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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标题: 1.3 探索庞加莱点
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年12月26日19:17:44 星期三), 站内信件

不过，我们已经看到了，庞加莱通过发现牛顿力学中的黑洞，给预测投下了定时炸弹。
牛顿证明，行星绕太阳的运动以及月球绕地球的运动，恰好是精确可解的、环面形状的
二体问题。但是庞加莱问，如果你给这种描写加上额外行星的某种作用，会出现什么呢
?通过把牛顿力学拉扯到三体或多体，庞加莱发现了非线性、不稳定性以及早期浑沌的潜
在力量。
直到1954年，苏联科学院院士柯尔莫哥洛夫(A.N.Kolmogorov)的一个工作结果面世，庞
加莱的发现才被完全理解。柯氏的结果随后被另两位俄罗斯科学家弗拉基米尔·阿诺德
(Vladimir Arnold)和莫泽(J.Moser)所补充，三人合称KAM。
在考察KAM发现了什么之前，我们应当说明的是，庞加莱所质疑的那种物理学今天仍然
被讲授着。物理学家还发现，它有助于以一种抽象的、数学的方式去分解一个复杂系统
。于是他们在数学上把多个行星的轨道、劲风中的桥梁或运转的电机重新装配成一组简
单的振荡，象一系列耦合在一起的单摆，可在某种维数的一个环面上加以描述。
一开始科学家相信，理论上对于所有复杂系统都可以作这种还原论式的分析。他们确信
，为了考虑另外的耦合振荡，所需的校正将是很小的，不会以根本的方式影响环面的图
象。庞加莱的“稀奇古怪的”效应或许是例外。那种古怪的情形是，甚至最小的附加项
，即第三体的最轻微的引力拖曳，也能使系统的行为产生巨大的差别，约束在环面上的
规则运动将变得剧烈浑沌。
庞加莱的发现意味着整个宇宙是潜在浑沌的吗?蕴涵着小数点不能消掉的那种分数?KAM
作出了响亮的是与非的回答。
由他们的计算得出结论，如果满足下述两个条件，太阳系的运动不会解体。
第一，第三个行星的扰动(摄动)或影响不大于远在澳大利亚的一支苍蝇的引力吸引。物
理学家希望他们可以优化KAM定理，以证明比苍蝇大的摄动也不影响轨道(他们仍在做这
方面的研究)。
阻止太阳系解体的第二个条件要求，相关行星的行星“年”不具有简单的比率，如1:2
或1 :3或2:3等。换句话说，要保持稳定，行星必须是准周期的，即它们的组合轨道绕环
面转过来又转过去，但永远不接合。在这种情况下，即使有第三个行星的比苍蝇大很多
的摄动，轨道也能保持稳定。
但是当行星年恰好形成简单比率时，会发生什么?此时环绕环面的路径接合了，意味着
对每一轨道的摄动效应被放大了。结果是一种共振，类似于放大器中的正反馈，小的原
因随时间不断放大，产生了非常大的结果，一种浑沌的尖叫声。数学上这种放大作用会
导致环面表面在相空间中胀破。行星仍然被吸向环面，并设法到达它，经过努力后浑沌
地盘旋着，直到最后轨道绷断，行星飞入太空。
所有这些都根据庞加莱-KAM的数学理论。是否有证据表明，浑沌对秩序的这样一种镜鉴
世界的入侵，实际上在我们太阳系宏伟的天体力学中已经发生了呢?
真是不可思议，当科学家作如是观时，他们发现小行星带的缝隙恰好处于这样的位置：
木星的年与小行星的年构成简单的比率。缝隙表明，任何恰好位于那个轨道上的行星，
都会被迅速抛向太空。
麻省理工学院的杰克·威兹德姆(Jack Wisdom)仔细考察了“旅行者”号宇宙探测器的
最新结果，认识到太阳系的许多“卫星”必定在某一时候已经历了一种浑沌运动的阶段
，然后通过定位于准周期轨道，被稳定下来。土卫七是土星的一个准球形的翻滚着的卫
星，看起来目前它就处于浑沌阶段。
威兹德姆还用KAM理论解释陨石坠落地球。科学家认为这一大堆物质必源于小行星带。
但是它们是如何到达地球的?通过考虑木星和土星的组合引力影响，威兹德姆证明，那些
漫游到共振条件的小行星，轨道偏心行为加剧，最终会被抛向我们。
在土星环中也发现了轨道中的缝隙。这里非线性(正反馈)相互作用是由土星的内卫星引
起的。环系统中的缝隙对应于，环的旋转周期与摄动卫星的周期之间有简单比率。这一
点既显示环具有相对长期的稳定性，又显示它们中某些轨道具有不稳定性。(所有这些都
展示了KAM定理的动人魅力。不过，应当强调的是，土星环的问题相当复杂，目前许多理
论正在通过计算机模拟而经受检验。)
在不稳定之中还有更惊人之处。当仔细研究类似小行星带或土星环的行星轨道中的缝隙
时，发现了镜鉴世界奇特的数学结构。缝隙中有缝隙，好似物体放在两面镜子之间出现
的级联反射。
比如在土星环中，卫星与环之间较大尺度的缝隙，又在大量环物质之间较小尺度的缝隙
中反映出来。
数学上这意味着，环面分解成一些越来越小的环面。其中一些稳定，但另一些不稳定。
每对环面之间的区域里镶嵌有更小尺度的不稳定轨道。因此在那些区域里，轨道频率有
简单比率关系，系统展示了极端的复杂性。
图1.21注意缝隙，环状秩序中穿插着浑沌
事实上，我们刚才讨论的轨道的情形，只是让我们先瞥一眼风行科学界的一种新认识。
在这种新认识里，随机性与秩序性交叠着，简单性内蕴着复杂性，复杂性聚藏着简单性
，秩序和浑沌在越来越小的尺度上不断重复着——浑沌科学家称此现象为“分形”。
确实，物理学家开始认识到，太阳系并不象牛顿时代所描绘的那种相对简单的机械时钟
，而是一个不断变化的、具有无限复杂性的系统，能出现出乎意料的行为。于是，我们
又回到庞加莱的问题。所有这一切说明，甚至太阳系也要面临死亡的威胁、行将完结吗
?
回答是，小小的摩擦就可能足以引起出现那种情况。
谈论行星的摩擦似乎有点不可思议，然而地球的潮汐耗散着地月系统的能量，木星稠
密的大气与其卫星之间的摩擦也会导致能量耗散。行星上的摩擦力缓慢改变着行星和其
卫星的轨道，以至于经过几百万年轨道就逐渐飘移了。很可能这种运动把它们带到接近
潜在浑沌的区域。太阳系是稳定的吗?庞加莱这样问过。当代浑沌学家发现，令人不安的
是，他提出的这个问题尚未解决。
不过，如果太阳系确实会解体，落入浑沌，并且如果有活着的数学家去观察它，那么他
们总会知道原因的。罪犯将是黄帝的恶梦，一种根本不同于点吸引子、极限环或环面的
镜鉴世界妖物。科学家已了解到，这种镜鉴界吸引子是内在矛盾的。生成它的那些系统
跳来跳去，其行为不显示任何可预测的模式。它们是浑沌的。不过，我们最终可以看到
，在它们的混乱里，存在一种形态。这些系统所趋向的吸引子是相空间的一类有组织的
无组织性——所以科学家们说它“奇怪”。

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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