

个以实验为根据的简单陈述。由此可以批导出伽利略、惠更斯和牛顿的许多原理——如落

体定律、惯性定律、质量的概念、力的平行四边形，以及功与能量的等效。

    通过落体的实验，伽利略发现速度与时间成正比例而增加。这样一来，本原的关系就

是：动量的增加，可以用力与时间的乘积来量度，或mv＝ft，即牛顿定律。假使伽利略首

先发现的事实是：由加速度a而来的速度，随经过的距离s，按平方的关系而增加，则这种

关系v2＝2as（实即等于惠更斯的功与能量的方程式：fs＝1/2 mv2），看起来就是本原的

关系了。由此可见，力和动量所以看起来似乎比较简单和比较重要，功和能量的概念所以

稽迟很久才被人接受，主要是由于历史偶然性的缘故。事实上它们是互相关联的，任何一

方都可以从他方推导出来。

    再回到牛顿的定义时，我们还可以用另一个方法逃避逻辑上的循环论证。这个方法虽

然不如马赫的方法完备，对有关的问题却有所阐发。牛顿已经认识到，人们从肌肉用劲的

感觉得到力的机械概念，他本来很可以从这条道路找到一条逃避循环论证的途径。动力学

可以看做是把我们对于运动中的物质的感觉提高到理性水平的科学，正如热学同温暖的感

觉有关一样。我们从空间或长度与时间的经验，得到本原的观念；我们肌肉的感觉同样地

给我们力的观念。这一感官所粗略地量度出来的等量的力，作用于不同的物体时，将产生

不同的加速度，因此我们可以把每一物体的惯性，即对于f力的抵抗，称为它的质量，并可

以说，它是用一定的力所产生的加速度a的反比来度量的。因此m＝f/a。这样，质量的

观念就是从一个心理状态，即我们的肌肉对于力的感觉而来的。也许有人会批评这个方法

把心理学引到物理学中来，但是，指出这样做，就可以免除物理学中逻辑上的循环论证，

却还是有一定意义的。

    在这样得到了质量的明确观念之后，我们就从实验中发现物体的相对质量大致是一个

常数。于是我们可以提出一个假设说：这个近似的常数是严格真实的，或至少有高度准确

的真实性，这样，我们就可以把质量M当作长度L、时间T以外的第三个基本单位。从这个假

设得来的无数推论在J．J．汤姆生与爱因斯坦的时代以前，同观测与实验是高度精确符合

的。所以这个假设是经过充分的验证的，除了非常特殊的情况外，它还是有效的。

    质量既然可以用惯性来量度，剩下来的问题就是找出质量与重量的关系了。所谓重量

也就是把物体拉向地球的吸引力。这问题也为牛顿所澄清了。

    史特维纳斯和伽利略的实验，表明两个重量不同的物体，W1与W2以同样的速度落地。

物体的重量就是地球引力所产生的力，实验的结果证明重力所生的加速度a1与a2是相同的

。根据上面所说的质量的定义，两物体的相对质量m1与m2可用以下的关系来确定：

      m1＝W1／a1及  m2＝W2／a2，

      a1＝W1／m1及  a2＝W2／m2。

    现在我们了解，任何公式的玩弄或任何形而上学的考虑（如经院哲学由亚里斯多德那

里得来的）都不能导出两个自由落体的加速度的关系。等到史特维纳斯和伽利略用落体进

行实验，才证明a1＝a2是一个事实。但是，这一点既经证明之后，从方程式所规定的质量

、重量与力的定义便得：

W1/m1＝W2/m2或W1/W2＝m1/m2

即两物体的重量与它们的质量成正比例。这是一个真正惊人的结果。牛顿指出，这个结果

要求重力必须“是从一个原因而来的，这个原因并不是按照其所作用的质点表面的数量而

起作用（机械的原因常是这样的），而是按照物体所含的实际质量的数量起作用的”。事

实上，牛顿的天文学研究的结果，证明重力的作用必定“贯彻到太阳的中心和行星的中心

，而不丝毫减少它的力量”。

伽利略的实验没有达到，也不能达到很大的精确度。巴利安尼更仔细地重新进行了这个实

验。他从一点让一个铁球和一个同样大小的蜡球同时坠落。他发现当铁球已落了50呎而到

地时，蜡球还差1呎。他正确地解释这个差异是由于空气的阻力，这种阻力虽然对两个球体

是一样的，但对于抵抗重量较小的蜡球更为有效。牛顿对于这个结果更加以精密的考察。

他从数学上证明一个摆锤摆动的时间必定与其质量的平方根成正比，与其重量的平方根成

反比。他又用了不同的摆锤来做仔细而精确的实验，摆锤的大小相同，以使它们所受的空

气的阻力相同。有的摆锤是各种物质的实体，有的是空球装上各种液体或谷类的颗粒。在

所有的情况下，他都发现在同一地点，同长的摆在度量误差的极小范围之内，摆动时间是

相等的。这样，牛顿就以更大的精确度证实了重量与质量成正比的结果，而这个结果本来

是可由伽利略的实验推出来的。

数学方面的改进

    把数理力学应用于天文问题的一个直接结果，便是需要改进研究中所用的工具——数

学。因为这个缘故，刻卜勒、伽利略、惠更斯、牛顿诸人工作的时代，也就是数学知识与

技术进步很大的时代。

    牛顿与莱布尼茨以不同的形式发明了微分学。发明的先后，后来虽有争执，但看来都

是独立发明出来的。变速观念的出现，要求有一种方法来处置变量的变化率。一个不变的

速度可以用在时间t所经过的空间S来量度；不论s与t的大小如何，s/t一量是一定的。但是

如果速度是变化的，那么要找某一瞬间的速度值，只能就一个差不多觉察不出速度变化的

极短的时间来量度在这个时间内经过的空间。当s与t无限地缩小，而成为无限小时，它们

的商数即是那一瞬间的速度，莱布尼茨把这一速度写成ds／dt，而叫做s对于t的微分系数

。牛顿在他的流数法里，把这个数量写作s，这个写法用来不大方便，现在已被莱布尼茨的

写法代替了。我们在这里不过是拿空间与时间来做例子罢了。其实任何两个量，只要是彼

此依赖，都可用同样的方法来处理。x对于y的变化率都可写作莱布尼茨的记法dx／dy或牛

顿的记法x。

    逆转的计算，即微分的总和，或从变率去计算变量本身的方法，叫做积分，常常是比

较困难的工作。在研究某些问题时，如牛顿要从球体中亿万个质点的引力去计算整个球体

的引力，就得用积分法。阿基米得用了类似的方法去计算面积与容积，但他的方法由于远

远超过了他那时代，所以后来就失传了。

    含有微分系数的方程式叫做微分方程式。很多物理的问题都可表达为微分方程式；困

难通常在于求它们的积分，从而求出它们的解答。有一个事实说明牛顿了解这个原理：他

算出了一张数字表，来表达光线在大气中的折射，而所用的方法则无异于列出光线路径的

微分方程式。

    在《原理》中，牛顿把他的结果改成欧几里得几何学的形式，其中许多结果可能是通

过笛卡尔坐标与流数法求得的。微分学迟迟才为人知道；但在莱布尼茨和别尔努利（Bern
o
uilli）所赋予的形式中，微分学却是现代纯数学和应用数学的基础。

牛顿在数学的许多别的分支中也有不少贡献。他确立了二项式定理，提出了很多方程式理

论，而且开始使用字母符号。在数理物理学中，除了已经叙述过的动力学和天文学外，他

还创立了月球运行的理论，算出了月球位置表，由这个表可以预测月球在恒星间的位置。

这一工作成果对于航海有无上价值。他创立了流体动力学，包括波的传播理论，且对流体

静力学作了很多的改进。


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