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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》36
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:12:14 星期六), 站内信件

第四章传统分形：从反例到主角
4.4柯赫曲线与相似维数
　
    瑞典数学家柯赫于1904年构造了如今称之为“柯赫曲线”(Koch curve)的几何对象
，这一年他一共发表了两篇论文描述这种曲线，他画出了此曲线的图形，给出了生成步
骤。如果首尾闭合，这种曲线常称作柯赫“雪花曲线”(snowflake curve)，因为它酷似
雪花，也很像海岸线。
    柯赫曲线的生成过程很简单，以雪花曲线为例，先给出一个正三角形(作为原始形状
)，然后使每一个边中间1/3向外折起，这一操作常称作迭代规则，于是生成了一个有6个
角12 个边的对象。第二步在此基础上，将每个小边中间1/3去掉并向外折起。以后重复
此操作。 经过无穷次操作就得到极限图形——柯赫曲线。
    柯赫曲线是很复杂的，首先它有许多折点，到处都是“尖端”，用数学的语言讲，
曲线虽然连续，但处处不可微，即没有切线。
    总结一下康托尔集合、希尔伯特曲线和柯赫曲线的生成过程，我们发现它们都是从
一个“原形”(initiator)开始，按照“生成元”(generator)的操作规则，不断“迭代
”(iteration s)得到的。实际上一大类规则分形都可以这样生成出来，这种过程具有一
般性，并可以用几套语言类似地表示出来：
分形=原形+生成元+迭代；
分形=公理+产生式+解释；
分形=初条件+输入+反馈；
后面讲L系统时还要专门涉及上述第二种描述方式。
    现在已经接触了几种传统分形对象，它们的维数用传统概念去描述都很别扭，用分
数维数描述是一个好主意。对于规则的分形体，通常可用相似性维数代表它的分数维数
。设对象可以剖分为N个局部单元，每个单元以相似比β与整体相似，则对象的相似性 
维数可以定义如下：
D=logN/log(1/β)=-logN/logβ
在具体计算时，也可以反过来理解：如果将分形对象的一部分(用S代表)的“线度” 放
大1/β倍，对象放大了N倍(即出现了N个S)，则此分形的 相似性维数是D=-logN/logβ。
 以柯赫雪花曲线为例，看其中的一 部分(以S记之)，由生成元可知，线度放大3倍，对
象S放大了4倍(即出现了4 个S)，则柯赫雪花曲线的相似性维数为log4/log3=1.2618…。

丢勒正五边形分形维数D=log5/log(3+SQRT(5)/2)=1.672…
康托尔集分数维数D=log2/log3=0.6309…，
希尔伯特曲线分数维数D=log4/log2=2.0，
柯赫雪花曲线分数维数D=log4/log3=1.2618…，
柯赫岛边界线分数维数D=log18/log6=1.6131…，
柯赫十字岛分数维数D=log32/log8=1.666…，
谢尔宾斯基三角垫片分数维数D=log3/log2=1.585…，
谢尔宾斯基四方垫片分数维数D=log8/log3=1.8927…，
门格尔海绵分数维数D=log20/log3=2.7268….
　

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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