Science 版 (精华区)

发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 1.1 变化之图 
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年12月26日19:16:52 星期三), 站内信件

在镜子的一面，我们穿越秩序与浑沌之镜鉴世界的旅行开始了，我们将选取最佳角度，
观赏科学家近来所探索的规则系统中出现浑沌的方式。旅程的第一部分有四章，在这里
将重游昂利·庞加莱提出的深刻问题，不过，要从一个新的视角来观察。旅程中还会接
触一些杰伯沃基(杰伯沃基(jabberwocky)是《艾丽丝镜中奇遇记》中一首充满混成词的
难解小诗的名字。经过矮梯胖梯(Humpty Dumpty)解释，艾丽丝才知道诗的奥妙。此诗提
到许多想象的怪异动物，比如“toves”,“rath”等。——译者注)式的怪物，以及艾丽
丝漫游奇境的思想。
 这些奇奇怪怪的图形中的第一张是吸引子。
 吸引子是生活在一种奇特的抽象空间中的“生物”，这种空间叫“相空间”。参观这种
空间相当容易，但是旅行需要一幅地图。实际上，在察看相空间的“地图”、学会识别
潜伏在那里的吸引子的过程中，我们就将离开熟知的秩序世界，接近庞加莱所瞥见的浑
沌的边缘。在那里，在那湍动的边沿上，我们将目睹非线性和反馈，它们跳跃着，好似
极度疯狂的野兽，令人悚然，又有一种美感。这就是奇怪吸引子。哦，我们已走过了头
!
 就从琢磨这些图来开始我们的旅程吧。
 在一座新城市里，为了寻路，我们得搞一张街道图；驱车通过不熟悉的乡村，我们要使
用一张公路图。还有其它各式各样的图：高度程式化的伦敦地铁拓扑图；显示风、温度
和气压的天气图；显示水深和山高的地理图；与其人口或国民生产总值相当的国土面积
图；分子中的电子密度图；或者一种新型疾病在非洲的传播图。图是想象的图画，它使
思想聚焦于实在的主要方面，细节可能被忽略掉了。用一张好图我们可以认识到实在的
某些特性，而用其它方式却不行。不借助于图，事实上我们就没办法探索这个实在。
 比如，远足者和登山者欲探索他们的实在、搞清自己处在何地，要使用一种能展示纬度
、经度和高度的图。类似地，科学家要探索变动中的物理系统——动态系统——的实在
，也要使用一种“图”，设计这种图为的是使动力学过程可视化，监视系统如何运动和
变换。
 设想一位科学家，对一辆从纽约开往华盛顿的小汽车的运动的改变(制动、减速和加速
)感兴趣。显然只刻划汽车在任一时刻的位置是不够的，你需要知道它的速度。科学家可
以画出一张草图，显示汽车运动改变的两个方面。科学家称这虚拟的“图”为空间——
系统的相空间，汽车的运动就表现在这上面。
 相空间由许多维(或变量)组成，科学家要用它们描述系统的运动。对于力学系统，科学
家通常用位置和速度构造系统的相空间。在生态系统中，相空间可能通过不同物种的种
群量来画出。画出系统的变量在相空间中的运动，就展现了通往另外的一个隐蔽实在的
奇妙小径。
让我们发射一枚火箭飞船，看看相空间“图”是什么样子(图1.1)。图上的每一点都是某
一时刻火箭高度和速度(更准确地说是它的动量，动量是质量与速度的乘积)的一张快照
。
 图1.1在A和B之间，火箭从发射塔起飞，速度迅速增加。(实际中加速不一定象“图”上
所画的那么均匀。)在B点，第一级火箭燃烧完毕，由于引力的作用，火箭有点减速。但
是在C点，第二级点火并燃烧至D点，此时火箭挣脱地球对它向下的牵引力，速度保持恒
定。
 如图所见，在相空间旅行看上去不同于在真实空间旅行，正如伦敦地铁图看上去不同于
地铁车厢在铁轨上实际运行一样。图简化了实在，为的是强调某些方面。火箭“图”经
过了相当的简化。
 要看清是如何简化的，只需考察这样一个事实：我们的火箭飞船是一个在三维空间中运
动的物体。为了更加精确，科学家可以设法用一个更加精致的相空间图，捕捉火箭运动
的各个侧面。由于火箭可以在三个不同维上运动，特别是当在外层空间进行调度时，在
每一方向上可以有不同的速度，可以把火箭的相空间设计成有三个空间维，对应于每个
速度方向还有三个维，这样相空间就是(3+3=)6维。
 于是，火箭任一时刻的状态(其特定的速度和位置)就由六维相空间中的一个点给出。火
箭的历程(它是如何运动的)就由相空间中的一条线给出，这条线叫轨道。当然，这样的
多维空间不可能在我们通常的空间中画出来。但是科学家可以画出多维空间的一个二维
或三维截面，数学家非常愿意考察这样的高维空间，并通过奇特的代数以抽象的方式确
定它们的性质。
在许多情况下，物理学家要考察的系统包含多个组分，每一个组分都可以在三个方向自
由运动，并且在三个方向上的速度不相同。因为单个粒子就需要六维的相空间(三个空间
方向，三个速度方向)，一个包括n个粒子的系统就要求6n维的相空间。我们暂时不必考
虑6n维空间这个玄妙概念。这是因为，尽管描述火箭飞船理论上需要维数非常高的空间
，但实际上所有螺帽、螺栓、陀螺仪及其它硬件，都以同一速度运动，并且彼此间保持
恒定的距离。为了描述火箭飞船的运动，我们只需考虑空间的三个方向和动量的三个方
向。
 对于稳定、规则的系统，这通常是对的。尽管观念上它们运作的相空间拥有非常大的维
数，但实际上运动回落到这个大空间的一个非常小的子空间中去了。研究一个系统从有
序到浑沌的运动，在某种意义上说，就是研究这种简单的、受限制的运动如何被破坏，
以至于大自然开始探测由它支配的较大相空间的所有潜在性态。自然系统好似一生都关
在笼子里的动物。打开笼门，它们起初趋向于以一种受约束的方式运动，并不冒险跑很
远，兜来兜去，只做出各种各样重复性的运动。一旦某个稍大胆的野兽摆脱了这种模式
，远远离开囚笼，发现一整个有待开辟的世界，就会以极其不可预测的方式一跑了之。
一会儿我们就将看到，自然系统通常从事着刻板的、重复性的运动，只是在某些临界点
上，才演化出本质上新颖的行为。相空间图正好要用来对这些行为的变化作出分类。

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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