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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》42
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:16:07 星期六), 站内信件

第五章 林氏系统与迭代函数系统
5.5 扩散置限凝聚模型
　
    本章最后一节介绍另外一方面的内容，它与分形也有密切关系。它比较特殊，又没
必要单列 一章，只好放在这里。
    北方的朋友冬天都见过玻璃上的霜花、树上的雾凇，学地质的都见过树枝状自然铜
、自然银 ，吃过中国传统食品松花蛋的都见过美丽的“松花”，也许你还从电视中看到
过美丽的珊瑚 树。可是你知道它们有什么联系吗?其形成机理是什么?这个问题现在已经
能够清楚地说明了 。
    1981年维腾和桑德在《物理评论快报》上发表文章，提出了扩散置限凝聚(diffusi
on- limited aggregation)模型,简称DLA模型，他们在计算机上用随机扩散方法成功地
模拟了复 杂的在电解ZnSO_4试验中也实际做出了DLA模型的结果，而且发现了屏蔽效应
。
    DLA模型的思想是很简单的，假设一平面方形点阵(也可以是别的形状)的中央先放入
一个静 止粒子，在区域边界随机释放一个新粒子，粒子做无规行走，如果碰到中央的粒
子则凝聚不 动；如果再次碰到外边界则不再考虑它，这时在区域中再产生一个新粒子，
同样做无规行走 ，碰到中间已存在的粒子则凝聚，等等。我们释放1000个、25000个粒
子看看会有什么现象 。用计算机很容易模拟上述过程，模拟结果发现能够生成各种各样
的分形结构，它们很像自 然存在的树枝状物体。
　
图5.8 DLA模型生成的分形图形
    用DLA方法得到的凝聚集团具有统计意义上的自相似性，它的密度随集团大小的增加
按幂指 数规律减小。用R表示DLA集团的特征长度，则集团的数密度ρ(R)为
ρ(R)=N(R)/R^d～R^(D-d)，
其中N代表粒子个数，D为分形维数，对于平面区域d=2,对于三维空 间区域d=3。大量计
算统计结果显示，当d=2时，D=1.66±0.02；当 d=3时，D=2.50±0.02。开始时人们猜测
D只与d有关，而与 点阵结构无关，后来证明不是这样，D与点阵形状有关，并且粒子数
越多，差别 越大。
    DLA模型提出后人们马上试图推广它，首先考虑让中央的粒子也运动起来，或者干脆
一次放 入N个粒子，使它们按一定的规律运动。1983年麦金(P.Meakin)给出如下规则：
1)二 维方形点阵中N个粒子均可在点阵上做无规行走，相碰后就结成集团；2)集团整体
做 无规运动，碰撞后凝聚成更大的集团，不断进行下去；3)对于不同大小的集团指定不
同的迁 移概率。用这种办法能更好地模拟烟灰、胶体、云尘的聚合过程。
    我们这里考虑比标准DLA模型更具一般性的过程(根据日本学者M.Nakagawa和K.Koba
yashi的 文章“具有局部粒子漂移的DLA”)。在方形点阵上考虑问题，以(x,y)表示粒子
当前 的坐标，以Δx和Δy分别表示粒子当前沿x和y方向的相对位 移分量，f_x和f_y是
涨落力，d_x和d_y是漂移力。α 是漂移参数，表示(f_x,f_y)和(d_x,d_y)之间的比率关
系。β 的值等于+1或者-1，分别表示“吸引”和“排斥”作用。f_x、f_y、d_x、d_y的
取 值范围都是(-1/2,1/2)，α的取值是(0，1)。我们可以将Δx和Δy 的表达式写成
Δx=sgn［(1-α)f_x+βαd_x］，
Δy=sgn［(1-α)f_y+βαd_y］，
其中sgn(x)表示一种函数，其定义为sgn(x＜0)=-1,sgn(0)=0,sgn (x＞0)=+1。上述涨落
力f_x,f_y可由两个独立的伪随机实数产生。若 α=0，则此模型还原为标准的DLA模型。
漂移变化由下述公式定义：
d_x=｛∑_(i,j)W_(xij)δ(i +x,j+y)｝/ ｛2∑_(i,j)W_(ij) δ(i+x,j+y)｝
d_y=｛∑_(i,j)W_(yij)δ(i +x,j+y)｝/｛2∑_(i,j)W_(ij )δ(i+x,j+y)｝,
其中δ(p,q)是局部密度函数,当某格点上有粒子时δ=1,否则 δ=0。三个矩阵的定义为

W_(xij)=sgn(i)W_(ij),
W_(yij)=sgn(j)W_(ij),
W_(ij)=1,在窗口之内; =0，其他
窗口W_(ij)的大小表征作用程的大小。窗口W_(i j)的面积增加对应于长程相互作用，面
积减小对应于短程相互作用。如果只对运动粒子 而言W_(ij)为1，其他情况下为0，则此
模型又还原为标准的DLA模型 。
    以上说的是从中心的一个“点”开始生长的DLA模型。也可以考虑从一根“线”(好
比土地) 开始一齐生长，当然也可以考虑从洞穴的不规则“内壁”向内生长。这样一来
，DLA模型就 能模拟许多自然界的生长过程。
    几年前作者曾有过一个想法：利用DLA方法结合化学分析，研究中国传统食品松花蛋
中“松 花”的成因，再有意识地淹制生长有各种颜色松花的优质(无毒)松花蛋。经初步
观察，松花 蛋上的松花大致有两种类型，一种“花根”贴近蛋壳表皮，另一种花根贴近
蛋黄外表皮。两 种松花由蛋清的两个表皮向内生长，其他地方绝无松花，这表明松花是
金属离子在蛋白胶体 中通过膜渗透、扩散、聚集而成的。有关资料表明，松花生成于碱
性环境，松花富含镁元素 。[汤炯吾，《巧制松花蛋和盐蛋》，四川科学技术出版社19
92年。另有如下文献：刘仪初 、李树青、罗烈武，松花皮蛋形成机理探讨，《商业科技
》，1984年第8期；李树青、梁丹 ，松花蛋的“松花”晶体的分离与结构分析，《商业
科技》，1988年第1期；李树青、王庆 玉、谢盛良，溏心皮蛋蛋白胶体中松花晶体的多
少与其镁离子含量的相关性，《食品科学》 ，1991年第10期。感谢北大化学系姚刚同学
查找、复制这些文献。]如果研究清楚松花的化 学成分、生成理化条件，就可以加入无
毒(甚至有利于健康)的微量元素，人为控制松花的生 长。

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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