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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标题: 1.2 返回其牢笼的系统
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年12月26日19:17:24 星期三), 站内信件

最简单、最规则的系统是周期地活动的系统，它们一次又一次地返回其初始条件。弹簧
、小提琴弦、单摆、钟表上的平衡轮、双簧管中振动的空气柱、电子琴的输出、昼夜、
汽车发动机的活塞、家用交流电源的电压，所有这些都在振荡，并且都是周期性的。
这些系统来来回回、上上下下、左左右右地运动，每完成一次全振动，它们就返回其初
始位置。于是逻辑上说，无论回归的路途多么复杂，周期系统的运动路径总是返回相空
间中的同一点上。此类系统真正是被关进了牢笼。
描述这些周期系统的一个熟知的例子是嘀哒作响的计时秒摆(图1.2)。摆摇到左边，随
着运动不断减速，直到摆到最高点，在一个无穷小的瞬间摆停下来，随后往回荡，走得
越来越快。当荡到最低点时，速率达到最大值，然后开始往右上方爬，再次减速。摆是
能展示周期性、重复性行为的最简单系统之一。在没有摩擦和空气阻力的情况下，摆会
永远不停地摆动下去。
由于单摆受到约束，来来回回只能在一个方向上摆动，科学家富有哲学意味地说，它有
“一个自由度”。火箭可以在空间的所有方向上自由运动，所以有三个自由度。
我们来画出单摆在相空间图上的路径或轨道吧。首先要搞清荡到左侧时在B处达到最高
点，此刻动量(质量乘以它的速度)等于0，摆幅达到最大限度(最大位移)。在右边还有另
外一点F ，此处摆的动量也为0。
A摆减速
B在最高点处动量为零
C开始回摆，并不断加速
D速率达最大值
E开始减速
F再次达到最高点
G
图1.2
图1.3
图1.4
现在我们来标出另外两个位置——摆处于最低点。这时位移为0，但动量(速率)最大。在
相空间中这两点是D和G。在D点处，摆以最大动量向右运动；在G点处，摆以最大动量向
左运动。
最后我们把相空间轨道画出来，它代表了摆在一个循环中的整个运动。
因为所画的曲线每个循环都不断重复自身，所以单摆的相空间图是一条闭轨道。
如果一开始时就给单摆一个较大的推力，则它的最大位移要变大。实际上，在同一个相
空间图上，我们可以画出同一个摆在不同强度初始推力下的各个运动情形。
图1.5,图1.6
这些圆圈每个都代表了真空中的一个摆。但是在通常的环境下，摆都成了摩擦和空气阻
力的牺牲品，它们最终要减速以至停下来，除非有一个发动机维持它运动。周期轨道的
这种衰减过程也可以用相空间图表示出来。“中心点”代表动量和位移都是0的一个摆—
—处于静止状态的摆。
图1.7,图1.8
实际上地球上的单摆，无论其初始位移有多大，最后总要停止在这个最终“不动点”上
。
因为这个点似乎把轨道都吸引到它上面去，所以数学家称它“吸引子”点或“不动点吸
引子 ”。
吸引子是跨越秩序与浑沌镜鉴世界的一个强有力的概念。吸引子就是相空间的一个区域
，它对系统施加了一种“磁铁般的”吸引力，似乎要把系统都拉向它。
搞清它为何物的另一种办法是，想象一片山丘围住一个山谷的地貌。光滑的圆形岩石将
从山丘滚向谷底。不管岩石从哪开始滚以及以多大速度滚，最终它们都会停在谷底。可
用能量山丘、山谷代替真实地貌的山丘、山谷。自然界的系统都被吸向能量谷而远离能
量丘。
图1.9
可能有这种情况，一片地形有两个吸引子，其间是一“鞍脊”。甚至还有可能出现又高
又尖的山峰，它作为点“排斥子”而存在。在这样的地形中，相空间的轨道将远离排斥
子，而向吸引子运动。在后面的章节里我们将看到，研究湍动与变易的科学家是如何使
更凶猛的吸引子可视化的，那些吸引子折来折去、扭上扭下，充满皱纹，比大脑的沟回
还要复杂。不过，此时我们关心的是驯化的吸引子，它们用来描写经典世界中系统的演
化，这些系统处处显得很有秩序。我们将一步一步地离开这类世界。
比如，我们还是回到单摆。对于现代的钟表，摆纯粹是一种装饰，因为钟表实际上由更
精确的石英晶体驱动。钟表机构里的电子元件给外面的摆一个周期踢蹋。这样一来，摩
擦阻力与空气阻力虽使摆减慢，但周期踢蹋又使之加速。结果，虽然有摩擦和空气的阻
尼效应，摆却以规则的速率摆动。事实上，摆即使偶尔受到额外的推动力或暂时的阻尼
力的作用，它最终也能返回到它原来的摆动韵律。显然这是一种新型的吸引子。摆不是
被吸引到一个不动点，而是被驱动到相空间中的一个环形道路。这种环形道路就叫极限
环，或叫极限环吸引子。
图1.10
我们应当注意的是，虽然〖HTH〗真空〖HTSS〗中的单摆在循环中也没有变化，但摆的
运动实际上与极限环不同，因为小小的扰动就将改变摆的轨道，使轨道扩张一些或收缩
一些。相反，受机械力支援的极限环摆，能抵抗小的扰动。试着把系统放出笼子，它又
返回笼子里去。极限环通过反馈抵抗变化的能力，是紊变科学发现的悖论之一。研究人
员越来越领悟到，大自然有办法把连续变化的事物耦合起来，以镇定系统，有效地〖HT
H〗抵御〖HTSS〗变化。
极限环的一个重要例子是猎食系统。加拿大北部有一个从事皮毛交易的哈德逊湾公司，
这个例子可通过该公司的古老记录反映出来。科学家注意到，哈德逊湾公司发了黄的帐
目表显示，十几年来猞猁狲毛皮与雪鞋兔毛皮收成的好坏在季节上遵循一定的循环模式
，这表明这些动物的种群量以某一确定的周期振荡着。这是怎么回事?
为了理解这一点，我们来看一个湖泊所形成的猎食系统，湖中放养了鲑鱼，其中包含少
量狗鱼。
在第一年里，兴奋的狗鱼意识到，不断增长的鲑鱼可成为它们几乎无限的食物来源。贪
婪的狗鱼繁衍开来，年复一年，湖中狗鱼的数目膨胀起来，但这是以消耗鲑鱼为代价的
。
图1.11
这个时候，狗鱼的主要食物来源减少了，湖中狗鱼繁殖得过分多，这些鱼不久就开始减
少。
图1.12
若干年后，随着狗鱼数量的减少，鲑鱼又不断繁殖，再次占居了湖泊。结果数目不多的
这些狗鱼又有了足够多的食物，它们数量再次增加。就是以这种方式，狗鱼的数目与鲑
鱼的数目，捕食者的数目与被捕食者的数目，来回振荡着，形成一种周期，使得每隔几
年狗鱼的数目下降、鲑鱼的数量达到高峰。
图1.13在极限环内螺旋线向外旋，在极限环外螺旋线向内旋，这分别表示了如果你加入
一些鲑鱼或者如果疾病杀死了许多鲑鱼会出现的情况。过一段时间，系统会返回原来的
极限环。
科学家仔细研究了这种猎食系统，并证明，在这个循环的任意处，如果你往此湖泊中投
放一定量的鲑鱼，鲑鱼的数目最终会回落，一直达到原来的极限环。或者，如果某种疾
病杀死了一些鲑鱼，这种鱼的数量还会一点一点增长上来，达到原来的极限环。由鲑鱼
和狗鱼或猞猁狲和雪鞋兔组成的猎食系统，在动力学上具有惊人的稳定性。
单摆是简单系统，但猎食的情形已经比较复杂了。它是许多个体的集合体，每一个个体
的行为好象都很随机，却创造了高度稳定的有组织的系统。(事实上，这种极限环的稳定
性真是有点神秘。个体的随机行为如何能产生这种可预测的结构?在穿越到镜子的另一面
、看到秩序如何从浑沌中涌现之前，我们对这个问题还不能给出一个圆满的回答。)
图1.14
极限环并不总是限于单一的周期性。我们也可以找到描述包含三个变量(如鲑鱼、狗鱼
和钓鱼人)的系统之运动的极限环(图1.14)。这个极限环处于高维相空间中。我们还可
以看到两个分离的彼此又相互作用的极限环。这经常出现在电子线路中和有竞争的猎食
种群中。为了看到这种耦合的极限环系统，可以想象两个不同的、都有发动机的单摆A
和B的输出。如果忽略单摆A，则单摆B的运动就是一个简单的极限环吸引子。
图1.15 相空间由三个变量(鲑鱼、狗鱼和钓鱼人)构成，极限环稍微复杂一些。这样考
虑：鲑鱼的数量不但受狗鱼数量的影响，而且受到可以捕食这种鱼的钓鱼人的人数的影
响。于是湖泊中鲑鱼的数量以两种方式变化。如图所示，极限环以两个频率振荡。
类似地，如果忽略单摆B，则A的运动将是一个简单的极限环吸引子。
图1.16,图1.17
但是，如果两个单摆相互作用，则相空间的尺度就会增加，先前独立的极限环变得紧密
相联。就好象环A被环B以圆圈缠绕一般。一个环被另一个环缠绕的结果就生成了类似汽
车轮胎的东西，数学家叫它“环面”。这里，代替两个相互作用的单摆，我们还可看到
两个相互作用的猎食系统。比如，鲑鱼-狗鱼环可能与湖泊中的一个昆虫-青蛙环相互作
用。画出这个增大了的两极限环系统的动力学过程，就得到了一个环面吸引子。图1.1
8
环面吸引子是比其两个兄弟极限环与不动点吸引子更发达、更复杂的东西。单摆的状态
由一维的点描述，点在二维相空间中转来转去，形成一个吸引子。两个摆的组合状态也
由一个动点描述，该点在环面的表面上形成二维的吸引子。这种缠绕着的二维环面所居
住的相空间有三维。数学家有办法对付任意维数的环面。也就是说，完全有可能把振子
玩具店的所有东西，或猎食关系的整个生态系统，耦合起来，并在一个多维环面的表面
上表示出它们的组合运动。
环面对于想象多自由度系统也是有帮助的。这就是说，一只单摆或振子只能在一个维度
上来回运动；但是当放松摆的悬挂系统，摆又可以左右运动，现在整个运动就处在了两
个方向上。对于物理学家来说，这样的振动系统有两个自由度，它是两个耦合一维振子
的孪生：两自由度系统的振动也可以用环面表面上的点的运动来描述。多维相空间中的
环面正可以用来描述发生在行星系统中的规则变化，一种明显钟表式的变化。
图1.19
一对振子的耦合运动，不管它们是行星或单摆或猎食环，都可视为一条线绕环面旋转，
这表明环面表面本身就是吸引子。现在我们把摄影机镜头推向环面，贴近环面瞧瞧细节
。
如果两个耦合系统的周期或频率成简单比例，比如一个是另一个的两倍，轨道绕环面旋
转会精确接合起来，表明组合系统是严格周期性的。
图1.20
还有另外一种形式的耦合振荡行为。这里各个频率之间不成简单比率，数学家称此比值
为“ 无理的”。与“正反馈、负反馈”的叫法类似，这只是一个名称而已，不代表
一种价值判断。有理数，比如1/2，1/4，3/4等，总可以用有穷位小数0.5,025,075
表示，或者用简单的循环小数表示，如1/3=0333333…。相反，无理数不能写成简单的
比率，它的小数表达式包含无穷多位，并且没有重现的模式。无理数中的数字排列没有
规则。当组合系统具有无理频率时，代表组合系统的相空间中的点环绕环面旋转，自身
却永远不会接合起来(图1 20)。这样的系统看起来几乎是周期的，却永远不精确重复
自身，顺理称作“准周期的” 。数学家已经证明，存在无穷多个有理数，但是更有无穷
多无理数，并且无理数的无穷是无限大的无穷。于是看起来，准周期的系统似乎充斥了
宇宙。
19世纪的科学家，如瑞利勋爵(Lord Rayleigh)，和20世纪的工程师，如杜芬(Duffing
)与范德坡(van der Pol)，研究了各式各样的准周期系统，它们能展示绕各种形状环面
运动的极限环。这样的环是在耦合弹簧和摆、研究乐器、校准电路振荡时发现的。
至此，我们注意到，用上述吸引子描述的自然现象还是相当规则的。系统或者慢慢衰减
到不动点吸引子，或者举止规范地绕某环形曲面以极限环吸引子的形式振动。这是一种
经典世界，在此科学家甚至可以提前相当长时间预测极复杂的系统的行为。科学家还提
出了“渐近可预测性”的观念，意思是说，即使他们不知道系统在某一时刻的精确位置
，他们都确信：不管观察多久，系统状态点都在环面表面上的某处运动着，并且不是无
规则地在相空间中游荡。

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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