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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》34
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:11:24 星期六), 站内信件

第四章传统分形：从反例到主角
4.2 康托尔集合
　
    分形思想初听起来好像惊天动地，但芒德勃罗并不是神，分形并非无中生有。翻开
近代数学 史，已经有许多数学大师早在半个多世纪以前就构造了各种分形对象，只是他
们不叫它分形 ，而后来数学界又很少注意他们的这些工作罢了。芒氏的贡献在于巧妙的
综合，通过他的综 合，历史看起来才是那样自然、那样顺理成章。我们从康托尔集合开
始说起，然后介绍皮亚 诺曲线、希尔伯特曲线、谢尔宾斯基三角等。
    将闭区间［0,1］均分为三段，去掉中间1/3，即去掉开区间(1/3,2/3),剩下两个闭
区间［0,1/3］和［2/3,1］。
    第二步，将剩下的两个闭区间各自均分为三段，同样去掉中间1/3的开区间： ［1/
9,2/9］和［7/9,8/9］，这次剩下四段闭区间：［0,1/9］，［2/9,1/3］ ，[2/3,7/9]
和[8/9,1]。
    第三步，重复上述操作，删除每一小闭区间中间的1/3。
    一直到第N步，不断重复上述操作。
    无限操作下去，我们看最后剩下了什么。在实变函数论这门课程中，把上述操作最
后剩下的 点组成的集合称作康托尔集合(Cantor set)。此集合在数学史上有重要作用，
如今在分形理 论中又再次辉煌，混沌理论和分形几何学处处碰到康托尔集合。
    康托尔集合的性质是很有意思的。首先康托尔集合是自相似的，整体与部分十分相
像。其次 ，它不包含任何区间，这一点容易想象出来，不断去掉中间1/3，最后剩下的
点不能构成区 间。但康托尔集合是完备的闭集合。一般读者理解起来，可能稍有困难，
这里略 作解释。
    如果在M的邻域N(M,δ)内有无穷多个点属于集合E，则M是 E的一个聚点。E的全部聚
点作成的集合叫做E的导集，记作E′。 E+E′称作E的闭包。闭集合的含义是E包含E′，
即一个集合包含了它所 有的聚点。
    若E=E′，即E是闭的且不含孤立点，则E就是完备的。完备集合的意思是说 ，集合
E是闭的且每一个点都是聚点(即没有孤立点)。应当注意的是，“闭”、“聚 ”、“孤
立”等用语与日常语言含义不同。
图4.2 康托尔三分集的生成过程。每次去掉线段中间的1/3， 最后剩下的东西就是康托
尔集，此图中只表示了前三个阶段。为了显示方便，无宽度的［0, 1］线段在这里故意
用一矩形框表示。
    用D表示康托尔集合，可以证明D′包含于D和D包含D′。前 者说的是，D是闭集；后
者说的是，D没有孤立点。康托尔集合也叫康托尔完 备集。另外康托尔集合显然是非空
的，所以它是“非空完备集”。
    康托尔集合是可数的，还是不可数的?事实上康托尔集合D具有连续统的势，它可以
 与(0,1)中的点一一对应起来，它是不可数的。由实变函数理论知道，任何非空完备集
合都 是不可数的。
    我们已经习惯于10进制和2进制，现在尝试一下3进制。最一般地可以讨论“p进制”
 (p是大于1的正整数)。这些进制都是表达“数字”的方法，原则上是等价的，只是 对
于某类问题，某种进制显得方便一些，比如在日常生活中我们熟悉10进制，在计算机领
域 习惯用2进制，在计时方面甚至习惯于12进制、60进制。对于康托尔集合D，用3进制
 表示数比较方便。
    图4.3用牛顿法求五次多项式的根所得分形图
    为了建立集合与集合之间的对应关系，更好地说明分形集的结构，引入p进位小数的
 概念是非常有用的。设a为一正数，将它表示成如下收敛级数的形式：
a=E+n_1/p+n_2/p^2+n_3/p^3+n_4/p^4+…
其中E是非负整数，p是大于1的整数，n_i (i=1,2,…)是0到 p-1的非负整数，则数a分解
为以p为基底的小数，简称“p进 位小数”或者“p进小数”。按照通常的书写方法a可以
写作
a=E.n_1n_2n_3n_4…=(E.n_1n_2n_3n_4…)_p
特别地，(0,1)区间的任意实数a都可以写作a=0.n_1n_2n_3n_4…的形式。通 常人们用到
的10进位小数，只是p进位小数的一个特例。看几个实例：0.84375用4进 位小数表示则
为(0.312)_4，因为3/4+1/16+2/64=27/32=0.84375；0.1525用20进位小数表示 则为(0.
31)_20,因为3/20+1/400=61/400=0.1525。
    回顾康托尔集合的生成过程，开始时由［0,1］中间去掉1/3。设x∈［0,1］，在第
 一步，若x落在头1/3内(即(0,1/3)，则x的3进制小数展开式小数点的第一 位一定是0，
不可能是1或者2，否则它就落入第二个1/3(即(1/3,2/3)或者第三个1/3,即 (2/3,1)之中
了。
    同样，如果x落在第二个1[]3(即〖JB((〗1[]3,2[]3〖JB) )〗)中，则x的3进制小数
展开式小数点后的第一位一定是1，即x=(0.1…)_3。如果x 落在第三个1/3(即(2/3,1)内
，则x的3进制小数展开式小数点后的第一位一定是2，即x =（0.2…）_3。
    再深入一层，即考虑x小数展开式小数点的第二位。假设在上一层次x落在(0,1/3)之
 内，现在仔细看，x不但落在(0,1/3)内，而且落在(0,1/9)之内，则肯定x的 小数展开
式小数点后的第二位数字也是0，即x=(0.00…)_3。如果这次落在了(2/9,1 /3)之内，则
x=(0.02…)_3。
    如果在某一层次上看x落在了(8/9,1)内，则x=(0.22…)_3。
    依此类推，不断仔细看，相当于拿放大镜看，我们追踪了康托尔集的生成过程，也
追踪了一 个数的小数展开式中数字的含义。我们注意到，剩下的所有点，在3进制小数
表示中一定不 含有数字1，为什么?因为凡是含有数字1的小数所对应的点，最终都被删
除了!
    反过来，可以重新定义康托尔集合D：康托尔集合是由0和1，以及(0,1)内那样的一
 些点组成的集合，这些点在3进制小数表示中不出现数字1。

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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