Science 版 (精华区)

发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》13
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日17:24:13 星期六), 站内信件

第一章 分形故事多
1.10 分数维数：从拓扑维到度量维
    整数维数是整数，这还好理解，原来我们知道的整数维数是拓扑维数，只能取整数
，维数表 示描述一个对象所需的独立变量的个数。在直线上确定一个点需要一个坐标，
在平面上确定 一个点得用两个坐标，在三维空间中确定一个点得用三个坐标，等等。
    除拓扑维数外，还有度量维数，它是从测量的角度定义的。原来的维数也可以从测
量的角度 重新理解。为什么要发展测量维数的定义?其实维数概念并不是从天上掉下来
的，都有“操 作”的成分，都可以从操作的角度说明。学过数学的人都知道，积分理论
从黎曼积分发展到 勒贝格积分，就是因为引入了“测度”这一概念，这一举动克服了传
统积分理论的许多缺陷 ，扩充了所研究的函数的范围和极限的意义。后来柯尔莫哥洛夫
(A.N.Kolmogorov，1903-19 87）将勒贝格测度引入概率论，又为概率论奠定了坚实的基
础。
    分数维数并不神秘。我们首先说明，从测量的角度看，维数是可变的。
    看一个毛线团。从远处看，它是一个点：0维的，好比在广阔的银河系外宇宙空间看
地球， 地球的大小可以忽略不计。再近一些，毛线团是三维的球，好比进入太阳系后，
乘航天飞机 在太空沿地球轨道飞行。再近一些，贴近其表面，它是二维的球面，甚至二
维的平面，这好 比我们站在旷野上环顾左右或者站在草原的小山丘上向四周眺望。
    再近一些，看一根毛线，它是一维的线。再细看，它是三维的柱体。再近一些，它
又是二维 柱面或者二维平面。
    再接近，看毛线上的纤维，它又是一维的。再近则又变成三维柱了……
    所以说对象的维数是可以变化的，关键是我们从什么尺度去观察它、研究它，一旦
尺度确定 了，对象的维数就确定了。反过来，不规定尺度，问一个对象的维数，其实很
难回答。这正 如问海岸线的长度一样,只有告诉用什么样的刻尺去测量，才能得到明确
的结果。
    作为整数的拓扑维，在拓扑变换下是不变的，所以拓扑学也叫“橡皮几何”，拓扑
空间可以 像橡皮一样任意拉伸，只要不发生粘连和撕断。对于分形对象，仍然可用拓扑
变换来考察， 但也可以用别的更好的、更形象的办法考察。分形体有许多空洞，像冻豆
腐一样，用空间充 填的办法测度它，是一个好主意。
    从测量的角度重新理解维数概念，就会自然地得出分数维数的概念，实际上1919年
豪斯道夫 已经作了这种推广。我们看一个例子。
    一根线段L，它是一维的，取单位长度A，将它的线度(边长)扩大到原来 的三倍，看
看能得到几个原始对象(单位长度为A的线段)。显然得到三个：
L→3L=3^1*L.
    再看平面上的一个正方形P，边长为A，假设仍然将其线度(边长)扩大到 原来的三倍
，则得到9个正方形：
P→9P=3^2*P.
    对于三维空间上的正方体V，边长为A，假设仍然将其线度(边长)扩大到原来 的三倍
，则得到27个立方体：
V→27V=3^3*V.
得到的总个数可以表达为关系：
M=B^d,
其中B指放大倍数，M是总个数，d相当于对象的维数。上式换一种写 法，就有：
d=logM/logB，
其中指数d相当于维数。
    以上是从放大的角度看问题，还可以从反面理解：从“铺砌”的角度看，对于给定
的对象， 用很小的单元块ε充填它，最后数一数所使用的小单元数目N。改变ε的大小
，自然会得到不同的N值，ε越小，得到的N显然越大 ，ε越大，得到的N就越小。将测
到的结果在“双对数”坐标纸上标出来， 往往会得到一条直线，此直线的斜率的绝对值
就是对象的维数d。用数学关系表达就 是：
d=lim(ε→0)logN(ε)/log(1/ε) =-lim(ε→0)logN(ε)/logε.
在双对数坐标纸上绘出数据点，进而看看数据是否呈直线关系，或者可以分解为几段直
线, 然后求出直线的斜率，这个斜率的绝对值就代表维数。
    这是最简单的“计盒维数”，现在已经有许多种维数计算公式，如容量维、柯尔莫
哥洛夫维 、信息维、关联维、雷尼(A.Renyi)维等等。用得最多的是关联维。关于分数
维的计算，可 用下面的打油诗来描述：
　
山重水复疑无路，
分数维数新测度。
幂律关系显结构，
标度变换双对数。

--
心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

※ 来源:·哈工大紫丁香 bbs.hit.edu.cn·[FROM: 202.118.229.154]