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标  题: 附录1  谬误归约论和２的平方根 
发信站: 哈工大紫丁香 (2002年03月19日20:12:33 星期二), 站内信件

 【三思言论集】→【三思藏书架】→《宇宙》 　　　　　　　　〖本书由碧声扫校〗
　　　　　　附录1  谬误归约论和２的平方根

　　毕达哥拉斯学派关于2的平方根的无理性的原始论证称为谬
误归约论。谬误归约论指的是先假设一种说法是真实的，顺理推
论，出现矛盾，从而证明该说法是虚假的。兹以现代的实例说明
这个理论，即20世纪的一个大物理学家玻尔的一句名言：“一种
伟大思想的对立面也是一种伟大的思想。”徜若这个说法是正确
的，则推论下去难免要承担一点风险。以黄金定律为例，或者以
劝阻撒谎或“你不能杀人”为例，考虑它们的反论，就会明白了。
也可以先认定玻尔的名言是一种伟大的思想，那么，这个说法的
对立面呢，即“一种伟大思想的对立面并不是一种伟大的思想”
也一定成立。这就是谬误归约论的论证过程。徜若反方的说法是
虚假的，则这一名言并不会耽误多少功夫，因为这等于自我承认
并非伟大的思想。
　　下面，根据谬误归约论，用现代论证法论证2的平方根的无
理性。论证中只要用到简单的代数法，不必要用到毕达哥拉斯学
派发明的几何论证法。论证的风格和思维的方式至少和结论一样
引人入胜。
　　设边长为1个单位（该单位无论是厘米、英寸还是光年都无
所谓）的正方形，对角线BC分正方形为两个直角三角形。根据毕
达哥拉斯学说，在这样的直角三角形中，12+12=x2。因为
12+12＝1+1=2，由此推及x＝2的平方根。假定2的平方根
（21/2）是一个有理数，21/2=p/q，式中p和q均为整数。
p和q可以代表任何整数，也可以无穷大，当然也可以认为p和q没
有公因子。设p=14，q=10，得21/2=14/10，分子分母都除以2，
得p=7，q=5，而不再是p=14，q=10。在任何计算中，分子分母的
公因子都要先除掉。p和q可以选用任何数。把 21/2=p/q两边
平方，则得2=(p2)/(q2)。两边两乘以q2，则得：
　　p2=2q2　　　（式1）
　　据式1，p2一定是乘以2的某个数，故p2是一个偶数。但是，
奇数的平方一定是奇数（如12=1，32=9，52=25，72=49）。
所以，p本身一定是偶数，可以写作p=2s，式中s为一个整数。把
p代入式1，得：
　　p2=(2s)2=4s2=2q2
　　最后等式的两边都除以2，则得：
　　q2=2s2
　　因此，q2也是一个偶数。证明过程如上，则q本身也是一个
偶数。要是p和q都是偶数，都可以除以2，那么这两个数都没有
归约到最小公因子，这和论证前的假设是矛盾的。这里谬误得到
归约。但是，哪一个假设是谬误的呢？论证过程中并没有规定公
因子不可归约，也没有规定14/10可以归约，7/5不可以归约。所
以，原始的假设一定是谬误的。p和q不可能是偶数：2的平方根
是无理数。事实上21/2=1.4142135……
 　　这个结论真是出人意外！证明过程真是奇妙！但是，毕达
哥拉斯学派却感到难受，千方百计要掩盖住这个伟大的发现。
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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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