Science 版 (精华区)

发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 附录2 毕达哥拉斯学派的五面体 
发信站: 哈工大紫丁香 (2002年03月19日20:13:00 星期二), 站内信件

附录2 毕达哥拉斯学派的五面体

　　正多边形（多边形的英语在希腊语中是多角体的意思）是一
个具有n个等边的二维物体。因此，n＝3时，是一个等边三角形；
n＝4时，是一个正方形；n＝5时，是一个五边形如此等等。多面
体（希腊语的含义是多边的）是一个三维的物体，组成多面体的
各面都是多边形。例如，立方体由六个正方形组成。简单的多面
体，或者说正多面体，是没有空洞的。毕达哥拉斯学派和开普勒
研究的本质问题是世界上只能有五面体，而且是正五面体。最容
易的证明方法是用毕达哥拉斯的后辈笛卡尔和欧拉发现的关系式。
该关系式把正多面体的面的个数F，棱的个数E和顶角的个量V联
系起来：
    V－E＋F＝2                                 （式1）
    所以，立方体有六个面（F＝6）和8个项角（V＝8）；代入
式1，得 8－E＋6＝2，即V14-E=2，E=12。式1计算结果立方体有
12个边，立方体果然有12个棱。本书文献目录中列出的Courant
and Robbins的著作中用简单几何方法证明了式1。根据式1可以
证明世界上只能有正五面体。
    多面体的任何一个棱均为相邻的两个多边形的边所共有。再
以立方体为例，立方体的任何一个棱都是两个正方形的共边界。
如果把一个多面体的所有面的所有边（nF）都计算一遍，则每一
个棱都要两次计算。因此：
    nF＝2E                                     （式2）
　　以r代表一个顶角的共有边的个数，则在立方体中，r＝3。
同理，每一个边都具有两个顶角。如果把所有的顶角（rV）都计
算一遍，则每一个顶角也都要计算两次。因此：
    rV＝2E（式3）
    把式2和式3代入式1，则得：
    2E/r-E+2E/n=2
    两边都除以2E，则得：
    1/n+1/r=1/2+1/E（式4）
　　已知n等于3或大于3，因为最简单的多边形是具有三条边的
三角形。已知r等于3或大于3，因为至少要三个面夹一个顶角才
能构成最简单的多面体。若n和r同时都大于3，则式4的式边得数
则要小于2/3。这样，只要E是正数，式4则不成立。于是，再根
据谬误归约论，则只能出现两种情况，即或者n＝3，r等于或大
于3，或者r＝3，n等于或大于3。
    若n＝3，式4则变化为（1/3）+（1/r）=（1/2）+（1/E），或下式：
    1/r=1?e+1/6（式5）
    据此，r只能等于3、4或5。如果r（原文为E。根据上下文，
应为r。——译者注）等于或大于6，则式5不成立。于是，n＝3
和r＝3是由 3个三角形共有一个项角构成的多面体。根据式5，
这个多面体有6个棱；根据式2，这个多面体有4个面；根据式3，
这个多面体有4个顶角。显然，这是一个金字塔或四面形。n＝3
和r＝4是一个具有8个面的多面体，其中4个三角形共有一个项角，
即八面体。而n＝3和r＝5是一个具有20个面的多面体，其中5个
三角形共有一个顶角，即20面体（参见本书第53页）。
    若r＝3，则式4变化为：
    1/n=1/E+1/6 ，
    同理可得，r也只能等于3、4或5。若n=3，则又是一个四边
形；n=4，则是由六个正方形组成的多面体，即立方体；n＝5，
则是由12个五边形组成的多面体，即12面体。
    综上所述，除了3、4和5外，n和r不可能是其他整数。因此，
世界上只能有正五面体。这就是用抽象而漂亮的数学方式推导出
来的结果，而这个结果，正如大家都看到的，对人类社会曾经产
生过巨大的影响。

--
心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

※ 来源:·哈工大紫丁香 bbs.hit.edu.cn·[FROM: 202.118.229.154]