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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》24
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:00:57 星期六), 站内信件

第三章 计算机上作图
3.1 数的哲学
    开始先谈些似乎不搭边界的东西，但它们确实是有用的。
    科学与艺术的交融最终是通过数学完成的，而数学一开始就是关于数字的科学。数
数和对数 做加减乘除是初等教育的重要内容。[1987年在北京大学院内一个青年曾兴致
勃勃地对我说 过：“将来我儿子只教会他数钱就够了!”不知怎地，我时常想起那情景
。]人们对“数”本 来不陌生，而对“数字化”却多少有些恐惧。什么是“数”?
    这类问题太简单了，也太复杂了，似乎只有少数“无聊”的哲学家关心。其实不然
。我们处 于一个数字化的时代，人人都应重新思考“数”的含义、意义。
    我们在生活中随心所欲地使用各种数字，比如我们说：“7是一个质数”；“前面走
来4只动 物，其中1只是羊，3只是鸡。”这里7、4、1、3的用法是不同的，大致可分为
两类：7与4、 3、1。7作为专名出现；而4、1、3作为修饰词出现，但并不同于“大”、
“红的”、“重” 之类形容词。著名逻辑学家弗雷格深入研究了数的哲学，曾著有《概
念文字》、《算术基础 》和《算术的基本规律》。他一生中都关心数、研究数。他指出
数与颜色、重量、形状等等 是不同的，数直接表达的不是实存对象的性质，而是概念的
性质。
    弗雷格这一思想是极其重要的，它将人类的概念划分出等级层次。通过这一思想，
我们认识 到，一些原始人类的抽象能力也是很发达的，因为原始人也开始自由地使用数
字表达事物。由“三只羊”、“三条狗”、“三个果子”抽象出一般的数字“3”，是人
类区别于动物的 一个很特别的能力，在科学史上有重要意义。
    数是对“类”的限定，数的承载者是“概念”。“前面走来4只动物，其中1只是羊
，3只是 鸡。”这句话中“4”对“动物”这个“类”作出限定、描述，“动物”是人抽
象出来的一 个概念，4修饰动物概念，而不是动物本身。因为概念内涵和外延不同，所
以对动物、羊、 鸡三个概念才有4、1、3等不同性质。
    对于解释自然数1、2、3等，[现在流行的自然数的理论源于皮亚诺关于“0”、“1
”和“后 继”的定义及描述。]用以上理论似乎就够了，但每个小学生都知道，除了自
然数外，还有0 这个奇怪的数。如果说人类发明1这个数在认识史上迈出了重要一步，那
么发明0这个数也同 样是一次了不起的革命。之后，又有了分数(小数)、负数、有理数
、无理数、实数、复数等 等。到了“实数”阶段标志着人类对数才有了比较清楚的认识
，实数系统是完备的。由实数 到复数的推广并不是本质性的。
    在日常生活中与我们打交道的通常是整数、小数，但要想彻底说清楚整数、小数，
不用实数 的理论是不可能的。但实数的性质对于非数学专业的人们来说有些太抽象。
    常听到报纸、广播报道，某某神童能背下来无理数π的前100位、200位、800位等等
，直观 上能知道像π这类无理数小数展开式一定没有十分简单的规律，否则背下前多少
位就算不上 什么本事(实际上也的确不算什么本事，因为这说明不了任何东西，白白浪
费时间)。即使在 今天，仍然有数学家在研究π的小数展开式的规律。要知道，像π这
样的数有的是，如自然 对数的底e、2的平方根等等。实数系统中“能说得清”的数(比
如0.236,1/3,8等)占多少呢? 好像很多，有无穷多，其实这要看与谁比，无穷也有大小
之分。与无理数相比，有理数少得 可怜。在实数系统中“能说得清”的数极少，测度为
0，而说不清楚的极多，测度为1。
     图3.1 非线性系统中的分形吸引域
    虽然我们没有仔细定义“说得清楚”这一概念，但我们马上意识到我们对数的常识
理解是很 肤浅的。
    计数法给出了数的表示方法，我们用得最多的是10进制，据说因为人每只手长着5个
手指、 每只脚长着5只脚趾。其实这只是一种有趣的说法而已，不必当真。既然每只手
有5个手指， 为什么不用5进制?历史上几乎没有用5进制的。手指、脚趾加起来是20个，
为什么不是20进 制?除了10进制外，用得多的还有12进制、16进制、20进制、60进制等
。目前世界已经走向 一体化，采用“公制”和10进制是大势所趋，但美国和英国是两个
老顽固，英国人谈到英镑 和先令时用20进制；英美人用到英尺和英寸时用12进制，在常
衡重量中盎司与磅用16进制… …，英美人在度量衡上好像故意躲避10进制!这代表了英
美的傲慢、落后，抑或与众不同?无 论是什么，决不是“先进”和“方便”。
    关于“p进位小数”后面讲“康托尔集合”时还要专门谈到，暂不提。
    世界作为统一体，印度人发明的、但一直被冠以“阿拉伯”字样的数字，以及在此
基础上的 10进制、纪年，其作用无论怎样高度评估都是不过分的。
    在计算机和计算机网络时代，对于机器而言，10个数字中只取两个0和1就够用了。
用0和1可 以表示上面提到的能够“说得清楚”的所有数。
    但有一点务请注意，我们通常只能近似地表示数，尤其是对于无理数，在纸面上写
出π、 5的平方根、e等并不等于大功告成，它们只是些代号!在实际中，特别是对于机
器，只有写 出长长的小数展开式，才能作具体运算(当然，目前也有少数系统能够像数
学家一样进行形 式推导)。而这个长长的小数展开式写多长是至关重要的，取十分长固
然好，能够保证精度 ，但费时费力。
    在我们这个时代以及未来的时代，一切都将与数打交道，特别是要研究数的表示。
数本身是 抽象的符号，可以对它进行任意解释，但表示的好坏直接影响对其解释以及信
息的提取。无 论从科学的角度还是从艺术的角度，都应研究数及其表示。

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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