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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》35
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:11:48 星期六), 站内信件

第四章传统分形：从反例到主角
4.3希尔伯特曲线
    什么是曲线?直观上人们会说，有长无宽的线叫曲线。但这不是定义，细分析起来这
种说法甚至是矛盾的，数学家确实找到了奇特的曲线，它们能够充满平面，即这样的曲
线是有面积的!皮亚诺曲线就是一个典型的例子。这种例子在数学分析、拓扑学中一直是
作为反例来讲授的，教师告诉学生，不要简单化地理解曲线，于是就举出了这样一些奇
奇怪怪的东西，然后再放心地说通常不会遇到这些怪物。过去就是这样做的。然而现在
不同了，分形几何学兴起后，当年的怪物时兴起来，一下子由反例跃居为主角。
    意大利数学家皮亚诺1890年构造了一种奇怪的曲线，它能够通过正方形内的所有点
。此曲线的这种性质很令数学界吃惊。如果这是可能的，那么曲线与平面如何区分?于是
当时数学界十分关注这件事。次年(即1891年)大数学家希尔伯特也构造了一种曲线，它
比皮亚诺的曲线简单，但性质是相同的。(1997年5月作者与吴国盛、吕芳、陈蓉霞等在
上海“玉佛寺”见到两种非常类似于希尔伯特曲线的装饰图案，具体年代尚不清楚，大
概远早于1890年。)这类曲线现在统称为皮亚诺曲线，它们的特点是：1)能够填充空间；
2)十分曲折，连续但不可导；3)具有自相似性。
图4.4 生成希尔伯特曲线的第一步和第二步。按一定顺序相继穿过每一个小正方形的“
中位线”。
    希尔伯特曲线是怎样作出来的呢?我们发现，希尔伯特曲线的实质从数学上看，相当
于找到了线段与整个正方形的一种连续映射，即指出线段与整个正方形可以一一对应。

    用Q记单位正方形，［0,1］表示单位线段，现在就是想找如下形式的连续映射：
    f:［0,1］→Q
    其实有许多办法，只举一个例子。第一步将正方形四等分成四个小正方形，画出小
正方形的“中位曲线”(见图4.4)。第二步将原正方形作16等分，按图所示次序再次画出
中位曲线。第三步将原正方形作64等分，同样画出中位曲线。依次类推，将原正方形4
^n等分，画出中位曲线。当n趋于无穷时，正方形迷宫中的中位曲线就充满了整个正方形
，成为希尔伯特曲线。容易证明，在第一步，［0,1］被分为四段(初看好像是三段，实
际上分别处于四个小正方形内，由四部分接起来的。注意，四部分的划分以处于哪个小
正方形为准，不管是否是折线)，我们可以认为［0,1］被分成［0,1/4］,［1/4,1/2］
,［1/2,3/4］和［3 /4,1］四段，分别对应于四个小正方形。这个映射可叫f_1（t）,其
中t∈［ 0,1］。
    在第二步，可以找到f_2(t)，它将［0,1］分为16段，依次对应于16个小正方形。无
穷作下去，我们得到一个映射序列f_1(t),f_2(t),f _3(t)，…，f_n(t)，序列的极限就
是要找的连续映射f:［0 ,1］→Q.
取1/3∈［0,1］，看一下它在f的作用下被映射到何处。我们发现
1/3∈［1/4，2/4］包含于［5/16，6/16］包含于［21/64，22/64］包含于［85/256，8
6/25 6］包含于…包含于［4^n+1/3×4^n，4^n+2/3×4^n］包含于…
按照图中的虚线追踪1/3这一点在f_1，f_2，…，f_n作用下所对应的小正方形的位置，
发现它始终被映射到正方形的左上角的小正方形中。我们按曲线行走顺序给每个小正方
形先编上号(号码为1，2，…，n，不同于下面要讲的4进制编号)。
图4.5 生成希尔伯特曲线的第四步
在第一步，它对应于编号为2=(4^1+2)/3的小正方形。
在第二步，它对应于编号为6=(4^2+2)/3的小正方形。
在第三步，它对应于编号为22=(4^3+2)/3的小正方形。
在第四步，它对应于编号为86=(4^4+2)/3的小正方形。
在第n步，它对应于编号为(4^n+2)/3的小正方形，等等。
    小正方形变得越来越小，根据压缩映象定理，最后1/3一定被映射为原正方形的左上
角顶点。读者可以自己验证，2/3这一点正好对应于右上角顶点。实际上对任意x∈［0
，1 ］都能确定它映射到Q中的哪一点。
    用4进制小数，可以更好地表示皮亚诺曲线与正方形的对应关系。在4进制小数表示
中，我们使用四个符号0，1，1和3。［0,1］之间的所有数字都可表示为“(0…)_4”
的形式，两个特殊点0和1，用4进制小数表示为(00…)_4和(03…)_4。为了表示方
便，省略小数点之前的0和小数点。比如“(011202)_4”简记作“11202”,“(000
231）_4”简记作“00231”。作了这些约定后，生成希尔伯特曲线的步骤可以表示如图
4.6。
1 2
0 3
11 12 21 22
10 13 20 23
03 02 31 30
00 01 32 33
图4.6 用4进制小数表示希尔伯特曲线生成过程的第一步和第二步。每个小正方形的编号
顺序就是画出希尔伯特曲线的顺序。每次相继画出小正方形的“中位线”，就得到此阶
段的希尔伯特曲线。
2211 2212 2221 2222
2210 2213 2220 2223
2203 2202 2231 2230
2200 2201 2232 2233
22221 22222
22220 22223
图4.7取上图右上角，再作两次划分(已进入第三步、第四步，但本图只表示其中的一小
部分 )，用4进制小数表示每个小正方形的编号。左图相当于4.6图右侧图中标号为“22
”的小正方形放大两次。右图是取左图右上角一小块再作一次划分(已进入第五步)得到
的。右侧图相当于左侧标号为“2222”的小正方形的放大图。
    一旦使用了4进制小数表示，［0,1］中的点与正方形的对应关系就明朗了。我们看
1/3所对应的4进小数恰好是（0.11111…）_4，而此无限循环小数显然等于1/3，因为
(0.1111…)_4=1/4+1/4^2+1/4^3+1/4^4+…+1/4^n=lim(n→∞)4^n-1 /3×4^n=1/3
同样(0.2222…)_4和(0.3333…)_4，分别等于2/3和1：
(0.2222…)_4=2/4+2/4^2+2/4^３+2/4^4+…+2[]4^n=lim(n→∞)2×（4^ n-1）/3×4^n
=2/3
(0.3333…)_4=3/4+3/4^2+3/4^３+3/4^4 +…+3/4^n=lim(n→∞)3×（4^n-1）/3×4^n=
1
    现在随便就某一层次划分中的一个小正方形，问它对应于［0,1］中什么样的数字。
比如从第五步划分中选一个小方块“21023”。令N=(0.21023)_4，则N一定处于(0.2102
30…) _4与(0.210233…)_4之间，于是
(0.210230…)_4≤N≤(0.210233…)_4
展开后得
(2/4+1/4^2+2/4^4+3/4^5)+0+…≤N≤(2/4+1/4^2+2/4^4+3/4^5)+3/4^6+3/4^7+…+3 /4
^n+…
取极限后得
355/1024≤N≤355/1024+1/1024=356/1024
也就是说“21023”这个小正方形可表示的数字范围是［355/1024,356/1024］，这里面
不但有有理数，也有无理数，并且无理数比有理数多得多

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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